資源簡介

3　確定二次函數的表達式
課時學習目標 素養目標達成
1.會用待定系數法求二次函數的表達式 模型觀念、運算能力
2.能夠根據不同的已知條件選用不同的方法,求二次函數的表達式 模型觀念、運算能力
3.能運用二次函數解決有關的實際問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
二次函數表達式的選擇 已知條件選用 表達式設函數形式頂點和一個點坐標頂點式y=a(x-h)2+k兩個未知字母系數 和兩個點坐標一般式y=ax2+bx+c與x軸兩個交點坐標交點式y=a(x-x1)(x-x2)
1.已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點A(0,3),與x軸交于點B(1,0),則此拋物線的表達式為(D) A.y=x2+x+3 B.y=x2+x-3 C.y=x2-x-3 D.y=x2-x+3 2.對稱軸是直線x=3的拋物線的表達式是(C) A.y=-x2+3 B.y=x2+3 C.y=-(x-3)2 D.y=(x+3)2 3.拋物線的頂點在坐標原點,且經過點(2,8),則該拋物線的表達式為　y=2x2　.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1設二次函數頂點式求表達式(模型觀念,運算能力)
【典例1】(教材再開發·P43隨堂練習T1拓展)已知關于x的二次函數的圖象的頂點坐標為(-1,2),且圖象過點(1,-3).
(1)求這個二次函數的表達式;
(2)寫出它的開口方向、對稱軸.
【解析】(1)∵二次函數的圖象的頂點坐標為(-1,2),
∴設函數表達式為y=a(x+1)2+2,
∵函數圖象過點(1,-3),
∴a(1+1)2+2=-3,解得a=-,
∴拋物線的表達式為:y=-(x+1)2+2;
(2)由(1)的函數表達式可得:拋物線的開口向下,對稱軸為x=-1.
【舉一反三】
1.(2024·昆明質檢)若拋物線的頂點坐標是(-2,1)且經過點(1,-8),則該拋物線的表達式是(C)
A.y=-9(x+2)2+1
B.y=-7(x-2)2-1
C.y=-(x+2)2+1
D.y=-(x+2)2-1
2.與拋物線y=3x2形狀相同,開口向上,頂點為(3,-2)的拋物線的表達式為　y=3(x-3)2-2　.
【技法點撥】
已知頂點和另一點坐標求二次函數表達式的注意事項
1.設表達式時,不要漏掉“a”.
2.設表達式時,頂點坐標書寫時,橫坐標放在括號中,且是減.
3.將另一點坐標代入求a時,要注意“對號入座”.
重點2設二次函數一般式、交點式求表達式(模型觀念,運算能力)
【典例2】(教材再開發·P42“做一做”強化)設二次函數y1=ax2-4x+c(a,c是常數)的圖象與x軸有交點.
(1)若圖象與x軸交于A,B兩點的坐標分別為(1,0),(3,0),求函數y1的表達式,并寫出函數圖象的頂點坐標.
(2)若圖象與x軸只有一個交點,且過(a,c),求此時a,c的值.
(3)已知a=1,若函數y1的表達式還可以寫成y1=(x-m)(x-n)(m,n為常數,m≠n且mn=2),設二次函數y2=-(x-m)(x-n),求y1-y2的最小值.
【解析】(1)將(1,0),(3,0)代入y1=ax2-4x+c得,,
解得,
∴y1=x2-4x+3,
∵y1=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴頂點坐標為(2,-1);
(2)令ax2-4x+c=0,
∵圖象與x軸只有一個交點,
∴Δ=(-4)2-4ac=0,即ac=4,
將(a,c)代入y1=ax2-4x+c得,c=a3-4a+c,
解得,a=2或a=-2或a=0(舍去),
∴當a=2時,c=2;當a=-2時,c=-2;
(3)當a=1時,y1=x2-4x+c,
∵y1=(x-m)(x-n)=x2-(m+n)x+mn,mn=2,
∴m+n=4,c=2,
∴y1=x2-4x+2,
∴y1-y2=2y1=2(x2-4x+2)=2[(x-2)2-2],
∵a=2>0,
∴當x=2時,y1-y2的值最小,為-4.
【舉一反三】
拋物線y=ax2+bx+c經過點(-1,0),(1,2),(3,0),則當x=5時,y的值為(D)
A.6 B.1 C.-1 D.-6
【技法點撥】
求二次函數表達式的步驟
待定系數法→代入→組成方程組→解方程組→求出待定系數→確定二次函數表達式.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念、運算能力)一個二次函數的圖象的頂點坐標是(2,4),且過另一點(0,-4),則這個二次函數的表達式為(B)
A.y=-2(x+2)2-4　 B.y=-2(x-2)2+4
C.y=2(x+2)2-4　 D.y=2(x-2)2+4
2.(3分·模型觀念、運算能力)如圖的拋物線的表達式為(C)
A.y=x2-1
B.y=x2+1
C.y=(x-1)2
D.y=(x+1)2
3.(3分·模型觀念、運算能力)點(-1,0)在一個二次項系數為1的二次函數的圖象上,試寫出一個符合題意的二次函數的表達式:　y=x2+3x+2(答案不唯一)　.
4.(3分·模型觀念、運算能力)拋物線和y=-3x2形狀相同,開口方向相反,且頂點坐標為(-1,3),則它的表達式為　y=3(x+1)2+3　.
5.(8分·模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,已知拋物線交x軸于A(-1,0),B(3,0)兩點,交y軸于點C,OC=2,求拋物線的表達式和BC的長.
【解析】拋物線交x軸于A(-1,0),B(3,0)兩點,故設拋物線表達式為y=a(x+1)(x-3),
∵OC=2,
∴C(0,2),
把點C坐標代入y=a(x+1)(x-3)中,得-3a=2,
∴a=-,
∴y=-(x+1)(x-3),
化為一般式為:y=-x2+x+2;
∵C(0,2),B(3,0),
∴OC=2,OB=3,
由勾股定理得:BC==.
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課時學習目標 素養目標達成
1.會用待定系數法求二次函數的表達式 模型觀念、運算能力
2.能夠根據不同的已知條件選用不同的方法,求二次函數的表達式 模型觀念、運算能力
3.能運用二次函數解決有關的實際問題 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
二次函數表達式的選擇 已知條件選用 表達式設函數形式頂點和一個點坐標頂點式y= 兩個未知字母系數 和兩個點坐標一般式y=ax2+bx+c與x軸兩個交點坐標交點式y=
1.已知拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點A(0,3),與x軸交于點B(1,0),則此拋物線的表達式為( ) A.y=x2+x+3 B.y=x2+x-3 C.y=x2-x-3 D.y=x2-x+3 2.對稱軸是直線x=3的拋物線的表達式是( ) A.y=-x2+3 B.y=x2+3 C.y=-(x-3)2 D.y=(x+3)2 3.拋物線的頂點在坐標原點,且經過點(2,8),則該拋物線的表達式為 .
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1設二次函數頂點式求表達式(模型觀念,運算能力)
【典例1】(教材再開發·P43隨堂練習T1拓展)已知關于x的二次函數的圖象的頂點坐標為(-1,2),且圖象過點(1,-3).
(1)求這個二次函數的表達式;
(2)寫出它的開口方向、對稱軸.
【舉一反三】
1.(2024·昆明質檢)若拋物線的頂點坐標是(-2,1)且經過點(1,-8),則該拋物線的表達式是( )
A.y=-9(x+2)2+1
B.y=-7(x-2)2-1
C.y=-(x+2)2+1
D.y=-(x+2)2-1
2.與拋物線y=3x2形狀相同,開口向上,頂點為(3,-2)的拋物線的表達式為 .
【技法點撥】
已知頂點和另一點坐標求二次函數表達式的注意事項
1.設表達式時,不要漏掉“a”.
2.設表達式時,頂點坐標書寫時,橫坐標放在括號中,且是減.
3.將另一點坐標代入求a時,要注意“對號入座”.
重點2設二次函數一般式、交點式求表達式(模型觀念,運算能力)
【典例2】(教材再開發·P42“做一做”強化)設二次函數y1=ax2-4x+c(a,c是常數)的圖象與x軸有交點.
(1)若圖象與x軸交于A,B兩點的坐標分別為(1,0),(3,0),求函數y1的表達式,并寫出函數圖象的頂點坐標.
(2)若圖象與x軸只有一個交點,且過(a,c),求此時a,c的值.
(3)已知a=1,若函數y1的表達式還可以寫成y1=(x-m)(x-n)(m,n為常數,m≠n且mn=2),設二次函數y2=-(x-m)(x-n),求y1-y2的最小值.
【舉一反三】
拋物線y=ax2+bx+c經過點(-1,0),(1,2),(3,0),則當x=5時,y的值為( )
A.6 B.1 C.-1 D.-6
【技法點撥】
求二次函數表達式的步驟
待定系數法→代入→組成方程組→解方程組→求出待定系數→確定二次函數表達式.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念、運算能力)一個二次函數的圖象的頂點坐標是(2,4),且過另一點(0,-4),則這個二次函數的表達式為( )
A.y=-2(x+2)2-4　 B.y=-2(x-2)2+4
C.y=2(x+2)2-4　 D.y=2(x-2)2+4
2.(3分·模型觀念、運算能力)如圖的拋物線的表達式為( )
A.y=x2-1
B.y=x2+1
C.y=(x-1)2
D.y=(x+1)2
3.(3分·模型觀念、運算能力)點(-1,0)在一個二次項系數為1的二次函數的圖象上,試寫出一個符合題意的二次函數的表達式: .
4.(3分·模型觀念、運算能力)拋物線和y=-3x2形狀相同,開口方向相反,且頂點坐標為(-1,3),則它的表達式為 .
5.(8分·模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,已知拋物線交x軸于A(-1,0),B(3,0)兩點,交y軸于點C,OC=2,求拋物線的表達式和BC的長.

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