資源簡介

*3　垂徑定理
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并證明垂徑定理 推理能力、模型觀念
2.應用垂徑定理解決生活中的實際問題 抽象能力、運算能力、模型觀念、應用意識
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
1.如圖,CD是☉O的直徑,AB是弦且不是直徑,CD⊥AB,則下列結論不一定正確的是(B) A.AE=BE B.OE=DE C.AO=CO D.= 2.如圖,在☉O中,弦AB⊥OC,垂足為點C,連接OA,若AB=8,OC=3,則cos A的值為 　.
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1 垂徑定理(模型意識、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P76習題T2拓展)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB于點E,若EB=9,AE=1,求弦CD的長.
【自主解答】連接OC,如圖,
∵CD⊥AB,
∴CE=DE,∵EB=9,AE=1,∴AB=10,OC=OA=5,∴OE=4,
在Rt△OCE中,CE==3,∴CD=2CE=6.
【舉一反三】
1.(2024·新疆中考)如圖,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足為E.若CD=8,OD=5,則BE的長為(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2024·成都期末)如圖,已知☉O的兩弦AB,CD相交于E,且點A為的中點,若∠OBA=32°,則∠CEA的度數為　58°　.
重點2 垂徑定理在實際生活中的應用(模型觀念、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P75例拓展)如圖是某學校人行過道中的一個以O為圓心的圓形拱門,路面AB的寬為2 m,高CD為5 m,求圓形拱門所在圓的半徑.
【解析】如圖,連接OA,
由垂徑定理得,AD=AB=1 m,
設OC=OA=R m,則OD=(5-R)m.
在Rt△AOD中,由勾股定理得,OA2-OD2=AD2,
即R2-(5-R)2=12,解得R=.
即圓形拱門所在圓的半徑為 m.
【舉一反三】
1.圖①是一個球形燒瓶,圖②是從正面看這個球形燒瓶下半部分的示意圖,已知
☉O的半徑OA=5 cm,液體的最大深度CD=2 cm,則☉O的弦AB的長為(C)
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.8.4 cm
2.一座拱橋的輪廓是一段半徑為250 m的圓弧(如圖所示),橋拱和路面之間用數根鋼索垂直相連,其正下方的路面AB長度為300 m,那么這些鋼索中最長的一根為　50　m.
【技法點撥】
垂徑定理的基本模型
四變量 弦長a,圓心到弦的距離d,半徑r,弧的中點到弦的距離h.
兩關系 四變量中若知其中兩個,可求其他兩個. (1)()2+d2=r2; (2)h+d=r.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,AB為☉O的直徑,CD垂直平分OA,垂足為E.若AB=8,則CD的長為(C)
A.2 B.4 C.4 D.6
2.(4分·模型觀念、應用意識)如圖,一個隧道的橫截面是以O為圓心的圓的一部分,點D是☉O中弦AB的中點,CD經過圓心O交☉O于點C,若路面AB=6 m,此圓的半徑OA的長為5 m,則CD的長為(D)
A.5 m B.6 m C. m D.9 m
3.(4分·模型觀念、運算能力)如圖,在☉O中,弦AB=8,圓心O到AB的距離OC=3,則☉O的半徑長為　5　.
4.(4分·模型觀念、應用意識)“青山綠水,暢享生活”,人們經常將圓柱形竹筒改造成生活用具,如圖為竹筒水容器的截面.已知截面的半徑為10 cm,開口AB寬為12 cm,這個水容器所能裝水的最大深度是　18　cm. *3　垂徑定理
課時學習目標 素養目標達成
1.探索并證明垂徑定理 推理能力、模型觀念
2.應用垂徑定理解決生活中的實際問題 抽象能力、運算能力、模型觀念、應用意識
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
1.如圖,CD是☉O的直徑,AB是弦且不是直徑,CD⊥AB,則下列結論不一定正確的是( ) A.AE=BE B.OE=DE C.AO=CO D.= 2.如圖,在☉O中,弦AB⊥OC,垂足為點C,連接OA,若AB=8,OC=3,則cos A的值為 .
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1 垂徑定理(模型意識、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P76習題T2拓展)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB于點E,若EB=9,AE=1,求弦CD的長.
【舉一反三】
1.(2024·新疆中考)如圖,AB是☉O的直徑,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足為E.若CD=8,OD=5,則BE的長為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2024·成都期末)如圖,已知☉O的兩弦AB,CD相交于E,且點A為的中點,若∠OBA=32°,則∠CEA的度數為 .
重點2 垂徑定理在實際生活中的應用(模型觀念、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P75例拓展)如圖是某學校人行過道中的一個以O為圓心的圓形拱門,路面AB的寬為2 m,高CD為5 m,求圓形拱門所在圓的半徑.
【舉一反三】
1.圖①是一個球形燒瓶,圖②是從正面看這個球形燒瓶下半部分的示意圖,已知
☉O的半徑OA=5 cm,液體的最大深度CD=2 cm,則☉O的弦AB的長為( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.8.4 cm
2.一座拱橋的輪廓是一段半徑為250 m的圓弧(如圖所示),橋拱和路面之間用數根鋼索垂直相連,其正下方的路面AB長度為300 m,那么這些鋼索中最長的一根為 m.
【技法點撥】
垂徑定理的基本模型
四變量 弦長a,圓心到弦的距離d,半徑r,弧的中點到弦的距離h.
兩關系 四變量中若知其中兩個,可求其他兩個. (1)()2+d2=r2; (2)h+d=r.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,AB為☉O的直徑,CD垂直平分OA,垂足為E.若AB=8,則CD的長為( )
A.2 B.4 C.4 D.6
2.(4分·模型觀念、應用意識)如圖,一個隧道的橫截面是以O為圓心的圓的一部分,點D是☉O中弦AB的中點,CD經過圓心O交☉O于點C,若路面AB=6 m,此圓的半徑OA的長為5 m,則CD的長為( )
A.5 m B.6 m C. m D.9 m
3.(4分·模型觀念、運算能力)如圖,在☉O中,弦AB=8,圓心O到AB的距離OC=3,則☉O的半徑長為 .
4.(4分·模型觀念、應用意識)“青山綠水,暢享生活”,人們經常將圓柱形竹筒改造成生活用具,如圖為竹筒水容器的截面.已知截面的半徑為10 cm,開口AB寬為12 cm,這個水容器所能裝水的最大深度是 cm.

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