資源簡介

*7　切線長定理
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.了解切線長的概念 抽象能力、幾何直觀
2.探索切線長定理 推理能力、運(yùn)算能力、模型觀念、幾何直觀
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　起步起勢 向上向陽
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.切線長定義 過圓外一點(diǎn)畫圓的切線,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的 . 1.判斷(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”) (1)切線長是切線的長度.(×) (2)切線長是圓外一點(diǎn)與切點(diǎn)之間線段的長度.(√)
2.切線長定理 文字 敘述過圓外一點(diǎn)畫圓的兩條切線,它們的切線長 符號 語言 ∵AB,AC都是☉O的切線,切點(diǎn)分別是點(diǎn)B,點(diǎn)C. ∴AB= .
2.如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB分別切☉O于A,B兩點(diǎn),若PA=5,則PB=( ) A.2 B.3 C.4 D.5
重點(diǎn)典例研析　　學(xué)貴有方 進(jìn)而有道
重點(diǎn)1 切線長定理(模型觀念、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P94“議一議”)(2022·恩施州中考)如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB為☉O的切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線PO交☉O于點(diǎn)D,E,交AB于點(diǎn)C.
(1)求證:∠ADE=∠PAE;
(2)若∠ADE=30°,求證:AE=PE;
(3)若PE=4,CD=6,求CE的長.
【舉一反三】
1.(2024·德州質(zhì)檢)如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB分別切☉O于點(diǎn)A,點(diǎn)B,CD切☉O于點(diǎn)E,分別交PA,PB于點(diǎn)C,D,若PA=5,則△PCD的周長為( )
A.5 B.7 C.8 D.10
2.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓,自點(diǎn)A作半圓的切線AE,則sin∠CBE=( )
A. B. C. D.
重點(diǎn)2 切線長定理的應(yīng)用(應(yīng)用意識、模型觀念)
【典例2】(教材再開發(fā)·P95“想一想”拓展)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,☉O為梯形的內(nèi)切圓,E,F為切點(diǎn).
(1)求證:AO2=AE·AD;
(2)若AO=2 cm,DF=1 cm,求☉O的面積.
【舉一反三】
1.(2024·北京質(zhì)檢)如圖,四邊形ABCD是☉O的外切四邊形,若BC∶AB∶AD=3∶4∶6,且四邊形ABCD的周長為72,則CD長為 .
2.(2024·武漢期末)四邊形ABCD是☉O的外切四邊形,若∠AOB=78°,則∠COD的度數(shù)是 .
【技法點(diǎn)撥】
切線長定理五類應(yīng)用
1.求角度.
2.求線段的長度.
3.證線段相等.
4.證線段對應(yīng)成比例.
5.證線段平行.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀、運(yùn)算能力)如圖,AB,AC,BD是☉O的切線,切點(diǎn)分別為P,C,D,若AB=5,AC=3,則BD的長是( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
2.(4分·幾何直觀、運(yùn)算能力)如圖PA,PB,CD分別切☉O于A,B,E,∠APB=54°,則∠COD=( )
A.36° B.63° C.126° D.46°
3.(4分·模型觀念、運(yùn)算能力)如圖,四邊形ABCD是☉O的外切四邊形,且AB=10,CD=12,則四邊形ABCD的周長為( )
A.44 B.42 C.46 D.47
4.(4分·模型觀念、運(yùn)算能力)如圖,AB為☉O的直徑,點(diǎn)C在AB的延長線上,CD,CE分別與☉O相切于點(diǎn)D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,則CE= . *7　切線長定理
課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo) 素養(yǎng)目標(biāo)達(dá)成
1.了解切線長的概念 抽象能力、幾何直觀
2.探索切線長定理 推理能力、運(yùn)算能力、模型觀念、幾何直觀
基礎(chǔ)主干落實(shí)　　起步起勢 向上向陽
新知要點(diǎn) 對點(diǎn)小練
1.切線長定義 過圓外一點(diǎn)畫圓的切線,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的　線段長　. 1.判斷(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”) (1)切線長是切線的長度.(×) (2)切線長是圓外一點(diǎn)與切點(diǎn)之間線段的長度.(√)
2.切線長定理 文字 敘述過圓外一點(diǎn)畫圓的兩條切線,它們的切線長　相等　 符號 語言 ∵AB,AC都是☉O的切線,切點(diǎn)分別是點(diǎn)B,點(diǎn)C. ∴AB=　AC　.
2.如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB分別切☉O于A,B兩點(diǎn),若PA=5,則PB=(D) A.2 B.3 C.4 D.5
重點(diǎn)典例研析　　學(xué)貴有方 進(jìn)而有道
重點(diǎn)1 切線長定理(模型觀念、推理能力)
【典例1】(教材溯源·P94“議一議”)(2022·恩施州中考)如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB為☉O的切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線PO交☉O于點(diǎn)D,E,交AB于點(diǎn)C.
(1)求證:∠ADE=∠PAE;
(2)若∠ADE=30°,求證:AE=PE;
(3)若PE=4,CD=6,求CE的長.
【解析】(1)連接OA,如圖,
∵PA為☉O的切線,∴AO⊥PA,∴∠OAE+∠PAE=90°.
∵DE是☉O的直徑,∴∠DAE=90°,∴∠ADE+∠AED=90°.
∵OA=OE,∴∠OAE=∠AED,∴∠ADE=∠PAE;
(2)由(1)知:∠ADE=∠PAE=30°,
∵∠DAE=90°,∴∠AED=90°-∠ADE=60°.
∵∠AED=∠PAE+∠APE,∴∠APE=∠PAE=30°,∴AE=PE;
(3)設(shè)CE=x,則DE=CD+CE=6+x,
∴OA=OE=,∴OC=OE-CE=,
OP=OE+PE=.
∵PA,PB為☉O的切線,
∴PA=PB,PO平分∠APB,∴PO⊥AB.
∵PA為☉O的切線,
∴AO⊥PA,∴△OAC∽△OPA,
∴=,∴=,
即x2+10x-24=0.
解得x=2或-12(不符合題意,舍去),∴CE=2.
【舉一反三】
1.(2024·德州質(zhì)檢)如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB分別切☉O于點(diǎn)A,點(diǎn)B,CD切☉O于點(diǎn)E,分別交PA,PB于點(diǎn)C,D,若PA=5,則△PCD的周長為(D)
A.5 B.7 C.8 D.10
2.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓,自點(diǎn)A作半圓的切線AE,則sin∠CBE=(D)
A. B. C. D.
重點(diǎn)2 切線長定理的應(yīng)用(應(yīng)用意識、模型觀念)
【典例2】(教材再開發(fā)·P95“想一想”拓展)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,☉O為梯形的內(nèi)切圓,E,F為切點(diǎn).
(1)求證:AO2=AE·AD;
(2)若AO=2 cm,DF=1 cm,求☉O的面積.
【解析】(1)∵☉O為梯形ABCD的內(nèi)切圓,
∴∠OAD=∠OAB=∠BAD,∠ODA=∠ODC=∠ADC,
∵AB∥CD,∴∠BAD+∠ADC=180°,
∴∠OAD+∠ODA=(∠BAD+∠ADC)=×180°=90°,∴∠AOD=90°,
∵AD⊥OE,∴∠AEO=∠AOD=90°,
∵∠EAO=∠OAD,∴△EAO∽△OAD,
∴=,∴AO2=AE·AD.
(2)∵AO2=AE·AD,AO=2 cm,DE=DF=1 cm,
∴(2)2=(AD-1)AD,
解得AD=4或AD=-3(不符合題意,舍去),
∴DO===2(cm),
∵AD·EO=AO·DO=S△AOD,
∴×4EO=×2×2,
解得EO=,
∴=π×()2=3π(cm2),
∴☉O的面積為3π cm2.
【舉一反三】
1.(2024·北京質(zhì)檢)如圖,四邊形ABCD是☉O的外切四邊形,若BC∶AB∶AD=3∶4∶6,且四邊形ABCD的周長為72,則CD長為　20　.
2.(2024·武漢期末)四邊形ABCD是☉O的外切四邊形,若∠AOB=78°,則∠COD的度數(shù)是　102°　.
【技法點(diǎn)撥】
切線長定理五類應(yīng)用
1.求角度.
2.求線段的長度.
3.證線段相等.
4.證線段對應(yīng)成比例.
5.證線段平行.
素養(yǎng)當(dāng)堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀、運(yùn)算能力)如圖,AB,AC,BD是☉O的切線,切點(diǎn)分別為P,C,D,若AB=5,AC=3,則BD的長是(B)
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
2.(4分·幾何直觀、運(yùn)算能力)如圖PA,PB,CD分別切☉O于A,B,E,∠APB=54°,則∠COD=(B)
A.36° B.63° C.126° D.46°
3.(4分·模型觀念、運(yùn)算能力)如圖,四邊形ABCD是☉O的外切四邊形,且AB=10,CD=12,則四邊形ABCD的周長為(A)
A.44 B.42 C.46 D.47
4.(4分·模型觀念、運(yùn)算能力)如圖,AB為☉O的直徑,點(diǎn)C在AB的延長線上,CD,CE分別與☉O相切于點(diǎn)D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,則CE=　2　.

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