資源簡介

5　二次函數與一元二次方程
課時學習目標 素養目標達成
1.理解二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的個數與一元二次方程ax2+bx+c=0的根的個數之間的對應關系 模型觀念、運算能力
2.會利用二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標解相應的一元二次方程 幾何直觀、運算能力、推理能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的關系 拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的個數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況2 1 0
1.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有一個公共點.這對應著一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是( ) A.沒有實數根 B.有兩個相等的實數根 C.有兩個不相等的實數根 D.無法確定
2.一元二次方程的圖象解法 二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點時,交點的 就是當y=0時自變量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的 . 2.下列表格是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)中x,y的部分對應值,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個近似根是 .(精確到0.1) x6.16.26.36.4y=ax2+bx+c-0.3-0.10.20.4
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 二次函數與一元二次方程的關系(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P53T2拓展)已知二次函數y=ax2+bx+2(a<0).
(1)求證:該函數的圖象與x軸總有兩個公共點;
(2)若該函數圖象與x軸的兩個交點坐標分別為(x1,0),(x2,0),且x1=-2x2,求證:
a+b2=0;
(3)若A(k,y1),B(6,y2),C(k+4,y1)都在該二次函數的圖象上,且2【舉一反三】
1.拋物線y=(k-1)x2-x+1與x軸有交點,則k的取值范圍是( )
A.k≠1 B.k≤
C.k<且k≠1 D.k≤且k≠1
2.函數y=2x2-4x+c與x軸的一個交點坐標為(5,0),則另一個交點坐標為( )
A.(2,0) B.(-1,0)
C.(-5,0) D.(-3,0)
重點2 利用二次函數圖象解一元二次方程(模型觀念、運算能力)
【典例2】已知二次函數y=x2-2x-3,
(1)請你把已知的二次函數化成y=(x-h)2+k的形式,并在平面直角坐標系中畫出它的圖象.
(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是(1)中圖象上的兩點,且x1(3)利用(1)中的圖象表示出方程x2-2x-1=0的根,畫在(1)的圖象上即可,要求保留畫圖痕跡.
【舉一反三】
一元二次方程x2+bx+c=3的兩個根分別為-2和4,若二次函數y=x2+bx+c與x軸的交點橫坐標分別為x1,x2(x1A.-2C.-2素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念、運算能力)根據表格中的對應值判斷關于x的方程ax2+bx+c=0的一個解的范圍是( )
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c 0.02 -0.01 -0.03
A.x<3.24 B.3.24C.3.253.26
2.(3分·模型觀念、運算能力)拋物線y=x2-3x+4與x軸的交點個數為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(3分·模型觀念、運算能力)拋物線y=x2-6x+c與x軸只有一個交點,則c= .
4.(3分·模型觀念、運算能力)根據表格,請你寫出方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數)的一個近似解: .(精確到0.1)
x 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3
ax2+bx+c -1 -0.25 -0.04 0.072 5 0.19 1
5.(8分·模型觀念、運算能力)已知k是常數,拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k的對稱軸是y軸,并且與x軸有兩個交點.
(1)求k的值;
(2)當-3≤x≤0時,函數的最大值與最小值分別為多少 5　二次函數與一元二次方程
課時學習目標 素養目標達成
1.理解二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的個數與一元二次方程ax2+bx+c=0的根的個數之間的對應關系 模型觀念、運算能力
2.會利用二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標解相應的一元二次方程 幾何直觀、運算能力、推理能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)與一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的關系 拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點的個數一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況2　兩個不等實數根　 1　兩個相等實數根　 0　無實數根　
1.二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有一個公共點.這對應著一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況是(B) A.沒有實數根 B.有兩個相等的實數根 C.有兩個不相等的實數根 D.無法確定
2.一元二次方程的圖象解法 二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點時,交點的　橫坐標　就是當y=0時自變量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的　根　. 2.下列表格是二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)中x,y的部分對應值,則方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個近似根是　6.2　.(精確到0.1) x6.16.26.36.4y=ax2+bx+c-0.3-0.10.20.4
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 二次函數與一元二次方程的關系(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P53T2拓展)已知二次函數y=ax2+bx+2(a<0).
(1)求證:該函數的圖象與x軸總有兩個公共點;
(2)若該函數圖象與x軸的兩個交點坐標分別為(x1,0),(x2,0),且x1=-2x2,求證:
a+b2=0;
(3)若A(k,y1),B(6,y2),C(k+4,y1)都在該二次函數的圖象上,且2【自主解答】(1)Δ=b2-4×2a=b2-8a,
∵a<0,∴-8a>0,又b2≥0,∴b2-8a>0,即Δ>0,
∴該函數的圖象與x軸總有兩個公共點;
(2)∵該函數圖象與x軸的兩個交點坐標分別為(x1,0),(x2,0),
∴x1,x2是ax2+bx+2=0(a<0)的兩個根,∴x1+x2=-,x1·x2=,
聯立方程組,解得,
把代入x1·x2=,得-·=,整理得a+b2=0;
(3)∵A(k,y1),C(k+4,y1)都在該二次函數的圖象上,
∴拋物線的對稱軸為x==k+2,
當k+2<0,即k<-2時,∵2∴畫出草圖,如圖:
或
此時B的橫坐標小于0,不符合題意,舍去;
當k+2>0,即k>-2時,∵2∴畫出草圖,如圖:
∴,解得k>6;
或∴,解得1綜上,16.
【舉一反三】
1.拋物線y=(k-1)x2-x+1與x軸有交點,則k的取值范圍是(D)
A.k≠1 B.k≤
C.k<且k≠1 D.k≤且k≠1
2.函數y=2x2-4x+c與x軸的一個交點坐標為(5,0),則另一個交點坐標為(D)
A.(2,0) B.(-1,0)
C.(-5,0) D.(-3,0)
重點2 利用二次函數圖象解一元二次方程(模型觀念、運算能力)
【典例2】已知二次函數y=x2-2x-3,
(1)請你把已知的二次函數化成y=(x-h)2+k的形式,并在平面直角坐標系中畫出它的圖象.
(2)如果A(x1,y1),B(x2,y2)是(1)中圖象上的兩點,且x1(3)利用(1)中的圖象表示出方程x2-2x-1=0的根,畫在(1)的圖象上即可,要求保留畫圖痕跡.
【解析】(1)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,拋物線的頂點坐標為(1,-4),
當x=0時,y=x2-2x-3=-3,則拋物線與y軸的交點坐標為(0,-3),
當y=0時,x2-2x-3=0,解得x=-1或3,所以拋物線與x軸的交點坐標為(-1,0),(3,0),如圖,
(2)拋物線的對稱軸為直線x=1,且函數在對稱軸左側單調遞減,
∵x1y2.
答案:y1>y2
(3)如圖,a,b為方程x2-2x-1=0的兩根.
【舉一反三】
一元二次方程x2+bx+c=3的兩個根分別為-2和4,若二次函數y=x2+bx+c與x軸的交點橫坐標分別為x1,x2(x1A.-2C.-2素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·模型觀念、運算能力)根據表格中的對應值判斷關于x的方程ax2+bx+c=0的一個解的范圍是(B)
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c 0.02 -0.01 -0.03
A.x<3.24 B.3.24C.3.253.26
2.(3分·模型觀念、運算能力)拋物線y=x2-3x+4與x軸的交點個數為(A)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(3分·模型觀念、運算能力)拋物線y=x2-6x+c與x軸只有一個交點,則c=　9　.
4.(3分·模型觀念、運算能力)根據表格,請你寫出方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數)的一個近似解:　2.6　.(精確到0.1)
x 2 2.5 2.6 2.65 2.7 3
ax2+bx+c -1 -0.25 -0.04 0.072 5 0.19 1
5.(8分·模型觀念、運算能力)已知k是常數,拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k的對稱軸是y軸,并且與x軸有兩個交點.
(1)求k的值;
(2)當-3≤x≤0時,函數的最大值與最小值分別為多少
【解析】(1)∵拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k的對稱軸是y軸,
∴k2+k-6=0,解得k1=-3,k2=2,
又∵拋物線與x軸有兩個交點,
∴Δ=0-4×3k>0,k<0,∴k=-3.
(2)由(1)可知,拋物線的表達式為y=x2-9,
∴拋物線的開口向上,
與x軸交于(-3,0),(3,0),
當-3≤x≤0時,y隨x的增大而減小,
∴當x=-3時,取得函數的最大值,為0,
當x=0時,取得函數的最小值,為-9.

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