資源簡介

2　圓的對稱性
課時學習目標 素養目標達成
1.了解圓的軸對稱性和中心對稱性 幾何直觀、空間觀念
2.探索圓的軸對稱性和中心對稱性及相關性質 抽象能力、幾何直觀、推理能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1. 圓的 對稱性圓是軸對稱圖形,其對稱軸是　任意一條過圓心的直線　. 圓是中心對稱圖形,對稱中心為　圓心　.
1.判斷(對的打“√”,錯的打“×”) (1)圓的對稱軸有無數條,是圓的任意一條直徑.(×) (2)圓繞圓心旋轉任意角度都能與本身重合.(√)
2. 圓心 角、 弧、 弦之 間的 關系定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧　相等　、所對的弦　相等　. 推論:在同圓或等圓中,如果　兩個圓心角　、　兩條弧　、　兩條弦　中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別　相等　(簡稱:知一推二). 常見推理形式,如圖: ①∠AOB= ∠COD ②= ③AB=CD
2.(1)如圖,AB是☉O的直徑,= =,若∠COD=35°,則 ∠AOE的度數是(C) A.35° B.55° C.75° D.95° (2)如圖,在☉O中,=, ∠1=45°,則的度數為 　45°　. (3)若一條弦把圓分成1∶5兩部分,則劣弧所對的圓心角為　60°　.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 圓的對稱性(幾何直觀、空間觀念)
【典例1】(教材再開發·P72隨堂練習T1拓展)世界上因為有了圓的圖案,萬物才顯得富有生機,如圖是來自現實生活中的圖形,它們看上去多么美麗和諧,這正是因為它們具有對稱性.
(1)請從對稱軸的條數方面找出這三幅圖形中與其他兩幅不同的圖形.
(2)請你再畫出兩個與所給圖案不重復的圖案,要體現對稱和美觀.
【自主解答】(1)第一幅圖形有無數條對稱軸,所以與其他兩幅不同.
(2)如圖:
(答案不唯一,僅供參考)
【舉一反三】
下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(B)
【技法點撥】
圓的對稱性
1.圓既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.
2.對稱軸是直線而不是線段,不能說每一條直徑是它的對稱軸.
3.圓的對稱軸有無數條.
重點2 圓心角、弧、弦之間的關系(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P71例題拓展)如圖,在☉O中,AB,CD是直徑,CE∥AB且交圓于E,求證:=.
【自主解答】連接OE,
∵CE∥AB,
∴∠DOB=∠C,∠BOE=∠E,
∵OC=OE,
∴∠C=∠E,
∴∠DOB=∠BOE,
∴=.
【舉一反三】
1.(2024·廣州期末)如圖,已知A,B,C,D是圓上的點,=,AC,BD交于點E,則下列結論正確的是(D)
A.AB=AD B.BE=CD
C.BE=AD D.AC=BD
2.(2024·濟南期中)如圖,AB,CD是☉O的直徑,=,若∠AOE=32°,則∠COE的度數是　64°　.
3.如圖,A,B,C,D是☉O上的四點,AB=DC.求證:AC=BD.
【證明】∵AB=DC,∴=,
∴=,∴AC=BD.
【技法點撥】
“知一推二”的三點注意
(1)當已知兩個圓心角相等時,必須限定同圓或等圓.
(2)當兩弦相等推導圓心角相等時,必須限定同圓或等圓.
(3)當兩弦相等推導弧相等時,除了限定同圓或等圓之外,還要限定兩弧是同一類弧(劣弧或優弧).
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,AB是☉O的直徑,=,∠BOC=30°,則∠COD的度數是(D)
A.150° B.140° C.130° D.120°
2.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,在☉O中,==,則∠BOC的度數為(C)
A.100° B.110° C.120° D.150°
3.(3分·運算能力、應用意識)如圖,將大小不同的兩塊量角器的零度線對齊,且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圓周上,設圖中兩圓周的交點為P.且點P在小量角器上對應的刻度為62°,那么點P在大量角器上對應的刻度為(只考慮小于90°的角)(A)
A.56° B.58° C.60° D.62°
4.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,AB是☉O的直徑,=,∠COB=40°,則∠A的度數是　55　°.
5.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,以平行四邊形ABCD的頂點A為圓心,AB為半徑作☉A,交AD,BC于E,F,延長BA交☉A于G,求證:=.
【證明】連接AF,
∵AB=AF,∴∠ABF=∠AFB.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,
∴∠DAF=∠AFB,∠GAE=∠ABF,∴∠GAE=∠EAF.
∴=.2　圓的對稱性
課時學習目標 素養目標達成
1.了解圓的軸對稱性和中心對稱性 幾何直觀、空間觀念
2.探索圓的軸對稱性和中心對稱性及相關性質 抽象能力、幾何直觀、推理能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1. 圓的 對稱性圓是軸對稱圖形,其對稱軸是 . 圓是中心對稱圖形,對稱中心為 .
1.判斷(對的打“√”,錯的打“×”) (1)圓的對稱軸有無數條,是圓的任意一條直徑.(×) (2)圓繞圓心旋轉任意角度都能與本身重合.(√)
2. 圓心 角、 弧、 弦之 間的 關系定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧 、所對的弦 . 推論:在同圓或等圓中,如果 、 、 中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別 (簡稱:知一推二). 常見推理形式,如圖: ①∠AOB= ∠COD ②= ③AB=CD
2.(1)如圖,AB是☉O的直徑,= =,若∠COD=35°,則 ∠AOE的度數是( ) A.35° B.55° C.75° D.95° (2)如圖,在☉O中,=, ∠1=45°,則的度數為 . (3)若一條弦把圓分成1∶5兩部分,則劣弧所對的圓心角為 .
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 圓的對稱性(幾何直觀、空間觀念)
【典例1】(教材再開發·P72隨堂練習T1拓展)世界上因為有了圓的圖案,萬物才顯得富有生機,如圖是來自現實生活中的圖形,它們看上去多么美麗和諧,這正是因為它們具有對稱性.
(1)請從對稱軸的條數方面找出這三幅圖形中與其他兩幅不同的圖形.
(2)請你再畫出兩個與所給圖案不重復的圖案,要體現對稱和美觀.
【舉一反三】
下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是( )
【技法點撥】
圓的對稱性
1.圓既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.
2.對稱軸是直線而不是線段,不能說每一條直徑是它的對稱軸.
3.圓的對稱軸有無數條.
重點2 圓心角、弧、弦之間的關系(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材再開發·P71例題拓展)如圖,在☉O中,AB,CD是直徑,CE∥AB且交圓于E,求證:=.
【舉一反三】
1.(2024·廣州期末)如圖,已知A,B,C,D是圓上的點,=,AC,BD交于點E,則下列結論正確的是( )
A.AB=AD B.BE=CD
C.BE=AD D.AC=BD
2.(2024·濟南期中)如圖,AB,CD是☉O的直徑,=,若∠AOE=32°,則∠COE的度數是 .
3.如圖,A,B,C,D是☉O上的四點,AB=DC.求證:AC=BD.
【技法點撥】
“知一推二”的三點注意
(1)當已知兩個圓心角相等時,必須限定同圓或等圓.
(2)當兩弦相等推導圓心角相等時,必須限定同圓或等圓.
(3)當兩弦相等推導弧相等時,除了限定同圓或等圓之外,還要限定兩弧是同一類弧(劣弧或優弧).
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,AB是☉O的直徑,=,∠BOC=30°,則∠COD的度數是( )
A.150° B.140° C.130° D.120°
2.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,在☉O中,==,則∠BOC的度數為( )
A.100° B.110° C.120° D.150°
3.(3分·運算能力、應用意識)如圖,將大小不同的兩塊量角器的零度線對齊,且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圓周上,設圖中兩圓周的交點為P.且點P在小量角器上對應的刻度為62°,那么點P在大量角器上對應的刻度為(只考慮小于90°的角)( )
A.56° B.58° C.60° D.62°
4.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,AB是☉O的直徑,=,∠COB=40°,則∠A的度數是 °.
5.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,以平行四邊形ABCD的頂點A為圓心,AB為半徑作☉A,交AD,BC于E,F,延長BA交☉A于G,求證:=.

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