資源簡介

4　二次函數(shù)的應用
第1課時
課時學習目標 素養(yǎng)目標達成
1.能分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系. 模型觀念、運算能力、應用意識
2.能應用二次函數(shù)的性質解決圖形中的最大面積問題. 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發(fā)
新知要點 對點小練
1.二次函數(shù)的最大(小)值 (1)配方法 用配方法將y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,當自變量x= 時,函數(shù)y有最大(小)值為 . (2)公式法 二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當自變量x= 時,函數(shù)y有最大(小)值為 . 1.若二次函數(shù)y=-x2+2mx+1取最大值時x=1,則m的值為( ) A.-1　 B.1　 C.2　 D.-2
2.利用二次函數(shù)求幾何圖形的最大面積的基本方法 (1)引入自變量. (2)用含自變量的代數(shù)式分別表示與所求幾何圖形相關的量. (3)根據(jù)幾何圖形的特征,列出其面積的計算公式,并且用 表示這個面積. (4)根據(jù)函數(shù)表達式,求出最大值及取得最大值時自變量的值. 2.(1)如圖,假設籬笆(虛線部分)的長度是8 m,則所圍成矩形ABCD的最大面積是 . (2)如圖,小明拋投一個沙包,沙包被拋出后距離地面的高度h(米)和飛行時間t(秒)近似滿足函數(shù)表達式h=-(t-6)2+5,則沙包在飛行過程中距離地面的最大高度是 米.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1圖形面積的最值問題(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發(fā)·P46例1拓展)問題情境:
“綜合與實踐”課上,老師讓同學們以“矩形的翻折”為主題開展數(shù)學活動.
第1步:有一張矩形紙片ABCD,在AD邊上取一點P沿BP翻折,使點A落在矩形內(nèi)部A'處;
第2步:再次翻折矩形,使PD與PA'所在直線重合,點D落在直線PA'上的點D'處,折痕為PE.
翻折后的紙片如圖所示,
(1)∠BPE的度數(shù)為 ;
(2)若AD=32 cm,AB=24 cm,求DE的最大值.
【舉一反三】
1.(2024·泰安中考)如圖,小明的父親想用長為60米的柵欄,再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園.已知房屋外墻長40米,則可圍成的菜園的最大面積是 平方米.
2.如圖,利用135°的墻角修建一個花壇ABCD,使得AD∥BC,∠C=90°,如果新建圍墻折線B-C-D總長15 m,那么當CD= m時,花壇的面積會達到最大.
【技法點撥】
應用二次函數(shù)解決面積最值問題的步驟
1.分析題中的變量與常量、幾何圖形的基本性質.
2.找出等量關系,建立函數(shù)模型.
3.結合函數(shù)圖象及性質,考慮實際問題中自變量的取值范圍,常采用配方法求出,或根據(jù)二次函數(shù)頂點坐標公式求出面積的最大值或最小值.
重點2拋物線形的運動軌跡問題(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發(fā)·P59T13變式)如圖1是某公園噴水頭噴出的水柱.如圖2是其示意圖,點O處有一個噴水頭,距離噴水頭8 m的M處有一棵高度是2.3 m的樹,距離這棵樹10m的N處有一面高2.2 m的圍墻(點O,M,N在同一直線上).建立如圖2所示的平面直角坐標系.已知澆灌時,噴水頭噴出的水柱的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關系y=ax2+bx+c(a<0).
某次噴水澆灌時,測得x與y的幾組數(shù)據(jù)如下:
x 0 2 6 10 12 14 16
y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56
(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù),求這些數(shù)據(jù)滿足的函數(shù)表達式.
(2)判斷噴水頭噴出的水柱能否越過這棵樹,并請說明理由.
(3)在另一次噴水澆灌時,已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關系y=-0.04x2+bx.假設噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹,且不會澆到墻外,求出b所滿足的表達式.
【舉一反三】
(2024·黔東南州期中)一個小球以15 m/s的初速度向上豎直彈出,它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足表達式h=15t-5t2,當小球的高度為10 m時,t為( )
A.1 s　 B.2 s C.1 s或2 s　 D.以上都不對
【技法點撥】
建立合適的直角坐標系的兩原則
1.原則上一般選擇拋物線的對稱軸為y軸,頂點為原點建立直角坐標系,方便表示拋物線頂點的坐標和二次函數(shù)表達式;
2.原則上建立的直角坐標系能較簡單地表示拋物線上點的坐標,通常使x軸,y軸經(jīng)過拋物線上的點.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念、應用意識)已知正方形的邊長為x cm,則它的面積y(cm2)與邊長x(cm)的函數(shù)圖象為( )
2.(4分·模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,若用長10 m的鐵絲借助墻AB圍成一個斜邊為ED的直角三角形ECD,則所圍成的△ECD的最大面積為( )
A.5.5 m2　 B.7.5 m2
C.10.5 m2　 D.12.5 m2
3.(4分·模型觀念、運算能力、應用意識)某市新建一座景觀橋.如圖,橋的拱肋ACB可視為拋物線的一部分,橋面AB可視為水平線段,橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接,拱肋的跨度AB為80米,橋拱的最大高度CD為16米(不考慮燈桿和拱肋的粗細),則與CD的距離為4米的景觀燈桿EF的高度為 米.
4.(8分·模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,在一邊長為36 cm的正方形硬紙板的四角各剪去一個同樣大小的小正方形,將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子(紙板的厚度忽略不計).
(1)要使折成的長方體盒子的底面積為676 cm2,那么剪掉的正方形的邊長為多少
(2)折成的長方體盒子的側面積是否有最大值 如果有,求出這個最大值和此時剪去的小正方形的邊長;如果沒有,請說明理由.4　二次函數(shù)的應用
第1課時
課時學習目標 素養(yǎng)目標達成
1.能分析實際問題中變量之間的二次函數(shù)關系. 模型觀念、運算能力、應用意識
2.能應用二次函數(shù)的性質解決圖形中的最大面積問題. 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發(fā)
新知要點 對點小練
1.二次函數(shù)的最大(小)值 (1)配方法 用配方法將y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,當自變量x=　h　時,函數(shù)y有最大(小)值為　k　. (2)公式法 二次函數(shù)y=ax2+bx+c,當自變量x=　-　時,函數(shù)y有最大(小)值為 　. 1.若二次函數(shù)y=-x2+2mx+1取最大值時x=1,則m的值為(B) A.-1　 B.1　 C.2　 D.-2
2.利用二次函數(shù)求幾何圖形的最大面積的基本方法 (1)引入自變量. (2)用含自變量的代數(shù)式分別表示與所求幾何圖形相關的量. (3)根據(jù)幾何圖形的特征,列出其面積的計算公式,并且用　函數(shù)　表示這個面積. (4)根據(jù)函數(shù)表達式,求出最大值及取得最大值時自變量的值. 2.(1)如圖,假設籬笆(虛線部分)的長度是8 m,則所圍成矩形ABCD的最大面積是　16 m2　. (2)如圖,小明拋投一個沙包,沙包被拋出后距離地面的高度h(米)和飛行時間t(秒)近似滿足函數(shù)表達式h=-(t-6)2+5,則沙包在飛行過程中距離地面的最大高度是　5　米.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1圖形面積的最值問題(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例1】(教材再開發(fā)·P46例1拓展)問題情境:
“綜合與實踐”課上,老師讓同學們以“矩形的翻折”為主題開展數(shù)學活動.
第1步:有一張矩形紙片ABCD,在AD邊上取一點P沿BP翻折,使點A落在矩形內(nèi)部A'處;
第2步:再次翻折矩形,使PD與PA'所在直線重合,點D落在直線PA'上的點D'處,折痕為PE.
翻折后的紙片如圖所示,
(1)∠BPE的度數(shù)為　　　　　;
(2)若AD=32 cm,AB=24 cm,求DE的最大值.
【解析】(1)如圖:
∵點P沿BP翻折,使點A落在矩形內(nèi)部A'處,PD與PA'所在直線重合,點D落在直線PA'上的點D'處,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠2+∠3=×180°=90°,
即∠BPE的度數(shù)為90°;
答案:90°
(2)設AP=x cm,則PD=(32-x)cm,
設D'E=DE=y cm,
∵圖形由折疊而成,
∴∠A'=∠A=90°,∠PD'E=∠D=90°,
∵∠BPD'+∠EPD'=∠BPE=90°,
∠PED'+∠EPD'=180°-∠PD'E=90°,
∴∠BPD'=∠PED',
∴△A'BP∽△D'PE,
∴=,
即=,
∴y=x-x2=-x2+x,
∵x=-=-=16,-<0,
∴開口向下,在x=16時,y有最大值,
把x=16代入y=-x2+x,得出y=,
∴DE的最大值為 cm.
【舉一反三】
1.(2024·泰安中考)如圖,小明的父親想用長為60米的柵欄,再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園.已知房屋外墻長40米,則可圍成的菜園的最大面積是　450　平方米.
2.如圖,利用135°的墻角修建一個花壇ABCD,使得AD∥BC,∠C=90°,如果新建圍墻折線B-C-D總長15 m,那么當CD=　5　m時,花壇的面積會達到最大.
【技法點撥】
應用二次函數(shù)解決面積最值問題的步驟
1.分析題中的變量與常量、幾何圖形的基本性質.
2.找出等量關系,建立函數(shù)模型.
3.結合函數(shù)圖象及性質,考慮實際問題中自變量的取值范圍,常采用配方法求出,或根據(jù)二次函數(shù)頂點坐標公式求出面積的最大值或最小值.
重點2拋物線形的運動軌跡問題(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發(fā)·P59T13變式)如圖1是某公園噴水頭噴出的水柱.如圖2是其示意圖,點O處有一個噴水頭,距離噴水頭8 m的M處有一棵高度是2.3 m的樹,距離這棵樹10m的N處有一面高2.2 m的圍墻(點O,M,N在同一直線上).建立如圖2所示的平面直角坐標系.已知澆灌時,噴水頭噴出的水柱的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關系y=ax2+bx+c(a<0).
某次噴水澆灌時,測得x與y的幾組數(shù)據(jù)如下:
x 0 2 6 10 12 14 16
y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56
(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù),求這些數(shù)據(jù)滿足的函數(shù)表達式.
(2)判斷噴水頭噴出的水柱能否越過這棵樹,并請說明理由.
(3)在另一次噴水澆灌時,已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關系y=-0.04x2+bx.假設噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹,且不會澆到墻外,求出b所滿足的表達式.
【自主解答】(1)根據(jù)拋物線過原點,設拋物線表達式為y=ax2+bx,
把和代入y=ax2+bx得,
,解得,
∴拋物線表達式為y=-0.02x2+0.48x.
(2)∵當x=8時,y=-0.02×82+0.48×8=2.56>2.3,
∴噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹.
(3)∵y=-0.04x2+bx,
∴當x=8時,y>2.3,
∴-0.04×82+8b>2.3,
解得b>.
∵噴水頭噴出的水柱不會澆到墻外,
∴當x=18時,y<2.2,
即-0.04×182+18b<2.2,
解得b<.
∴常數(shù)b滿足的表達式為【舉一反三】
(2024·黔東南州期中)一個小球以15 m/s的初速度向上豎直彈出,它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足表達式h=15t-5t2,當小球的高度為10 m時,t為(C)
A.1 s　 B.2 s C.1 s或2 s　 D.以上都不對
【技法點撥】
建立合適的直角坐標系的兩原則
1.原則上一般選擇拋物線的對稱軸為y軸,頂點為原點建立直角坐標系,方便表示拋物線頂點的坐標和二次函數(shù)表達式;
2.原則上建立的直角坐標系能較簡單地表示拋物線上點的坐標,通常使x軸,y軸經(jīng)過拋物線上的點.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·模型觀念、應用意識)已知正方形的邊長為x cm,則它的面積y(cm2)與邊長x(cm)的函數(shù)圖象為(C)
2.(4分·模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,若用長10 m的鐵絲借助墻AB圍成一個斜邊為ED的直角三角形ECD,則所圍成的△ECD的最大面積為(D)
A.5.5 m2　 B.7.5 m2
C.10.5 m2　 D.12.5 m2
3.(4分·模型觀念、運算能力、應用意識)某市新建一座景觀橋.如圖,橋的拱肋ACB可視為拋物線的一部分,橋面AB可視為水平線段,橋面與拱肋用垂直于橋面的桿狀景觀燈連接,拱肋的跨度AB為80米,橋拱的最大高度CD為16米(不考慮燈桿和拱肋的粗細),則與CD的距離為4米的景觀燈桿EF的高度為　15.84　米.
4.(8分·模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,在一邊長為36 cm的正方形硬紙板的四角各剪去一個同樣大小的小正方形,將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子(紙板的厚度忽略不計).
(1)要使折成的長方體盒子的底面積為676 cm2,那么剪掉的正方形的邊長為多少
(2)折成的長方體盒子的側面積是否有最大值 如果有,求出這個最大值和此時剪去的小正方形的邊長;如果沒有,請說明理由.
【解析】(1)設剪掉的正方形邊長為x cm,
根據(jù)題意,得(36-2x)2=676.
解得x1=5,x2=31(舍).
答:剪掉的正方形邊長為5 cm.
(2)有最大值.
設剪掉的正方形邊長為a cm,
則長方形盒子的側面積為S=4a×(36-2a)=-8a2+144a=-8(a2-18a)=-8(a-9)2+648,
∴當a=9時,S有最大值648.
即長方體盒子的側面積最大值為648 cm2,剪掉的正方形邊長為9 cm.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十三”4　二次函數(shù)的應用
第2課時
課時學習目標 素養(yǎng)目標達成
1.弄清商品銷售問題中的數(shù)量關系及確定自變量的取值范圍. 模型觀念、運算能力、應用意識
2.能應用二次函數(shù)的性質解決商品銷售過程中的最大利潤問題. 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
求解最大利潤問題的基本步驟 (1)引入自變量. (2)用含自變量的代數(shù)式分別表示銷售單價或銷售收入及銷售量. (3)用含自變量的代數(shù)式表示銷售的商品的單件盈利. (4)用函數(shù)及含自變量的代數(shù)式分別表示銷售利潤,即函數(shù)表達式. (5)根據(jù)函數(shù)表達式求出最大值及取得最大值時的自變量的值. 1.某商場降價銷售一批名牌球鞋,已知所獲利潤y(元)與降價金額x(元)之間滿足函數(shù)表達式y(tǒng)=-x2+50x+600,若降價10元,則獲利( ) A.800元 B.600元 C.1 200元 D.1 000元 2.某商店經(jīng)銷一種健身球,已知這種健身球的成本價為每個20元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該種健身球每天的銷售量y(個)與銷售單價x(元)有如下關系:y=-2x+80(20≤x≤40).設這種健身球每天的銷售利潤為w元,則w與x之間的函數(shù)表達式為 .
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點利用二次函數(shù)的圖象和性質解決利潤問題(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例】 (教材再開發(fā)·P50T2拓展)某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件,該產(chǎn)品的生產(chǎn)費用y(萬元)與年產(chǎn)量x(萬件)之間的函數(shù)圖象是頂點為原點的拋物線的一部分(如圖所示);該產(chǎn)品的總銷售額z(萬元)=預售總額(萬元)+波動總額(萬元),預售總額=每件產(chǎn)品的預售額(元)×年銷售量x(萬件),波動總額與年銷售量x的平方成正比,部分數(shù)據(jù)如表所示.生產(chǎn)出的該產(chǎn)品都能在當年銷售完,達到產(chǎn)銷平衡,所獲年毛利潤為w萬元(年毛利潤=總銷售額-生產(chǎn)費用).
年銷售量x(萬件) … 20 40 …
總銷售額z(萬元) … 560 1 040 …
(1)求y與x以及z與x之間的函數(shù)表達式;
(2)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤不低于1 000萬元,求該產(chǎn)品年銷售量的變化范圍;
(3)受市場經(jīng)濟的影響,需下調(diào)每件產(chǎn)品的預售額(生產(chǎn)費用與波動總額均不變),在此基礎上,若要使2025年的最高毛利潤為720萬元,直接寫出每件產(chǎn)品的預售額下調(diào)多少元.
【舉一反三】
1.(2024·杭州質檢)某商店銷售一批頭盔,售價為每頂80元,每月可售出200頂.在“創(chuàng)建文明城市”期間,計劃將頭盔降價銷售,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):每降價1元,每月可多售出20頂.已知頭盔的進價為每頂50元,則該商店每月獲得最大利潤時,每頂頭盔的售價為 元.( )
A.50　 B.90　 C.80　 D.70
2.(2024·新疆中考)某公司銷售一批產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),當銷售量在0.4噸至3.5噸之間時,銷售額y1(萬元)與銷售量x(噸)的函數(shù)表達式為:y1=5x;成本y2(萬元)與銷售量x(噸)的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分,其中(,)是其頂點.
(1)求出成本y2關于銷售量x的函數(shù)表達式;
(2)當成本最低時,銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少
(3)當銷售量是多少噸時,可獲得最大利潤 最大利潤是多少
(注:利潤=銷售額-成本)
3.某百貨公司計劃在春節(jié)前夕購進A,B兩種服裝進行銷售.已知購進1件A服裝和2件B服裝,需800元;購進3件A服裝和4件B服裝,需1 800元.
(1)A,B兩種服裝的進貨單價分別是多少
(2)設A服裝的銷售單價為x(元),在銷售過程中發(fā)現(xiàn):當230≤x≤350時,A服裝的日銷售量y(單位:件)與銷售單價x之間存在一次函數(shù)關系,x,y之間的部分數(shù)值對應關系如下表:
銷售單價x(元) 230 350
日銷售量y(件) 170 50
請寫出當230≤x≤350時,y與x之間的函數(shù)表達式.
(3)在(2)的條件下,設A服裝的日銷售利潤為w元,當A服裝的銷售單價x(元)定為多少時,日銷售利潤最大 最大利潤是多少
【技法點撥】
實際問題中確定最值的方法
1.當二次函數(shù)的對稱軸x=-在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)時,二次函數(shù)的最值就是實際問題中的最值.
2.當二次函數(shù)的對稱軸x=-不在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)時,
(1)如果在此范圍內(nèi),y隨x的增大而增大,則當x=x2時,y的最大值為a+bx2+c,當x=x1時,y的最小值為a+bx1+c.
(2)如果在此范圍內(nèi),y隨x的增大而減小,則當x=x1時,y的最大值為a+bx1+c,當x=x2時,y的最小值為a+bx2+c.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念、運算能力、應用意識)某商店購進一批單價為20元的商品,若以單價30元銷售,則每月可售出400件,如果銷售單價每提高1元,月銷售量相應減少20件,設每件商品單價漲x元,月銷售利潤為y元,可列函數(shù)為y=(30+x-20)(400-20x),對所列函數(shù)下列說法錯誤的是( )
A.(30+x-20)表示漲價后商品的單價
B.20x表示漲價后少售出商品的數(shù)量
C.(400-20x)表示漲價后商品的月銷售量
D.當x=5時月利潤達到最大
2.(3分·模型觀念、運算能力、應用意識)某超市銷售一種飲料,每瓶進價為4元,經(jīng)市場調(diào)查表明:每瓶售價每增加1元,日均銷售量減少80瓶;當售價為每瓶7元時,日均銷售量為400瓶.若要日均毛利潤最大,每瓶飲料的售價應是( )
A.6元　 B.7元　 C.8元　 D.9元
3.(3分·模型觀念、運算能力、應用意識)某商品的銷售利潤與銷售單價存在二次函數(shù)關系,且二次項系數(shù)a=-1,當商品單價為160元和200元時,能獲得同樣多的利潤,要使商品的銷售利潤最大,銷售單價應定為 元.
4.(3分·模型觀念、運算能力、應用意識)某賓館有50個房間供游客居住,當每個房間每天的定價為180元時,房間會住滿;當每個房間每天的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑,賓館需為有游客居住的房間每天支出20元費用,若想要獲得最大利潤,則房價應定為每個房間每天 元.
5.(8分·模型觀念、應用意識、運算能力)某商城銷售一新款耳機,每件進價為30元,經(jīng)過試銷發(fā)現(xiàn),該耳機每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足如下關系:y=-x+60.
(1)求該商店銷售這款耳機每天獲得的利潤w(元)與x之間的函數(shù)關系式;
(2)銷售單價定為多少時,每天能獲得最大的利潤 每天利潤的最大值是多少元 4　二次函數(shù)的應用
第2課時
課時學習目標 素養(yǎng)目標達成
1.弄清商品銷售問題中的數(shù)量關系及確定自變量的取值范圍. 模型觀念、運算能力、應用意識
2.能應用二次函數(shù)的性質解決商品銷售過程中的最大利潤問題. 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
求解最大利潤問題的基本步驟 (1)引入自變量. (2)用含自變量的代數(shù)式分別表示銷售單價或銷售收入及銷售量. (3)用含自變量的代數(shù)式表示銷售的商品的單件盈利. (4)用函數(shù)及含自變量的代數(shù)式分別表示銷售利潤,即函數(shù)表達式. (5)根據(jù)函數(shù)表達式求出最大值及取得最大值時的自變量的值. 1.某商場降價銷售一批名牌球鞋,已知所獲利潤y(元)與降價金額x(元)之間滿足函數(shù)表達式y(tǒng)=-x2+50x+600,若降價10元,則獲利(D) A.800元 B.600元 C.1 200元 D.1 000元 2.某商店經(jīng)銷一種健身球,已知這種健身球的成本價為每個20元,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),該種健身球每天的銷售量y(個)與銷售單價x(元)有如下關系:y=-2x+80(20≤x≤40).設這種健身球每天的銷售利潤為w元,則w與x之間的函數(shù)表達式為　w=-2x2+120x-1 600　.
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點利用二次函數(shù)的圖象和性質解決利潤問題(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例】 (教材再開發(fā)·P50T2拓展)某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件,該產(chǎn)品的生產(chǎn)費用y(萬元)與年產(chǎn)量x(萬件)之間的函數(shù)圖象是頂點為原點的拋物線的一部分(如圖所示);該產(chǎn)品的總銷售額z(萬元)=預售總額(萬元)+波動總額(萬元),預售總額=每件產(chǎn)品的預售額(元)×年銷售量x(萬件),波動總額與年銷售量x的平方成正比,部分數(shù)據(jù)如表所示.生產(chǎn)出的該產(chǎn)品都能在當年銷售完,達到產(chǎn)銷平衡,所獲年毛利潤為w萬元(年毛利潤=總銷售額-生產(chǎn)費用).
年銷售量x(萬件) … 20 40 …
總銷售額z(萬元) … 560 1 040 …
(1)求y與x以及z與x之間的函數(shù)表達式;
(2)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤不低于1 000萬元,求該產(chǎn)品年銷售量的變化范圍;
(3)受市場經(jīng)濟的影響,需下調(diào)每件產(chǎn)品的預售額(生產(chǎn)費用與波動總額均不變),在此基礎上,若要使2025年的最高毛利潤為720萬元,直接寫出每件產(chǎn)品的預售額下調(diào)多少元.
【解析】(1)設y=ax2,
把(100,1 000)代入,得1002a=1 000,
解得a=,
∴y=x2,
設預售總額為z1(萬元),每件產(chǎn)品的預售額為k1(元),則z1=k1x,
設波動總額為z2(萬元),
∵波動總額與年銷售量x的平方成正比,
∴設z2=k2x2,
∴z=z1+z2=k1x+k2x2,
把x=20,z=560;x=40,z=1 040代入,
得,
解得,
∴z=30x-x2;
(2)毛利潤w=z-y=30x-x2-x2=-x2+30x=-(x-75)2+1 125,
令w=1 000,則1 000=-(x-75)2+1 125,
解得x1=50,x2=100,
畫出草圖如下:
由圖知:當50≤x≤100時,w≥1 000,
∴要使該產(chǎn)品的年毛利潤不低于1 000萬元,該產(chǎn)品年銷售量的變化范圍是50≤x≤100;
(3)設下調(diào)m元,
則z=(30-m)x-x2,
∴w=-x2+(30-m)x,
∵2025年的最高毛利潤為720萬元,
∴w的最大值為720,
∴=720,
解得m1=54(不符合題意,舍去),m2=6,
故下調(diào)了6元.
【舉一反三】
1.(2024·杭州質檢)某商店銷售一批頭盔,售價為每頂80元,每月可售出200頂.在“創(chuàng)建文明城市”期間,計劃將頭盔降價銷售,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):每降價1元,每月可多售出20頂.已知頭盔的進價為每頂50元,則該商店每月獲得最大利潤時,每頂頭盔的售價為　　元.(D)
A.50　 B.90　 C.80　 D.70
2.(2024·新疆中考)某公司銷售一批產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),當銷售量在0.4噸至3.5噸之間時,銷售額y1(萬元)與銷售量x(噸)的函數(shù)表達式為:y1=5x;成本y2(萬元)與銷售量x(噸)的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分,其中(,)是其頂點.
(1)求出成本y2關于銷售量x的函數(shù)表達式;
(2)當成本最低時,銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少
(3)當銷售量是多少噸時,可獲得最大利潤 最大利潤是多少
(注:利潤=銷售額-成本)
【解析】(1)∵頂點為(,),
∴可設拋物線為y2=a(x-)2+.
又∵拋物線過(2,4),∴a×+=4.
∴a=1.∴y2=(x-)2+.
(2)由題意,當銷售量x=時,成本最低為,
又∵銷售量在0.4噸至3.5噸之間時,銷售額y1(萬元)與銷售量x(噸)的函數(shù)表達式為:y1=5x,∴當x=時,銷售額為y1=5x=5×=2.5.
∴此時利潤為2.5-=0.75(萬元).
答:當成本最低時,銷售產(chǎn)品所獲利潤是0.75萬元.
(3)由題意,利潤=y1-y2=5x-[(x-)2+=-x2+6x-2=-(x-3)2+7.
∵-1<0,
∴當x=3時,利潤取最大值,最大值為7.
答:當銷售量是3噸時,可獲得最大利潤,最大利潤是7萬元.
3.某百貨公司計劃在春節(jié)前夕購進A,B兩種服裝進行銷售.已知購進1件A服裝和2件B服裝,需800元;購進3件A服裝和4件B服裝,需1 800元.
(1)A,B兩種服裝的進貨單價分別是多少
(2)設A服裝的銷售單價為x(元),在銷售過程中發(fā)現(xiàn):當230≤x≤350時,A服裝的日銷售量y(單位:件)與銷售單價x之間存在一次函數(shù)關系,x,y之間的部分數(shù)值對應關系如下表:
銷售單價x(元) 230 350
日銷售量y(件) 170 50
請寫出當230≤x≤350時,y與x之間的函數(shù)表達式.
(3)在(2)的條件下,設A服裝的日銷售利潤為w元,當A服裝的銷售單價x(元)定為多少時,日銷售利潤最大 最大利潤是多少
【解析】(1)設A,B兩種服裝的進貨單價分別是a元、b元,
由題意得,,
解得,
∴A,B兩種服裝的進貨單價分別是200元、300元;
(2)設y與x之間的函數(shù)表達式為y=kx+b,將(230,170),(350,50)代入得,
,
解得,
∴y與x之間的函數(shù)表達式為y=-x+400(230≤x≤350);
(3)由題意得,w=(-x+400)(x-200)=-x2+600x-80 000=-(x-300)2+10 000(230≤x≤350),
∴當x=300時,w取得最大值10 000,
∴當A服裝的銷售單價定為300元時,日銷售利潤最大,最大利潤是10 000元.
【技法點撥】
實際問題中確定最值的方法
1.當二次函數(shù)的對稱軸x=-在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)時,二次函數(shù)的最值就是實際問題中的最值.
2.當二次函數(shù)的對稱軸x=-不在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)時,
(1)如果在此范圍內(nèi),y隨x的增大而增大,則當x=x2時,y的最大值為a+bx2+c,當x=x1時,y的最小值為a+bx1+c.
(2)如果在此范圍內(nèi),y隨x的增大而減小,則當x=x1時,y的最大值為a+bx1+c,當x=x2時,y的最小值為a+bx2+c.
素養(yǎng)當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念、運算能力、應用意識)某商店購進一批單價為20元的商品,若以單價30元銷售,則每月可售出400件,如果銷售單價每提高1元,月銷售量相應減少20件,設每件商品單價漲x元,月銷售利潤為y元,可列函數(shù)為y=(30+x-20)(400-20x),對所列函數(shù)下列說法錯誤的是(A)
A.(30+x-20)表示漲價后商品的單價
B.20x表示漲價后少售出商品的數(shù)量
C.(400-20x)表示漲價后商品的月銷售量
D.當x=5時月利潤達到最大
2.(3分·模型觀念、運算能力、應用意識)某超市銷售一種飲料,每瓶進價為4元,經(jīng)市場調(diào)查表明:每瓶售價每增加1元,日均銷售量減少80瓶;當售價為每瓶7元時,日均銷售量為400瓶.若要日均毛利潤最大,每瓶飲料的售價應是(C)
A.6元　 B.7元　 C.8元　 D.9元
3.(3分·模型觀念、運算能力、應用意識)某商品的銷售利潤與銷售單價存在二次函數(shù)關系,且二次項系數(shù)a=-1,當商品單價為160元和200元時,能獲得同樣多的利潤,要使商品的銷售利潤最大,銷售單價應定為　180　元.
4.(3分·模型觀念、運算能力、應用意識)某賓館有50個房間供游客居住,當每個房間每天的定價為180元時,房間會住滿;當每個房間每天的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑,賓館需為有游客居住的房間每天支出20元費用,若想要獲得最大利潤,則房價應定為每個房間每天　350　元.
5.(8分·模型觀念、應用意識、運算能力)某商城銷售一新款耳機,每件進價為30元,經(jīng)過試銷發(fā)現(xiàn),該耳機每天的銷售量y(件)與銷售單價x(元)之間滿足如下關系:y=-x+60.
(1)求該商店銷售這款耳機每天獲得的利潤w(元)與x之間的函數(shù)關系式;
(2)銷售單價定為多少時,每天能獲得最大的利潤 每天利潤的最大值是多少元
【解析】(1)依題意,w=(x-30)(-x+60)=-x2+90x-1 800,
∴每天獲得的利潤w(元)與x之間的函數(shù)關系式為w=-x2+90x-1 800;
(2)∵w=-x2+90x-1 800=-(x-45)2+225,
∵-1<0,
∴當x=45時,w取得最大值,最大值為225元.
答:銷售單價定為45元時,每天能獲得最大的利潤,每天利潤的最大值是225元.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 十四”

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