資源簡介

2　二次函數的圖象與性質
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會畫y=a(x-h)2與y=a(x-h)2+k的圖象,并理解它們與y=ax2的圖象的關系,理解a,h和k對二次函數圖象的影響 模型觀念、運算能力
2.能夠正確地說出y=a(x-h)2+k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標 模型觀念、運算能力
3.會用二次函數的對稱軸和頂點坐標公式解決問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.y=a(x-h)2與y=a(x-h)2+k的性質 拋物線y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k頂點 坐標(h,0)(h,k)對稱軸 位置由h和k的符號確定開口 方向a>0時,開口 a<0時,開口 增減 性a>0,當x> 時,y隨x的增大而 ; 當x< 時,y隨x的增大而 a<0,當x> 時,y隨x的增大而 ; 當x0,當 時,最小值為 ; a<0,當 時,最大值為 a>0,當 時,最小值為 ;a<0,當 時,最大值為
1.(1)二次函數y=-3(x+2)2-5的圖象的頂點坐標是( ) A.(2,5) B.(2,-5) C.(-2,5) D.(-2,-5) (2)拋物線y=(x-1)2+5的對稱軸為 . (3)已知函數y=2(x+1)2+1,當x 時,y隨x的增大而減小. (4)二次函數y=4(x-2)2-5的最小值是 .
2.拋物線y=a(x-h)2+k(a≠0)可以看作是由拋物線y=ax2(a≠0)平移得到的. 若h>0,則向 平移,若h<0,則向 平移; 若k>0,則向 平移,若k<0,則向 平移. 2.拋物線y=-2(x+5)2-1先向左平移5個單位長度,再向下平移1個單位長度可得新拋物線的表達式為 .
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1二次函數y=a(x-h)2的圖象與性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P38隨堂練習拓展)已知二次函數y=-(x-2)2,不畫圖象,回答下列問題.
(1)確定拋物線y=-(x-2)2的開口方向、對稱軸和頂點坐標;
(2)當x取何值時,y有最大(小)值 最大(小)值是多少
(3)當x取何值時,y隨x的增大而增大
(4)拋物線y=-(x-2)2是由拋物線y=-x2經過怎樣的平移得到的
【舉一反三】
1.(2024·南通質檢)已知二次函數y=-(x+h)2,當x<-1時,y隨著x的增大而增大,當x>-1時,y隨x的增大而減小,當x=3時,y的值為( )
A.-16　 B.-1　
C.-9　 D.0
2.(2024·徐州期中)已知二次函數y=a(x+1)2的圖象經過點(-2,-1).當x<-1時,y隨x的增大而 .(填“增大”或“減小”)
【技法點撥】
y=ax2的圖象左右平移規律的四字訣
左加:y=ax2向左平移h(h>0)個單位長度 y=a(x+h)2.
右減:y=ax2向右平移h(h>0)個單位長度 y=a(x-h)2.
重點2二次函數y=a(x-h)2+k的圖象與性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】如圖,拋物線y=(x-4)2-1與直線y=x交于A,B兩點(點A在點B的左側).
(1)求A,B兩點的坐標;
(2)設拋物線的頂點為C,連接AC,BC,試求△ABC的面積.
【舉一反三】
1.(2024·常德一模)二次函數y=a(x-m)2-k的圖象如圖所示,下列四個選項中,正確的是( )
A.m<0,k<0　 B.m>0,k>0
C.m>0,k<0　 D.m<0,k>0
2.如圖,將拋物線y=2(x+1)2+1繞原點O順時針旋轉45°得到新曲線,新曲線與直線y=x交于點M,則點M的坐標為 .
【技法點撥】
二次函數y=a(x-h)2+k中a,h,k的兩個作用
1.確定圖象的特征.根據a,h,k的符號可以確定圖象的開口方向、頂點的位置、對稱軸;
2.推出圖象有關的結論.根據a,h,k的值比較大小、計算點的坐標、求三角形的面積.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念)函數y=3(x-2)2+4的圖象的最小值是( )
A.2　 B.3　 C.4　 D.-2
2.(3分·模型觀念)拋物線y=-2(x-1)2的圖象一定經過的點是( )
A.(0,2)　 B.(2,-2) C.(1,-2)　 D.(-1,4)
3.(3分·模型觀念、運算能力)拋物線y=3(x-1)2+8的頂點橫坐標為 .
4.(3分·運算能力、應用意識)已知函數y=-(x-1)2圖象上兩點A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,則y1 y2.
5.(8分·應用意識、運算能力)已知拋物線y=(x-2)2經過點A(-2,b).
(1)求b的值;
(2)判斷點B(10,8)是否在此拋物線上.2　二次函數的圖象與性質
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會畫二次函數y=x2與y=-x2的圖象 模型觀念
2.會根據圖象理解二次函數y=x2與y=-x2的性質 模型觀念、運算能力
3.知道y=x2與y=-x2的圖象的異同,并能解決簡單的問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
二次函數y=x2與y=-x2的圖象與性質 函數y=x2y=-x2圖象開口方向　向上　 　向下　 頂點坐標　(0,0)　 　(0,0)　 對稱軸y軸y軸函數變化當x>0時,y隨x的增大而　增大　; 當x<0時,y隨x的增大而　減小　 當x>0時,y隨x的增大而　減小　; 當x<0時,y隨x的增大而　增大　 最大(小)值當x=0時,y最小值=0當x=0時,y最大值=0
1.二次函數y=x2的圖象是(C) A.線段 B.直線 C.拋物線 D.雙曲線 2.二次函數y=-x2的圖象經過的象限是(D) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 3.下列四個函數中,y的值隨著x值的增大而減小的是(D) A.y=2x B.y=- C.y=x+1 D.y=x2(x<0) 4.二次函數的關系式為y=mxm+1,則它的圖象是　拋物線　,開口向　上　.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1二次函數y=x2與y=-x2的圖象(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例1】 (教材再開發·P33“做一做”拓展)如圖,已知拋物線y=-x2上有A,B兩點,其橫坐標分別為-1,-2;在y軸上有一動點C,則AC+BC的最小值為(B)
A.2 B.3 C. D.5
【舉一反三】
如圖,直線l過點P(0,5),與拋物線y=x2交于A,B兩點,P在A的左側,且S△AOP∶S△BOP=5∶4,求直線l的表達式.
【解析】∵直線l過點P(0,5),∴設直線l的表達式為y=kx+5,聯立,
消掉y得x2-kx-5=0,解得x=.
∵S△AOP∶S△BOP=5∶4,
∴∶=5∶4,
整理,得=9k,兩邊平方并化簡,
得k2=,解得k=或k=-(舍去).
∴直線l的表達式為y=x+5.
重點2二次函數y=x2與y=-x2的性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P33“做一做”補充)
已知點(-2,y1),(-2.5,y2),(-1,y3)都在函數y=-x2的圖象上,試比較y1,y2,y3的大小.
【自主解答】∵-2.5<-2<-1<0,
∴這三個點都在拋物線對稱軸的左側.
∵在函數y=-x2圖象的左側,y隨x的增大而增大,
∴y3>y1>y2.
【舉一反三】
1.已知二次函數y=x2的圖象經過A(-1,y1),B(2,y2)兩點,則下列關系式正確的是(C)
A.y1<0C.02.已知(x1,4),(x2,6),(x3,8)是拋物線y=x2上的三點,位于y軸的右側.試比較x1,x2,x3的大小.
【解析】∵三點是拋物線y=x2上的三點,位于y軸的右側,
又∵4<6<8,
∴x1【技法點撥】
比較y=x2與y=-x2的圖象上若干個點的縱坐標大小的三個步驟
(1)比大小:比較各點橫坐標與0之間的大小關系.
(2)定位置:確定這些點是在對稱軸的左邊還是右邊.
(3)下結論:根據y=x2 或y=-x2的增減性確定各點縱坐標的大小.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念)下列各點,不在二次函數y=x2的圖象上的是(A)
A.(1,-1)　 B.(1,1) C.(-2,4) D.(3,9)
2.(3分·模型觀念)下列函數中,當x<0時,函數值y隨x的增大而增大的有(C)
①y=3x　②y=-2x+1　③y=-　④y=-x2
A.1個　 B.2個　 C.3個　 D.4個
3.(3分·模型觀念、運算能力)點A(2,m)在二次函數y=-x2的圖象上,則m=　-4　.
4.(3分·模型觀念、運算能力)直線y=x+a與拋物線y=x2的一個交點坐標為(-1,b),則另一個交點的坐標是　(2,4)　.
5.(8分·模型觀念、運算能力)已知函數y=x2與y=2x+3的交點為A,B(A在B的右邊).
(1)求點A、點B的坐標.
(2)求△AOB的面積.
【解析】(1)由題意得:,
解得:或,
即交點A,B的坐標分別為(3,9),(-1,1);
(2)連接OA,OB,直線y=2x+3與y軸交于點C(0,3),即OC=3,
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×3+×3×1=6.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 八”2　二次函數的圖象與性質
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會畫二次函數y=x2與y=-x2的圖象 模型觀念
2.會根據圖象理解二次函數y=x2與y=-x2的性質 模型觀念、運算能力
3.知道y=x2與y=-x2的圖象的異同,并能解決簡單的問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
二次函數y=x2與y=-x2的圖象與性質 函數y=x2y=-x2圖象開口方向 頂點坐標 對稱軸y軸y軸函數變化當x>0時,y隨x的增大而 ; 當x<0時,y隨x的增大而 當x>0時,y隨x的增大而 ; 當x<0時,y隨x的增大而 最大(小)值當x=0時,y最小值=0當x=0時,y最大值=0
1.二次函數y=x2的圖象是( ) A.線段 B.直線 C.拋物線 D.雙曲線 2.二次函數y=-x2的圖象經過的象限是( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 3.下列四個函數中,y的值隨著x值的增大而減小的是( ) A.y=2x B.y=- C.y=x+1 D.y=x2(x<0) 4.二次函數的關系式為y=mxm+1,則它的圖象是 ,開口向 .
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1二次函數y=x2與y=-x2的圖象(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例1】 (教材再開發·P33“做一做”拓展)如圖,已知拋物線y=-x2上有A,B兩點,其橫坐標分別為-1,-2;在y軸上有一動點C,則AC+BC的最小值為( )
A.2 B.3 C. D.5
【舉一反三】
如圖,直線l過點P(0,5),與拋物線y=x2交于A,B兩點,P在A的左側,且S△AOP∶S△BOP=5∶4,求直線l的表達式.
重點2二次函數y=x2與y=-x2的性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P33“做一做”補充)
已知點(-2,y1),(-2.5,y2),(-1,y3)都在函數y=-x2的圖象上,試比較y1,y2,y3的大小.
【舉一反三】
1.已知二次函數y=x2的圖象經過A(-1,y1),B(2,y2)兩點,則下列關系式正確的是( )
A.y1<0C.02.已知(x1,4),(x2,6),(x3,8)是拋物線y=x2上的三點,位于y軸的右側.試比較x1,x2,x3的大小.
【技法點撥】
比較y=x2與y=-x2的圖象上若干個點的縱坐標大小的三個步驟
(1)比大小:比較各點橫坐標與0之間的大小關系.
(2)定位置:確定這些點是在對稱軸的左邊還是右邊.
(3)下結論:根據y=x2 或y=-x2的增減性確定各點縱坐標的大小.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念)下列各點,不在二次函數y=x2的圖象上的是( )
A.(1,-1)　 B.(1,1) C.(-2,4) D.(3,9)
2.(3分·模型觀念)下列函數中,當x<0時,函數值y隨x的增大而增大的有( )
①y=3x　②y=-2x+1　③y=-　④y=-x2
A.1個　 B.2個　 C.3個　 D.4個
3.(3分·模型觀念、運算能力)點A(2,m)在二次函數y=-x2的圖象上,則m= .
4.(3分·模型觀念、運算能力)直線y=x+a與拋物線y=x2的一個交點坐標為(-1,b),則另一個交點的坐標是 .
5.(8分·模型觀念、運算能力)已知函數y=x2與y=2x+3的交點為A,B(A在B的右邊).
(1)求點A、點B的坐標.
(2)求△AOB的面積.2　二次函數的圖象與性質
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能畫出二次函數y=ax2和y=ax2+c(a≠0)的圖象 模型觀念
2.掌握二次函數y=ax2與y=ax2+c(a≠0)圖象之間的聯系 模型觀念、運算能力
3.能靈活運用二次函數y=ax2和y=ax2+c(a≠0)的知識解決簡單的問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
二次函數y=ax2和y=ax2+c的性質 函數y=ax2y=ax2+c開口方向a>0時,開口　向上　; a<0時,開口向下a>0時,開口向上;a<0時,開口　向下　 對稱軸y軸　y軸　 頂點坐標　(0,0)　 (0,c)增減性(1)a>0:x>0時,y隨x的增大而　增大　; x<0時,y隨x的增大而　減小　; (2)a<0:x>0時,y隨x的增大而　減小　; x<0時,y隨x的增大而　增大　 最值a>0,y最小值=　0　; a<0,y最大值=0a>0,y最小值=　c　; a<0,y最大值=　c　 y=ax2+c與y=ax2的圖象的關系y=ax2+c的圖象可以看成是由y=ax2的圖象整體上下移動得到的,當c>0時,向　上　移動|c|個單位長度,當c<0時,向　下　移動|c|個單位長度,簡記為:“上加下減”
1.拋物線y=3x2的對稱軸是(C) A.直線x=3 B.直線x=-3 C.直線x=0 D.直線y=0 2.函數y=-x2+3與y=-x2-2的圖象的不同之處是(A) A.頂點 B.對稱軸 C.開口方向 D.形狀 3.已知二次函數y=2x2+1,當x<0時,y隨x的增大而　減小　(填“增大”或“減小”). 4.二次函數y=-5x2的頂點坐標為　(0,0)　. 5.已知函數y=(m+3)x2+1是二次函數,則m的取值范圍為　m≠-3　.
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1二次函數y=ax2的圖象與性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P35補充例題)已知二次函數y=x2,解答下列問題:
(1)根據已知的圖象部分畫出這個函數圖象的另一部分(直接在網格中作圖即可).
(2)判斷點(-2,-4)是否在這個函數圖象上,說明理由.
(3)求當y=4時對應的函數圖象在第一象限的點的坐標.
【解析】(1)根據該二次函數的圖象關于y軸對稱,當x=±2時,y=2,當x=±4時,y=8,故這個函數圖象的另一部分如圖所示:
(2)當x=-2時,y=×(-2)2=2≠-4,
∴點(-2,-4)不在這個函數圖象上;
(3)當y=4時,由4=x2得x=±2,
∴y=4時,函數圖象上在第一象限的點的坐標為(2,4).
【舉一反三】
1.關于拋物線y=x2,y=2x2,y=-2x2,給出下列結論:
①都是開口向上;②都以點(0,0)為頂點;③都以y軸為對稱軸;④都關于x軸對稱.
其中正確的個數是(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函數y=ax2(a≠0)與直線y=x-2交于點(1,b).
(1)求a,b的值.
(2)x取何值時,y隨x的增大而增大
【解析】(1)把(1,b)代入y=x-2可得:b=1-2=-1,
∴交點的坐標為(1,-1),
把(1,-1)代入y=ax2可得-1=a,即a=-1,
則y=-x2,
∴a=-1,b=-1;
(2)由(1)可得y=-x2,
∴a=-1<0,
∴拋物線開口向下,且對稱軸為y軸,
∴當x<0時,y隨x的增大而增大.
重點2二次函數y=ax2+c的圖象與性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P36隨堂練習T1延伸)已知拋物線y=-x2+c經過點(-2,a)和點(2,b).
(1)寫出該拋物線的對稱軸,并直接寫出a,b的大小關系;
(2)若該拋物線經過點A(3,-5).
①求c的值;
②當-1③若拋物線先向下平移4個單位長度,再向右平移m(m>0)個單位長度后再次經過點A,求m的值.
【解析】(1)∵y=-x2+c,
∴該拋物線的對稱軸為y軸,
由對稱性知點(-2,a)和點(2,b)關于y軸對稱,
∴a=b.
(2)①將點A(3,-5)代入y=-x2+c可得:-5=-9+c,解得:c=4.
②∵y=-x2+4,
∴該函數在-1當x=-1時,y=-(-1)2+4=3;當x=2時,y=-22+4=0;
∴當-1③設平移后的表達式為:y=-(x-m)2+4-4,將A(3,-5)代入可得:-5=-(3-m)2+4-4,解得:m=3+或m=3-.
【舉一反三】
1.拋物線y=x2-2的頂點坐標是(D)
A.(-2,0)　 B.(2,0) C.(0,2)　 D.(0,-2)
2.已知二次函數y=-x2+5.
(1)寫出它的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最值;
(2)若點(x1,y1),(x2,y2)在該二次函數的圖象上,且x1>x2>0,試比較y1與y2的大小;
(3)拋物線y=-x2-1可以由拋物線y=-x2+5平移得到嗎 如果可以,寫出平移的方法;如果不可以,請說明理由.
【解析】(1)∵a=-<0,∴它的圖象的開口向下,對稱軸為y軸,頂點坐標為(0,5),
當x=0時,y最大值=5,沒有最小值.
(2)∵拋物線的開口向下,對稱軸為y軸,
∴當x>0時,y隨x的增大而減小,
故當x1>x2>0時,y1(3)拋物線y=-x2-1可以由拋物線y=-x2+5平移得到,其平移方法是將拋物線y=-x2+5向下平移6個單位長度.
【技法點撥】
應用二次函數y=ax2+c性質的三個步驟
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念)拋物線y=ax2的開口向上,則a的取值范圍是(A)
A.a>0　 B.a≥0　 C.a<0　 D.a≤0
2.(3分·模型觀念、運算能力)拋物線y=-2x2-1的頂點坐標是(A)
A.(0,-1) B.(-1,0) C.(2,-1) D.(-1,-2)
3.(3分·模型觀念)對于拋物線y=3x2+1,當x>0時,y隨x的增大而　增大　.(填“增大”或“減小”)
4.(3分·模型觀念、運算能力)將y=-2x2的圖象向上平移3個單位得到一個新的二次函數圖象,則新的二次函數圖象的頂點的坐標為　(0,3)　.
5.(8分·模型觀念、運算能力)已知函數y=(m+2)是關于x的二次函數.
(1)求滿足條件的m的值;
(2)m為何值時,拋物線有最高點 求出這個最高點的坐標,這時,拋物線的增減性如何
【解析】(1)根據題意得,m2+m-4=2且m+2≠0,
解得m=2或m=-3;
(2)當m=2時,m+2=4>0,拋物線開口向上,該拋物線有最低點;
當m=-3時,m+2=-1<0拋物線開口向下,該拋物線有最高點.
此時拋物線表達式為y=-x2,則最高點坐標為(0,0),
當x>0時,y隨x的增大而減小;當x<0時,隨x的增大而增大.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 九”2　二次函數的圖象與性質
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.能畫出二次函數y=ax2和y=ax2+c(a≠0)的圖象 模型觀念
2.掌握二次函數y=ax2與y=ax2+c(a≠0)圖象之間的聯系 模型觀念、運算能力
3.能靈活運用二次函數y=ax2和y=ax2+c(a≠0)的知識解決簡單的問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
二次函數y=ax2和y=ax2+c的性質 函數y=ax2y=ax2+c開口方向a>0時,開口 ; a<0時,開口向下a>0時,開口向上;a<0時,開口 對稱軸y軸 頂點坐標 (0,c)增減性(1)a>0:x>0時,y隨x的增大而 ; x<0時,y隨x的增大而 ; (2)a<0:x>0時,y隨x的增大而 ; x<0時,y隨x的增大而 最值a>0,y最小值= ; a<0,y最大值=0a>0,y最小值= ; a<0,y最大值= y=ax2+c與y=ax2的圖象的關系y=ax2+c的圖象可以看成是由y=ax2的圖象整體上下移動得到的,當c>0時,向 移動|c|個單位長度,當c<0時,向 移動|c|個單位長度,簡記為:“上加下減”
1.拋物線y=3x2的對稱軸是( ) A.直線x=3 B.直線x=-3 C.直線x=0 D.直線y=0 2.函數y=-x2+3與y=-x2-2的圖象的不同之處是( ) A.頂點 B.對稱軸 C.開口方向 D.形狀 3.已知二次函數y=2x2+1,當x<0時,y隨x的增大而 (填“增大”或“減小”). 4.二次函數y=-5x2的頂點坐標為 . 5.已知函數y=(m+3)x2+1是二次函數,則m的取值范圍為 .
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1二次函數y=ax2的圖象與性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P35補充例題)已知二次函數y=x2,解答下列問題:
(1)根據已知的圖象部分畫出這個函數圖象的另一部分(直接在網格中作圖即可).
(2)判斷點(-2,-4)是否在這個函數圖象上,說明理由.
(3)求當y=4時對應的函數圖象在第一象限的點的坐標.
【舉一反三】
1.關于拋物線y=x2,y=2x2,y=-2x2,給出下列結論:
①都是開口向上;②都以點(0,0)為頂點;③都以y軸為對稱軸;④都關于x軸對稱.
其中正確的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函數y=ax2(a≠0)與直線y=x-2交于點(1,b).
(1)求a,b的值.
(2)x取何值時,y隨x的增大而增大
重點2二次函數y=ax2+c的圖象與性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P36隨堂練習T1延伸)已知拋物線y=-x2+c經過點(-2,a)和點(2,b).
(1)寫出該拋物線的對稱軸,并直接寫出a,b的大小關系;
(2)若該拋物線經過點A(3,-5).
①求c的值;
②當-1③若拋物線先向下平移4個單位長度,再向右平移m(m>0)個單位長度后再次經過點A,求m的值.
【舉一反三】
1.拋物線y=x2-2的頂點坐標是( )
A.(-2,0)　 B.(2,0) C.(0,2)　 D.(0,-2)
2.已知二次函數y=-x2+5.
(1)寫出它的圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最值;
(2)若點(x1,y1),(x2,y2)在該二次函數的圖象上,且x1>x2>0,試比較y1與y2的大小;
(3)拋物線y=-x2-1可以由拋物線y=-x2+5平移得到嗎 如果可以,寫出平移的方法;如果不可以,請說明理由.
【技法點撥】
應用二次函數y=ax2+c性質的三個步驟
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念)拋物線y=ax2的開口向上,則a的取值范圍是( )
A.a>0　 B.a≥0　 C.a<0　 D.a≤0
2.(3分·模型觀念、運算能力)拋物線y=-2x2-1的頂點坐標是( )
A.(0,-1) B.(-1,0) C.(2,-1) D.(-1,-2)
3.(3分·模型觀念)對于拋物線y=3x2+1,當x>0時,y隨x的增大而 .(填“增大”或“減小”)
4.(3分·模型觀念、運算能力)將y=-2x2的圖象向上平移3個單位得到一個新的二次函數圖象,則新的二次函數圖象的頂點的坐標為 .
5.(8分·模型觀念、運算能力)已知函數y=(m+2)是關于x的二次函數.
(1)求滿足條件的m的值;
(2)m為何值時,拋物線有最高點 求出這個最高點的坐標,這時,拋物線的增減性如何 2　二次函數的圖象與性質
第4課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會用配方法或公式法將一般式y=ax2+bx+c化成頂點式y=a(x-h)2+k 模型觀念、運算能力
2.能夠利用二次函數的對稱軸和頂點坐標公式,解決實際問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質 1.(1)二次函數y=x2-2x+1的對稱軸為(D) A.直線x=4 B.直線x=2 C.直線x=-2 D.直線x=1 (2)將拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向左平移2個單位長度,以下不改變的是(A) A.開口方向 B.對稱軸 C.y隨x的變化情況 D.與y軸的交點 (3)已知拋物線y=x2-2x+c經過點A(-1,y1)和B(2,y2),則y1　>　y2(選擇“>”“<”或“=”填入空格). (4)二次函數y=-3x2-2的最大值為　-2　.
2.配方法:y=ax2+bx+c=a(x2+ )+c =a+c =a(x+ )2+. 2.將二次函數y=x2-6x+2化成y=a(x-h)2+k的形式為(B) A.y=(x-3)2+2　 B.y=(x-3)2-7 C.y=(x+3)2-7　 D.y=(x-6)2+2
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P39例1拓展)已知二次函數y=-x2+6x-5.
(1)求此二次函數圖象的頂點坐標;
(2)當函數值y≤0時,求自變量x的取值范圍.
【自主解答】(1)由題意可得,y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
∴拋物線的頂點坐標為(3,4);
(2)當y=0時,-(x-3)2+4=0,
解得x1=5,x2=1,∵a=-1<0,
∴拋物線開口向下,
∴當函數值y≤0時,x≤1或x≥5.
【舉一反三】
在平面直角坐標系中,二次函數y=x2-2x的圖象可能是(A)
重點2二次函數y=ax2+bx+c的圖象與a,b,c的關系(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】如圖是二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點在點(2,0)和(3,0)之間,對稱軸是x=1.對于下列說法:①ab<0;②2a-b=0;
③當-10;④8a+c<0.其中正確的個數是(B)
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
【舉一反三】
1.(2024·周口三模)直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+b在同一坐標系里的大致圖象正確的是(D)
2.拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數)的部分圖象如圖所示,設m=a-b+c,則m的取值范圍是　-4素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·模型觀念)關于拋物線y=x2-4x+4,下列說法正確的是(B)
A.頂點坐標是(-2,0)
B.對稱軸是直線x=2
C.拋物線有最高點
D.拋物線與x軸有兩個交點
2.(4分·模型觀念、運算能力)將二次函數y=x2-8x+6化為y=(x-h)2+k的形式,結果為(D)
A.y=(x+4)2-10　 B.y=(x-3)2-1
C.y=(x-4)2+6　 D.y=(x-4)2-10
3.(4分·模型觀念、運算能力)拋物線y=-2x2+6x+8的頂點坐標為 (,)　.
4. (4分·運算能力、應用意識)已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則點P(ab,c)在第　二　象限.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十一”2　二次函數的圖象與性質
第4課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會用配方法或公式法將一般式y=ax2+bx+c化成頂點式y=a(x-h)2+k 模型觀念、運算能力
2.能夠利用二次函數的對稱軸和頂點坐標公式,解決實際問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質 1.(1)二次函數y=x2-2x+1的對稱軸為( ) A.直線x=4 B.直線x=2 C.直線x=-2 D.直線x=1 (2)將拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)向左平移2個單位長度,以下不改變的是( ) A.開口方向 B.對稱軸 C.y隨x的變化情況 D.與y軸的交點 (3)已知拋物線y=x2-2x+c經過點A(-1,y1)和B(2,y2),則y1 y2(選擇“>”“<”或“=”填入空格). (4)二次函數y=-3x2-2的最大值為 .
2.配方法:y=ax2+bx+c=a(x2+ )+c =a+c =a(x+ )2+. 2.將二次函數y=x2-6x+2化成y=a(x-h)2+k的形式為( ) A.y=(x-3)2+2　 B.y=(x-3)2-7 C.y=(x+3)2-7　 D.y=(x-6)2+2
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1二次函數y=ax2+bx+c的圖象與性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P39例1拓展)已知二次函數y=-x2+6x-5.
(1)求此二次函數圖象的頂點坐標;
(2)當函數值y≤0時,求自變量x的取值范圍.
【舉一反三】
在平面直角坐標系中,二次函數y=x2-2x的圖象可能是( )
重點2二次函數y=ax2+bx+c的圖象與a,b,c的關系(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】如圖是二次函數y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點在點(2,0)和(3,0)之間,對稱軸是x=1.對于下列說法:①ab<0;②2a-b=0;
③當-10;④8a+c<0.其中正確的個數是( )
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
【舉一反三】
1.(2024·周口三模)直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+b在同一坐標系里的大致圖象正確的是( )
2.拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數)的部分圖象如圖所示,設m=a-b+c,則m的取值范圍是 .
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·模型觀念)關于拋物線y=x2-4x+4,下列說法正確的是( )
A.頂點坐標是(-2,0)
B.對稱軸是直線x=2
C.拋物線有最高點
D.拋物線與x軸有兩個交點
2.(4分·模型觀念、運算能力)將二次函數y=x2-8x+6化為y=(x-h)2+k的形式,結果為( )
A.y=(x+4)2-10　 B.y=(x-3)2-1
C.y=(x-4)2+6　 D.y=(x-4)2-10
3.(4分·模型觀念、運算能力)拋物線y=-2x2+6x+8的頂點坐標為 .
4. (4分·運算能力、應用意識)已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則點P(ab,c)在第 象限. 2　二次函數的圖象與性質
第3課時
課時學習目標 素養目標達成
1.會畫y=a(x-h)2與y=a(x-h)2+k的圖象,并理解它們與y=ax2的圖象的關系,理解a,h和k對二次函數圖象的影響 模型觀念、運算能力
2.能夠正確地說出y=a(x-h)2+k的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標 模型觀念、運算能力
3.會用二次函數的對稱軸和頂點坐標公式解決問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.y=a(x-h)2與y=a(x-h)2+k的性質 拋物線y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k頂點 坐標(h,0)(h,k)對稱軸　直線x=h　 位置由h和k的符號確定開口 方向a>0時,開口　向上　 a<0時,開口　向下　 增減 性a>0,當x>　h　時,y隨x的增大而　增大　; 當x<　h　時,y隨x的增大而　減小　 a<0,當x>　h　時,y隨x的增大而　減小　; 當x0,當　x=h　時,最小值為　0　; a<0,當　x=h　時,最大值為　0　 a>0,當　x=h　時,最小值為　k　;a<0,當　x=h　時,最大值為　k　
1.(1)二次函數y=-3(x+2)2-5的圖象的頂點坐標是(D) A.(2,5) B.(2,-5) C.(-2,5) D.(-2,-5) (2)拋物線y=(x-1)2+5的對稱軸為　直線x=1　. (3)已知函數y=2(x+1)2+1,當x　<-1　時,y隨x的增大而減小. (4)二次函數y=4(x-2)2-5的最小值是　-5　.
2.拋物線y=a(x-h)2+k(a≠0)可以看作是由拋物線y=ax2(a≠0)平移得到的. 若h>0,則向　右　平移,若h<0,則向　左　平移; 若k>0,則向　上　平移,若k<0,則向　下　平移. 2.拋物線y=-2(x+5)2-1先向左平移5個單位長度,再向下平移1個單位長度可得新拋物線的表達式為　y=-2(x+10)2-2　.
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1二次函數y=a(x-h)2的圖象與性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發·P38隨堂練習拓展)已知二次函數y=-(x-2)2,不畫圖象,回答下列問題.
(1)確定拋物線y=-(x-2)2的開口方向、對稱軸和頂點坐標;
(2)當x取何值時,y有最大(小)值 最大(小)值是多少
(3)當x取何值時,y隨x的增大而增大
(4)拋物線y=-(x-2)2是由拋物線y=-x2經過怎樣的平移得到的
【自主解答】(1)∵拋物線表達式為y=-(x-2)2,且-<0,
∴拋物線y=-(x-2)2開口向下,對稱軸是直線x=2,頂點坐標為(2,0);
(2)∵拋物線y=-(x-2)2開口向下,
∴二次函數有最大值,且當x=2時,y的最大值是0.
(3)∵拋物線y=-(x-2)2開口向下,對稱軸是直線x=2,
∴當x<2時,y隨x的增大而增大;
(4)拋物線y=-(x-2)2是由拋物線y=-x2向右平移2個單位長度得到的.
【舉一反三】
1.(2024·南通質檢)已知二次函數y=-(x+h)2,當x<-1時,y隨著x的增大而增大,當x>-1時,y隨x的增大而減小,當x=3時,y的值為(A)
A.-16　 B.-1　
C.-9　 D.0
2.(2024·徐州期中)已知二次函數y=a(x+1)2的圖象經過點(-2,-1).當x<-1時,y隨x的增大而　增大　.(填“增大”或“減小”)
【技法點撥】
y=ax2的圖象左右平移規律的四字訣
左加:y=ax2向左平移h(h>0)個單位長度 y=a(x+h)2.
右減:y=ax2向右平移h(h>0)個單位長度 y=a(x-h)2.
重點2二次函數y=a(x-h)2+k的圖象與性質(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】如圖,拋物線y=(x-4)2-1與直線y=x交于A,B兩點(點A在點B的左側).
(1)求A,B兩點的坐標;
(2)設拋物線的頂點為C,連接AC,BC,試求△ABC的面積.
【自主解答】(1),解得或,
∴A(2,1),B(7,);
(2)過點C作CD∥y軸交直線y=x于點D,
∵y=(x-4)2-1,
∴頂點C(4,-1),
當x=4時,y=x=2,
∴D(4,2),
∴CD=3,
∴S△ABC=S△ACD+S△B CD=×(4-2)×3+×(7-4)×3=.
【舉一反三】
1.(2024·常德一模)二次函數y=a(x-m)2-k的圖象如圖所示,下列四個選項中,正確的是(A)
A.m<0,k<0　 B.m>0,k>0
C.m>0,k<0　 D.m<0,k>0
2.如圖,將拋物線y=2(x+1)2+1繞原點O順時針旋轉45°得到新曲線,新曲線與直線y=x交于點M,則點M的坐標為 (,)　.
【技法點撥】
二次函數y=a(x-h)2+k中a,h,k的兩個作用
1.確定圖象的特征.根據a,h,k的符號可以確定圖象的開口方向、頂點的位置、對稱軸;
2.推出圖象有關的結論.根據a,h,k的值比較大小、計算點的坐標、求三角形的面積.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念)函數y=3(x-2)2+4的圖象的最小值是(C)
A.2　 B.3　 C.4　 D.-2
2.(3分·模型觀念)拋物線y=-2(x-1)2的圖象一定經過的點是(B)
A.(0,2)　 B.(2,-2) C.(1,-2)　 D.(-1,4)
3.(3分·模型觀念、運算能力)拋物線y=3(x-1)2+8的頂點橫坐標為　1　.
4.(3分·運算能力、應用意識)已知函數y=-(x-1)2圖象上兩點A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,則y1　>　y2.
5.(8分·應用意識、運算能力)已知拋物線y=(x-2)2經過點A(-2,b).
(1)求b的值;
(2)判斷點B(10,8)是否在此拋物線上.
【解析】(1)拋物線y=(x-2)2經過點A(-2,b),
∴b=(-2-2)2=16;
(2)∵當x=10時,y=(10-2)2=64≠8,
∴B(10,8)不在此拋物線上.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十”

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