資源簡介

4　圓周角和圓心角的關系
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解圓周角的概念 抽象能力、幾何直觀
2.探索并證明圓周角定理及推論 幾何直觀、空間觀念、模型觀念、推理能力
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
1.圓周角的定義 頂點在　圓上　,兩邊分別與圓還有　另一個交點　的角. 1.如圖,∠APB是圓周角的是(D)
2.圓周角定理 圓周角的度數等于它所對弧上的　圓心角　度數的　一半　. 2.如圖,點A,B,C在☉O上,若∠C=55°,則∠AOB的度數為　110　°.
3.推論 　同弧　或　等弧　所對的圓周角相等. 3.如圖,在☉O中,弦AC,BD相交于點P,連接BC,AD.若∠C=30°,則∠ADP的大小為(A) A.30° B.43° C.53° D.77°
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 圓周角及圓周角定理(幾何直觀、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P79“圓周角定理”拓展)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD與AB相交于點P,∠AOD=70°,∠APD=60°.求∠BDC的度數.
【解析】∵∠AOD,∠B所對的弧都是,
∴∠B=∠AOD=35°,
∵∠APD是△PDB的外角,
∴∠APD=∠B+∠PDB,
∴∠BDC=∠APD-∠B=60°-35°=25°.
【舉一反三】
1.(2024·西安一模)如圖,在☉O中,點C在上.若∠AOB=120°,∠ABC=22°,則
∠BAC的度數為(C)
A.36° B.37° C.38° D.39°
2.(2024·甘肅中考)如圖,點A,B,C在☉O上,AC⊥OB,垂足為D,若∠A=35°,則∠C的度數是(A)
A.20° B.25° C.30° D.35°
重點2 圓周角定理的推論(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P80隨堂練習T2)(2022·無錫中考)如圖,邊長為6的等邊三角形ABC內接于☉O,點D為AC上的動點(點A,C除外),BD的延長線交☉O于點E,連接CE.
(1)求證:△CED∽△BAD;
(2)當DC=2AD時,求CE的長.
【自主解答】(1)∵∠CDE=∠BDA,∠E=∠A,
∴△CED∽△BAD;
(2)如圖,過點D作DF⊥EC于點F,
∵△ABC是邊長為6的等邊三角形,
∴∠A=60°,AC=AB=6,
∵DC=2AD,∴AD=2,DC=4,
∵△CED∽△BAD,
∴===3,∴EC=3DE,
∵∠E=∠A=60°,DF⊥EC,∴∠EDF=90°-60°=30°,∴DE=2EF,
設EF=x,則DE=2x,DF=x,EC=6x,∴FC=5x,
在Rt△DFC中,DF2+FC2=DC2,∴(x)2+(5x)2=42,
解得x=或-(不符合題意,舍去),
∴CE=6x=.
【舉一反三】
1.(2024·渭南模擬)如圖,點A,B,C,D在☉O上,連接AB,DB,CB,CD,AB⊥BC,BC=8,∠BDC=30°,則AB的長為(A)
A.8 B.8 C.8 D.4
2.(2024·成都模擬)如圖,已知☉O的兩條弦AC,BD相交于點E,∠BAC=70°,
∠ACD=50°,連接OE,若E為AC的中點,則∠OEB的度數是　30°　.
【技法點撥】
圓周角定理的推論的應用
1.常作的輔助線是構造同弧所對的圓周角.
2.圓周角定理的推論是證明弧相等、角相等常用的方法.
素養當堂測評　　(10分鐘·15分)
1.(3分·模型觀念、運算能力)將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上,使點C在半圓上.點A,B的讀數分別為88°,30°,則∠ACB的大小為(C)
A.15° B.28° C.29° D.34°
2.(3分·幾何直觀、運算能力)(2024·云南中考)如圖,CD是☉O的直徑,點A,B在
☉O上.若=,∠AOC=36°,則∠D=(B)
A.9° B.18° C.36° D.45°
3.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,∠A是☉O的圓周角,∠OBC=55°,則∠A=(A)
A.35° B.45° C.55° D.70°
4.(6分·幾何直觀、推理能力)如圖,圖中兩條弦AB,CD相交于點E,且AE=DE,求證:AB=CD.
【證明】由圓周角定理得,∠C=∠B,
在△AEC和△DEB中,,
∴△AEC≌△DEB(AAS),
∴EC=EB,
∴AE+BE=DE+EC,即AB=CD.4　圓周角和圓心角的關系
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解圓周角的概念 抽象能力、幾何直觀
2.探索并證明圓周角定理及推論 幾何直觀、空間觀念、模型觀念、推理能力
基礎主干落實　　起步起勢 向上向陽
新知要點 對點小練
1.圓周角的定義 頂點在 ,兩邊分別與圓還有 的角. 1.如圖,∠APB是圓周角的是( )
2.圓周角定理 圓周角的度數等于它所對弧上的 度數的 . 2.如圖,點A,B,C在☉O上,若∠C=55°,則∠AOB的度數為 °.
3.推論 或 所對的圓周角相等. 3.如圖,在☉O中,弦AC,BD相交于點P,連接BC,AD.若∠C=30°,則∠ADP的大小為( ) A.30° B.43° C.53° D.77°
重點典例研析　　學貴有方 進而有道
重點1 圓周角及圓周角定理(幾何直觀、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P79“圓周角定理”拓展)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD與AB相交于點P,∠AOD=70°,∠APD=60°.求∠BDC的度數.
【舉一反三】
1.(2024·西安一模)如圖,在☉O中,點C在上.若∠AOB=120°,∠ABC=22°,則
∠BAC的度數為( )
A.36° B.37° C.38° D.39°
2.(2024·甘肅中考)如圖,點A,B,C在☉O上,AC⊥OB,垂足為D,若∠A=35°,則∠C的度數是( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
重點2 圓周角定理的推論(幾何直觀、推理能力)
【典例2】(教材溯源·P80隨堂練習T2)(2022·無錫中考)如圖,邊長為6的等邊三角形ABC內接于☉O,點D為AC上的動點(點A,C除外),BD的延長線交☉O于點E,連接CE.
(1)求證:△CED∽△BAD;
(2)當DC=2AD時,求CE的長.
【舉一反三】
1.(2024·渭南模擬)如圖,點A,B,C,D在☉O上,連接AB,DB,CB,CD,AB⊥BC,BC=8,∠BDC=30°,則AB的長為( )
A.8 B.8 C.8 D.4
2.(2024·成都模擬)如圖,已知☉O的兩條弦AC,BD相交于點E,∠BAC=70°,
∠ACD=50°,連接OE,若E為AC的中點,則∠OEB的度數是 .
【技法點撥】
圓周角定理的推論的應用
1.常作的輔助線是構造同弧所對的圓周角.
2.圓周角定理的推論是證明弧相等、角相等常用的方法.
素養當堂測評　　(10分鐘·15分)
1.(3分·模型觀念、運算能力)將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上,使點C在半圓上.點A,B的讀數分別為88°,30°,則∠ACB的大小為( )
A.15° B.28° C.29° D.34°
2.(3分·幾何直觀、運算能力)(2024·云南中考)如圖,CD是☉O的直徑,點A,B在
☉O上.若=,∠AOC=36°,則∠D=( )
A.9° B.18° C.36° D.45°
3.(3分·幾何直觀、運算能力)如圖,∠A是☉O的圓周角,∠OBC=55°,則∠A=( )
A.35° B.45° C.55° D.70°
4.(6分·幾何直觀、推理能力)如圖,圖中兩條弦AB,CD相交于點E,且AE=DE,求證:AB=CD.4　圓周角和圓心角的關系
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解圓內接四邊形的概念 抽象能力、空間觀念
2.探索圓周角定理的推論及圓內接四邊形的性質 模型觀念、幾何直觀、運算能力、推理能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1. 直徑與90°的圓周角的關系(1)直徑所對的圓周角是　直角　 (2)90°的圓周角所對的弦是　直徑　
1.如圖,BC是☉O的直徑,點A是☉O上異于B,C的一點,則∠A的度數為(D) A.60° B.70° C.80° D.90°
2. 圓內 接四 邊形定 義如果一個四邊形的　所有頂點　都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的　外接圓　 性 質圓內接四邊形對角　互補　,并且它的任意一個外角都等于　它的內對角　
2.如圖,四邊形ABCD內接于☉O,若∠A=70°,則∠C的度數是(C) A.70° B.90° C.110° D.140°
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 圓周角定理推論2(幾何直觀、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P83隨堂練習T1拓展)如圖,C為☉O上的一點,直徑AB=26,∠ACB的平分線交☉O于點D,交AB于點E.求BD的長.
【解析】如圖,連接OD,
∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,
∵CD是∠ACB的平分線,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠BOD=2∠BCD=90°,
在Rt△BOD中,OB=OD=AB=13,
∴BD=OB=13.
【舉一反三】
1.(2024·宜賓中考)如圖,AB是☉O的直徑,若∠CDB=60°,則∠ABC的度數等于(A)
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.AB為半圓O的直徑,點C為半圓上一點,且∠CAB=50°.①以點B為圓心,適當長為半徑作弧,交AB,BC于D,E;②分別以D,E為圓心,大于DE長為半徑作弧,兩弧交于點P;③作射線BP.則∠ABP=(C)
A.40° B.25° C.20° D.15°
重點2 圓內接四邊形(推理能力、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P82“想一想”補充)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AE⊥CB的延長線于點E,連接AC,BD,BA平分∠EBD.
(1)求證:AC=AD.
(2)當B為的中點,BC=3BE,AD=6時,求CD的長.
【解析】(1)∵四邊形ABCD內接于☉O,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
又∵∠ABE+∠ABC=180°,
∴∠ABE=∠ADC,
∵BA平分∠DBE,
∴∠ABE=∠DBA,
∴∠ADC=∠DBA,
∵∠ACD=∠DBA,
∴∠ADC=∠ACD,∴AC=AD.
(2)過點A作AF⊥CD于點F,
∵B為的中點,∴AB=BC,
∵BC=3BE,∴AB=3BE,
∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,
∴∠ADF=∠ABE,
∵∠AFD=∠AEB=90°,∴△ABE∽△ADF,
∴==,
∵AD=6,∴DF=2,
∵AC=AD,∴CD=2DF=4.
【舉一反三】
1.(2024·昭通一模)如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,若∠ABC=114°,則
∠AOC的度數為(B)
A.134° B.132° C.76° D.66°
2.(2024·吉林中考)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,過點B作BE∥AD,交CD于點E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數是(C)
A.50° B.100° C.130° D.150°
【技法點撥】
圓內接四邊形的角的兩種關系
1.對角互補,若四邊形ABCD為☉O的內接四邊形,則∠A+∠C=180°,∠B+
∠D=180°.
2.四個角的和是360°,若四邊形ABCD為☉O的內接四邊形,則∠A+∠B+∠C+
∠D=360°.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀、模型觀念)如圖,BC為直徑,∠ABC=35°,則∠D的度數為(C)
A.35° B.45° C.55° D.65°
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,在☉O中,AB是☉O的直徑,∠DAC=20°,弦CD =CB,則∠ADC=(B)
A.100° B.110° C.120° D.150°
3.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,對角線AC,BD交于點E,AC為☉O的直徑,∠BCA=2∠ACD.
(1)求證:BC=CE;
(2)若☉O的半徑為,BC=4,求線段DC的長.
【解析】(1)設∠ACD=α,
則∠BCA=2∠ACD=2α,
∵∠ABD與∠ACD所對弧都為,
∴∠ABD=∠ACD=α,
∵AC為☉O的直徑,
∴∠ABC=90°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABD=90°-α,
∴∠CEB=180°-(∠CBE+∠BCA)=180°-(90°-α+2α)=90°-α,
∴∠CBE=∠CEB,∴BC=CE.
(2)過點C作CT⊥BE于T,如圖所示:
∵☉O的半徑為,BC=4,
∴AC=5,
設AD=x,
由(1)可知,BC=CE=4,
∴ET=BE,∠ECT=∠BCA,AE=AC-CE=5-4=1,
∵∠BCE=∠ADE,∠BEC=∠AED,
∴△BCE∽△ADE,
∴AD∶BC=AE∶BE,
即x∶4=1∶BE,
∴BE=,
∴ET=BE=,
∵AC為☉O的直徑,CT⊥BE,
∴∠ADC=∠ETC=90°,
∴∠ECT=∠BCA,∠BCA=2∠ACD,
∴∠ECT=∠ACD,
∴△ECT∽△ACD,
∴AD∶ET=AC∶CE,
即x∶=5∶4,
∴x=,
∴AD=,
在Rt△ACD中,AD=,AC=5,
由勾股定理得CD==.4　圓周角和圓心角的關系
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解圓內接四邊形的概念 抽象能力、空間觀念
2.探索圓周角定理的推論及圓內接四邊形的性質 模型觀念、幾何直觀、運算能力、推理能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1. 直徑與90°的圓周角的關系(1)直徑所對的圓周角是 (2)90°的圓周角所對的弦是
1.如圖,BC是☉O的直徑,點A是☉O上異于B,C的一點,則∠A的度數為( ) A.60° B.70° C.80° D.90°
2. 圓內 接四 邊形定 義如果一個四邊形的 都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的 性 質圓內接四邊形對角 ,并且它的任意一個外角都等于
2.如圖,四邊形ABCD內接于☉O,若∠A=70°,則∠C的度數是( ) A.70° B.90° C.110° D.140°
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 圓周角定理推論2(幾何直觀、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P83隨堂練習T1拓展)如圖,C為☉O上的一點,直徑AB=26,∠ACB的平分線交☉O于點D,交AB于點E.求BD的長.
【舉一反三】
1.(2024·宜賓中考)如圖,AB是☉O的直徑,若∠CDB=60°,則∠ABC的度數等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.AB為半圓O的直徑,點C為半圓上一點,且∠CAB=50°.①以點B為圓心,適當長為半徑作弧,交AB,BC于D,E;②分別以D,E為圓心,大于DE長為半徑作弧,兩弧交于點P;③作射線BP.則∠ABP=( )
A.40° B.25° C.20° D.15°
重點2 圓內接四邊形(推理能力、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P82“想一想”補充)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AE⊥CB的延長線于點E,連接AC,BD,BA平分∠EBD.
(1)求證:AC=AD.
(2)當B為的中點,BC=3BE,AD=6時,求CD的長.
【舉一反三】
1.(2024·昭通一模)如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,若∠ABC=114°,則
∠AOC的度數為( )
A.134° B.132° C.76° D.66°
2.(2024·吉林中考)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,過點B作BE∥AD,交CD于點E.若∠BEC=50°,則∠ABC的度數是( )
A.50° B.100° C.130° D.150°
【技法點撥】
圓內接四邊形的角的兩種關系
1.對角互補,若四邊形ABCD為☉O的內接四邊形,則∠A+∠C=180°,∠B+
∠D=180°.
2.四個角的和是360°,若四邊形ABCD為☉O的內接四邊形,則∠A+∠B+∠C+
∠D=360°.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀、模型觀念)如圖,BC為直徑,∠ABC=35°,則∠D的度數為( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,在☉O中,AB是☉O的直徑,∠DAC=20°,弦CD =CB,則∠ADC=( )
A.100° B.110° C.120° D.150°
3.(8分·幾何直觀、推理能力)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,對角線AC,BD交于點E,AC為☉O的直徑,∠BCA=2∠ACD.
(1)求證:BC=CE;
(2)若☉O的半徑為,BC=4,求線段DC的長.

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