資源簡介

10.3　實際問題與二元一次方程組
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能找出實際問題中的數量關系 抽象能力
2.能應用二元一次方程組解決實際問題 模型觀念、應用意識
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
【新知要點】 【對點小練】
1.列二元一次方程組解決實際問題的步驟: (1)審清題意;(2)找準等量;(3)設未知數; (4)列方程組;(5)解方程組;(6)檢驗答案; (7)寫出答案. 1.甲、乙兩人共植樹20棵,已知甲植樹的棵數是乙的1.5倍.設甲植樹x棵,乙植樹y棵,則下列方程組中正確的是(C) A. B. C. D.
2.數學問題與實際問題的聯系 2.甲、乙兩人在相距18千米的兩地,若同時出發相向而行,經2小時相遇;若同時同向而行,那么乙出發后經4小時追上甲,求甲、乙兩人的速度,設甲的速度為x千米/時,乙的速度為y千米/時,則可列方程組為(B) A. B. C. D.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 和差倍分問題(抽象能力、應用意識)
【典例1】近年來光伏建筑一體化廣受關注.某社區擬修建A,B兩種光伏車棚.已知修建4個A種光伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資11萬元,修建3個A種光伏車棚和2個B種光伏車棚共需投資12萬元.
(1)求修建每個A種、B種光伏車棚分別需投資多少萬元.
(2)若該社區擬修建m個A種光伏車棚和n個B種光伏車棚,當總投資金額為17萬元時,求m+n的最大值.
【自主解答】(1)設修建每個A種光伏車棚需投資x萬元,每個B種光伏車棚需投資y萬元,根據題意,得,
解得.
答:修建每個A種光伏車棚需投資2萬元,每個B種光伏車棚需投資3萬元;
(2)根據題意得2m+3n=17,∴n=.
又∵m,n均為正整數,
∴或或,
∴m+n=6或7或8,∴m+n的最大值為8.
答:m+n的最大值為8.
【舉一反三】
1.某校運動員分組訓練,若每組7人,余3人;若每組8人,則缺5人,設運動員人數為x,組數為y,則列方程組為(C)
A. B.
C. D.
2.某學校為了增強學生體質,決定讓各班購買跳繩和毽子作為活動器材,已知購買2根跳繩和5個毽子共需34元,購買4根跳繩和3個毽子共需40元,求購買1根跳繩和1個毽子分別需要多少元
【解析】設購買1根跳繩和1個毽子分別需要x元和y元,
根據題意得,
解得.
答:購買1根跳繩和1個毽子分別需要7元和4元.
【技法點撥】
和、差、倍、分間的關系
(1)較大量=較小量+剩余量;
(2)總量=各分量之和;
(3)總量=分量×倍數.
特別提醒
解答此類問題,要注意抓住題目中反映數量關系的關鍵詞,如:和、差、倍、幾分之幾、比、大、小、增加、減少等,將這些關鍵詞轉化為相應的運算.
重點2 行程問題(模型觀念、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P105T2補充)甲、乙兩人練習跑步,如果乙先跑10米,則甲跑5秒就可追上乙;如果乙先跑2秒,則甲跑4秒就可追上乙.
(1)求甲、乙的速度.
(2)讓乙先跑15米,甲至少多少秒后可以追上乙
【自主解答】(1)設甲的速度為x米/秒,乙的速度為y米/秒,
依題意有 解得
答:甲的速度為6米/秒,乙的速度為4米/秒.
(2)設甲z秒后可以追上乙,
則6z=15+4z,解得z=7.5,
答:讓乙先跑15米,甲至少7.5秒后可以追上乙.
【舉一反三】
1.某快遞公司要在規定的時間內把郵件從甲地送往乙地,快遞車若以50千米/小時的速度行駛,會遲到24分鐘;若以75千米/小時的速度行駛,可提前24分鐘.則甲,乙兩地的距離為　120千米　.
2.A地至B地的航線長9 360 km,一架飛機從A地順風飛往B地需12 h,它逆風飛行同樣的航線要13 h,求飛機無風時的平均速度.
【解析】設飛機無風時的平均速度為x km/h,風速為y km/h,
由題意得,,
解得.
答:飛機無風時的平均速度為750 km/h.
【技法點撥】
1.基本等量關系:(1)路程=速度×時間;
(2)總路程=分路程的和.
2.相遇問題:總路程=甲走的路程+乙走的路程.
3.追及問題:(1)速度差×追及時間=路程差;
(2)路程差÷速度差=追及時間;
(3)速度差=路程差÷追及時間.
4.環形問題:(1)同向:速度差×追及時間=環長;
(2)背向:環長=速度和×相遇時間.
重點3 數字問題(模型觀念、應用意識)
【典例3】一個兩位數,個位數字與十位數字的和為7,如果將個位數字與十位數字對調后所得新數比原數大9,求原來的兩位數.
【自主解答】設十位數字為x,個位數字為y,
根據題意,得,
解得,
∴原來的兩位數為34.
【舉一反三】
小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛,小明每隔一段時間看到的里程碑上的數如表:
時刻 12:00 13:00 14:30
里程碑上的數 是一個兩位數,數字之和為6 十位與個位數字與12:00所看到的正好顛倒了 比12:00看到的兩位數中間多了個0
則12:00看到的兩位數是多少
【解析】設小明12:00看到的兩位數,十位數為x,個位數為y,即為10x+y;
則13:00看到的兩位數為x+10y,12:00~13:00行駛的里程數為(10y+x)-(10x+y);
則14:30看到的數為100x+y,13:00~14:30行駛的里程數為(100x+y)-(10y+x);
由題意列方程組,得,
解得,所以12:00看到的兩位數是15.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念、應用意識)小張家在小王家西邊100米,他們同時從各自家里出發,前往小張家西邊的博物館.設小張每分鐘走x米,小王每分鐘走y米,如果出發10分鐘后兩人同時到達了博物館,并且小張3分鐘行走的路程比小王5分鐘行走的路程少210米,則可列方程組(A)
A. B.
C. D.
2.(4分·模型觀念、應用意識)一行人去住店,如果每一間客房住7人,那么有7人無房可住;如果每一間客房住9人,那么就空出一間房.設該店有空客房x間,這一行人共有y人,下列方程組中正確的是(B)
A. B.
C. D.
3.(4分·應用意識)學校的籃球數比排球數的2倍少3個,籃球數與排球數的比是3∶2,求兩種球各有多少個 若設籃球有x個,排球有y個,根據題意列方程組為 　.
4.(8分·應用意識)我市為了打造濕地公園,今年計劃改造一片綠化地種植A,B兩種景觀樹.種植3棵A種、4棵B種景觀樹需要1 800元,種植4棵A種、3棵B種景觀樹需要1 700元.種植每棵A種景觀樹和每棵B種景觀樹各需要多少元
【解析】設種植每棵A種景觀樹需要a元,種植每棵B種景觀樹需要b元,
根據題意得:,
解得.
答:種植每棵A種景觀樹需要200元,種植每棵B種景觀樹需要300元.10.3　實際問題與二元一次方程組
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能找出實際問題中的數量關系 抽象能力
2.能應用二元一次方程組解決實際問題 模型觀念、應用意識
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
【新知要點】 【對點小練】
1.列二元一次方程組解決實際問題的步驟: (1)審清題意;(2)找準等量;(3)設未知數; (4)列方程組;(5)解方程組;(6)檢驗答案; (7)寫出答案. 1.甲、乙兩人共植樹20棵,已知甲植樹的棵數是乙的1.5倍.設甲植樹x棵,乙植樹y棵,則下列方程組中正確的是( ) A. B. C. D.
2.數學問題與實際問題的聯系 2.甲、乙兩人在相距18千米的兩地,若同時出發相向而行,經2小時相遇;若同時同向而行,那么乙出發后經4小時追上甲,求甲、乙兩人的速度,設甲的速度為x千米/時,乙的速度為y千米/時,則可列方程組為( ) A. B. C. D.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 和差倍分問題(抽象能力、應用意識)
【典例1】近年來光伏建筑一體化廣受關注.某社區擬修建A,B兩種光伏車棚.已知修建4個A種光伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資11萬元,修建3個A種光伏車棚和2個B種光伏車棚共需投資12萬元.
(1)求修建每個A種、B種光伏車棚分別需投資多少萬元.
(2)若該社區擬修建m個A種光伏車棚和n個B種光伏車棚,當總投資金額為17萬元時,求m+n的最大值.
【舉一反三】
1.某校運動員分組訓練,若每組7人,余3人;若每組8人,則缺5人,設運動員人數為x,組數為y,則列方程組為( )
A. B.
C. D.
2.某學校為了增強學生體質,決定讓各班購買跳繩和毽子作為活動器材,已知購買2根跳繩和5個毽子共需34元,購買4根跳繩和3個毽子共需40元,求購買1根跳繩和1個毽子分別需要多少元
【技法點撥】
和、差、倍、分間的關系
(1)較大量=較小量+剩余量;
(2)總量=各分量之和;
(3)總量=分量×倍數.
特別提醒
解答此類問題,要注意抓住題目中反映數量關系的關鍵詞,如:和、差、倍、幾分之幾、比、大、小、增加、減少等,將這些關鍵詞轉化為相應的運算.
重點2 行程問題(模型觀念、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P105T2補充)甲、乙兩人練習跑步,如果乙先跑10米,則甲跑5秒就可追上乙;如果乙先跑2秒,則甲跑4秒就可追上乙.
(1)求甲、乙的速度.
(2)讓乙先跑15米,甲至少多少秒后可以追上乙
【舉一反三】
1.某快遞公司要在規定的時間內把郵件從甲地送往乙地,快遞車若以50千米/小時的速度行駛,會遲到24分鐘;若以75千米/小時的速度行駛,可提前24分鐘.則甲,乙兩地的距離為 .
2.A地至B地的航線長9 360 km,一架飛機從A地順風飛往B地需12 h,它逆風飛行同樣的航線要13 h,求飛機無風時的平均速度.
【技法點撥】
1.基本等量關系:(1)路程=速度×時間;
(2)總路程=分路程的和.
2.相遇問題:總路程=甲走的路程+乙走的路程.
3.追及問題:(1)速度差×追及時間=路程差;
(2)路程差÷速度差=追及時間;
(3)速度差=路程差÷追及時間.
4.環形問題:(1)同向:速度差×追及時間=環長;
(2)背向:環長=速度和×相遇時間.
重點3 數字問題(模型觀念、應用意識)
【典例3】一個兩位數,個位數字與十位數字的和為7,如果將個位數字與十位數字對調后所得新數比原數大9,求原來的兩位數.
【舉一反三】
小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛,小明每隔一段時間看到的里程碑上的數如表:
時刻 12:00 13:00 14:30
里程碑上的數 是一個兩位數,數字之和為6 十位與個位數字與12:00所看到的正好顛倒了 比12:00看到的兩位數中間多了個0
則12:00看到的兩位數是多少
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念、應用意識)小張家在小王家西邊100米,他們同時從各自家里出發,前往小張家西邊的博物館.設小張每分鐘走x米,小王每分鐘走y米,如果出發10分鐘后兩人同時到達了博物館,并且小張3分鐘行走的路程比小王5分鐘行走的路程少210米,則可列方程組( )
A. B.
C. D.
2.(4分·模型觀念、應用意識)一行人去住店,如果每一間客房住7人,那么有7人無房可住;如果每一間客房住9人,那么就空出一間房.設該店有空客房x間,這一行人共有y人,下列方程組中正確的是( )
A. B.
C. D.
3.(4分·應用意識)學校的籃球數比排球數的2倍少3個,籃球數與排球數的比是3∶2,求兩種球各有多少個 若設籃球有x個,排球有y個,根據題意列方程組為 .
4.(8分·應用意識)我市為了打造濕地公園,今年計劃改造一片綠化地種植A,B兩種景觀樹.種植3棵A種、4棵B種景觀樹需要1 800元,種植4棵A種、3棵B種景觀樹需要1 700元.種植每棵A種景觀樹和每棵B種景觀樹各需要多少元 10.3　實際問題與二元一次方程組
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能找出銷售、配套等問題中的數量關系 抽象能力
2.熟練應用二元一次方程組解決實際問題 模型觀念、應用意識、運算能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
【新知要點】 【對點小練】
1.銷售問題中的數量關系: ①利潤=　售價　-　進價　; ②售價=原價(標價)×; ③利潤率= 　×100%= 　×100%. 1.為處理甲、乙兩種積壓服裝,商場決定打折銷售,已知甲、乙兩種服裝的原單價共為880元,現將甲服裝打八折,乙服裝打七五折,結果兩種服裝的單價共為684元,則甲、乙兩種服裝的原單價分別是(B) A.400元、480元　 B.480元、400元 C.560元、320元　 D.320元、560元
2.其他問題中的數量關系: 面積問題:①長方形的面積=　長×寬　; ②正方形的面積=　邊長　×　邊長　; ③圓的面積=(半徑長)2×π. 工程問題:工作量=工作時間×　工作效率　. 2.如圖是兩個形狀、大小完全一樣的小長方形拼接而成的圖形,已知AB=5, CD=3,則此圖形的面積為(B) A.6　 B.8　 C.10　 D.12
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1 二元一次方程組解決銷售問題(應用意識、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P105T6補充)某服裝店用5 700元購進A,B兩種新款服裝,按標價售出后可獲得毛利潤3 600元(毛利潤=售價-進價),這兩種服裝的進價、標價如表所示:
項目 A款 B款
進價(元/件) 60 100
標價(元/件) 100 160
(1)求這兩款服裝各購進的件數.
(2)如果A款服裝按標價的九折出售,B款服裝按標價的八折出售,那么這批服裝全部售完后,服裝店比按標價出售少收入多少元
【自主解答】(1)設A,B兩款服裝分別購進x件,y件,依題意列方程組得:
解得
答:A款服裝購進45件,B款服裝購進30件.
(2)由題意,得3 600-45×(100×0.9-60)-30×(160×0.8-100)=1 410(元).
答:如果A款服裝按標價的九折出售,B款服裝按標價的八折出售,那么這批服裝全部售完后,服裝店比按標價出售少收入1 410元.
【舉一反三】
1.打折前購買A商品40件與購買B商品30件所花的錢一樣多,商家打折促銷,A商品打八折,B商品打九折,此時購買A商品40件比購買B商品30件少花600元,則打折前A商品和B商品每件的價格分別為(C)
A.75元、100元　 B.120元、160元
C.150元、200元　 D.180元、240元
2.五一期間,時代商場開展打折促銷活動,某商品如果按原售價的八折出售,將盈利20元,而按原售價的六折出售,將虧損60元,則該商品的原售價為　400元　.
【技法點撥】
商品銷售問題中的模型構建
1.商品利潤=商品售價-商品進價
2.商品利潤率=×100%
3.商品售價=商品標價×折扣=進價×(1+利潤率)
4.單價×數量=總價
重點2 二元一次方程組解決配套及其他問題(應用意識、模型觀念)
【典例2】某網店用24 000元的資金購進A,B兩種玩具共700件,準備在“雙十一”期間銷售,A,B兩種玩具的進價分別為60元、15元.
(1)網店本次購進A,B兩種玩具的數量分別是多少
(2)該網店的A種玩具在“雙十一”期間銷售火爆,商家決定向廠家再次購進A種玩具,廠家接到定單后,馬上安排車間的68名工人加班生產A種玩具.一個A種玩具是由2個甲種配件和3個乙種配件組成的,每名工人每天可生產甲種配件16個或乙種配件10個,那么需要分別安排多少名工人加工甲、乙兩種配件,才能使每天加工的甲、乙兩種配件剛好配套
【自主解答】(1)設購進A種玩具的數量為x件,購進B種玩具的數量是y件,根據題意得:,解得,所以購進A種玩具300件,購進B種玩具400件;
(2)設加工甲種配件的有m人,加工乙種配件的有n人,
根據題意得,解得,
答:需要安排20名工人加工甲種配件,48名工人加工乙種配件,才能使每天加工的甲、乙兩種配件剛好配套.
【舉一反三】
為了增強學生的安全防范意識,某校舉行了一次安全知識搶答賽,搶答題一共20個,記分規則如下:每答對一個得5分,每答錯或不答一個扣1分.小紅一共得到70分,則小紅答對的題的個數為　15　.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·應用意識)某車間有49名工人,每人每天能生產螺栓12個或螺母18個,設有x名工人生產螺栓,y名工人生產螺母,每天生產的螺栓和螺母恰好按1∶2配套,列方程組正確的是(A)
A.　 B.
C.　 D.
2.(4分·模型觀念、應用意識)某商場新購進一種服裝,每套售價1 000元,若將褲子降價10%,上衣漲價5%,調價后這套服裝的單價比原來提高了2%,則調價前上衣的單價是(D)
A.200元　 B.480元
C.600元　 D.800元
3.(8分·應用意識)實驗室需要一批無蓋的長方體模型,一張大紙板可以做成長方體的側面30個或長方體的底面25個,每個無蓋的長方體由4個側面和1個底面做成.現有26張大紙板,則用多少張做側面,多少張做底面才能使之剛好配套
【解析】設用x張做側面,y張做底面才可以使之剛好配套,沒有剩余,根據題意得:,解得.
答:用20張做側面,6張做底面才可以使之剛好配套,沒有剩余.10.3　實際問題與二元一次方程組
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能找出銷售、配套等問題中的數量關系 抽象能力
2.熟練應用二元一次方程組解決實際問題 模型觀念、應用意識、運算能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
【新知要點】 【對點小練】
1.銷售問題中的數量關系: ①利潤= - ; ②售價=原價(標價)×; ③利潤率= ×100% = ×100%. 1.為處理甲、乙兩種積壓服裝,商場決定打折銷售,已知甲、乙兩種服裝的原單價共為880元,現將甲服裝打八折,乙服裝打七五折,結果兩種服裝的單價共為684元,則甲、乙兩種服裝的原單價分別是( ) A.400元、480元　 B.480元、400元 C.560元、320元　 D.320元、560元
2.其他問題中的數量關系: 面積問題:①長方形的面積= ; ②正方形的面積= × ; ③圓的面積=(半徑長)2×π. 工程問題:工作量=工作時間× . 2.如圖是兩個形狀、大小完全一樣的小長方形拼接而成的圖形,已知AB=5, CD=3,則此圖形的面積為( ) A.6　 B.8　 C.10　 D.12
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1 二元一次方程組解決銷售問題(應用意識、模型觀念)
【典例1】(教材再開發·P105T6補充)某服裝店用5 700元購進A,B兩種新款服裝,按標價售出后可獲得毛利潤3 600元(毛利潤=售價-進價),這兩種服裝的進價、標價如表所示:
項目 A款 B款
進價(元/件) 60 100
標價(元/件) 100 160
(1)求這兩款服裝各購進的件數.
(2)如果A款服裝按標價的九折出售,B款服裝按標價的八折出售,那么這批服裝全部售完后,服裝店比按標價出售少收入多少元
【舉一反三】
1.打折前購買A商品40件與購買B商品30件所花的錢一樣多,商家打折促銷,A商品打八折,B商品打九折,此時購買A商品40件比購買B商品30件少花600元,則打折前A商品和B商品每件的價格分別為( )
A.75元、100元　 B.120元、160元
C.150元、200元　 D.180元、240元
2.五一期間,時代商場開展打折促銷活動,某商品如果按原售價的八折出售,將盈利20元,而按原售價的六折出售,將虧損60元,則該商品的原售價為 .
【技法點撥】
商品銷售問題中的模型構建
1.商品利潤=商品售價-商品進價
2.商品利潤率=×100%
3.商品售價=商品標價×折扣=進價×(1+利潤率)
4.單價×數量=總價
重點2 二元一次方程組解決配套及其他問題(應用意識、模型觀念)
【典例2】某網店用24 000元的資金購進A,B兩種玩具共700件,準備在“雙十一”期間銷售,A,B兩種玩具的進價分別為60元、15元.
(1)網店本次購進A,B兩種玩具的數量分別是多少
(2)該網店的A種玩具在“雙十一”期間銷售火爆,商家決定向廠家再次購進A種玩具,廠家接到定單后,馬上安排車間的68名工人加班生產A種玩具.一個A種玩具是由2個甲種配件和3個乙種配件組成的,每名工人每天可生產甲種配件16個或乙種配件10個,那么需要分別安排多少名工人加工甲、乙兩種配件,才能使每天加工的甲、乙兩種配件剛好配套
【舉一反三】
為了增強學生的安全防范意識,某校舉行了一次安全知識搶答賽,搶答題一共20個,記分規則如下:每答對一個得5分,每答錯或不答一個扣1分.小紅一共得到70分,則小紅答對的題的個數為 .
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·應用意識)某車間有49名工人,每人每天能生產螺栓12個或螺母18個,設有x名工人生產螺栓,y名工人生產螺母,每天生產的螺栓和螺母恰好按1∶2配套,列方程組正確的是( )
A.　 B.
C.　 D.
2.(4分·模型觀念、應用意識)某商場新購進一種服裝,每套售價1 000元,若將褲子降價10%,上衣漲價5%,調價后這套服裝的單價比原來提高了2%,則調價前上衣的單價是( )
A.200元　 B.480元
C.600元　 D.800元
3.(8分·應用意識)實驗室需要一批無蓋的長方體模型,一張大紙板可以做成長方體的側面30個或長方體的底面25個,每個無蓋的長方體由4個側面和1個底面做成.現有26張大紙板,則用多少張做側面,多少張做底面才能使之剛好配套

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