資源簡介

6　直線和圓的位置關系
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解直線和圓的三種位置關系及切線的概念 抽象能力、幾何直觀
2.掌握直線和圓的三種位置關系的判斷及切線的性質 模型觀念、幾何直觀、推理能力、運算能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.直線與圓的位置關系 直線l與圓的三種位置關系名稱相交相切相離圖示d與r的關系dr交點個數210
1.(1)已知圓的半徑為3,某直線到圓心的距離是2,則此直線與圓的位置關系為( ) A.相離　 B.相切　 C.相離或相切　 D.相交 (2)已知☉O的半徑r為3 cm,圓心O到直線l的距離d為4 cm,直線l與☉O的公共點個數為( ) A.0 B.1 C.2 D.以上都不對 (3)行駛在水平路面上的汽車,若把路面看成直線,則此時轉動的車輪與地面的位置關系是( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定
2.切線的定義與性質 2.(1)如果直線AB與☉O只有一個公共點,那么直線AB與☉O的位置關系是 . (2)如圖,PA為☉O的切線,連接OP,OA.若∠A=50°,則∠POA的度數為 .
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 直線和圓的位置關系(幾何直觀、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P90例1拓展)如圖,已知∠APB=30°,OP=3 cm,☉O的半徑為1 cm,若圓心O沿著BP的方向在直線BP上移動.
(1)當圓心O移動的距離為1 cm時,☉O與直線PA的位置關系是什么
(2)若圓心O移動的距離是d,當☉O與直線PA相交時,d的取值范圍是什么
【舉一反三】
1.(2024·溫州質檢)已知☉O的半徑是5,直線l與☉O相交,圓心O到直線l的距離可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.10
2.已知☉O的半徑為6,圓心O到直線l的距離為d,若☉O與直線l有公共點,則d的取值范圍是 .
重點2 切線的性質及應用(推理能力、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P90“議一議”拓展)如圖,AB是☉O的直徑,點D在射線BA上,DC與☉O相切于點C,過點B作BE⊥DC,交DC的延長線于點E,連接BC,OC.
(1)求證:BC是∠ABE的平分線;
(2)若DC=8,DA=4,求AB的長.
【舉一反三】
1.(2023·重慶中考A卷)如圖,AC是☉O的切線,B為切點,連接OA,OC.若∠A=30°, AB=2,BC=3,則OC的長度是( )
A.3 B.2 C. D.6
2.如圖,在☉O中,E是直徑AB延長線上一點,CE切☉O于點C,若CE=2BE,則∠E的余弦值為( )
A. B. C. D.
【技法點撥】
切線的三條性質
1.切線和圓只有一個公共點.
2.圓心到切線的距離等于圓的半徑.
3.圓的切線垂直于過切點的半徑.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·模型觀念、運算能力)已知☉O的直徑為6 cm,點O到直線l的距離為4 cm,則l與☉O的位置關系是( )
A.相離 B.相切
C.相交 D.相切或相交
2.(4分·模型觀念、運算能力)已知☉O的周長為12π cm,某直線到圓心O的距離為5 cm,則這條直線與☉O公共點的個數為( )
A.2　　B.1　　C.0　　D.不能確定
3.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,AB是圓O的直徑,D是BA延長線上一點,DC與圓O相切于點C,連接BC,∠ABC=20°,則∠BDC的度數為( )
A.50° B.45° C.40° D.35°
4.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,△ABC中,AB=AC,點O是BC邊上一點,以點O為圓心,OB為半徑作☉O與邊AC相切于點A,若BC=9,則OB的長等于 . 6　直線和圓的位置關系
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解三角形的內切圓及內心的概念 抽象能力、幾何直觀
2.掌握切線的判定定理 幾何直觀、模型觀念、推理能力、運算能力
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
1.切線的判定定理 過半徑外端且　垂直　于這條半徑的直線. 1.已知☉O的半徑為5,直線EF經過☉O上一點P(點E,F在點P的兩旁),下列條件能判定直線EF與☉O相切的是(D) A.OP=5 B.OE=OF C.O到直線EF的距離是4 D.OP⊥EF
2.三角形的內切圓 2.☉O是△ABC的內切圓,則點O是△ABC的(C) A.三條邊的垂直平分線的交點 B.三條中線的交點 C.三條角平分線的交點 D.三條高的交點
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1 切線的判定(模型觀念、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P93習題T1拓展)如圖,已知AB是☉O的直徑,AC平分∠DAB交☉O于C,過點C作CD⊥AD于點D.求證:直線CD與☉O相切.
【解析】如圖,連接OC,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠DAB,∴∠OAC=∠DAC,
∴∠OCA=∠DAC,∴OC∥AD,
又∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,
∴直線CD與☉O相切.
【舉一反三】
(2024·泉州一模)如圖,△ABC內接于☉O,AB是☉O的直徑,∠A=60°.點E在AB的延長線上,BE=OB.過點E作ED⊥AC,交AC的延長線于點D.求證:DE是☉O的切線.
【證明】過點O作OF⊥DE于F,
∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∠A=60°,∴∠ABC=30°,
∵ED⊥AC,∴∠D=90°=∠ACB,∴∠E=∠ABC=30°,∴OF=OE,
∵BE=OB,∴OB=OE,∴OF=OB,∴DE是☉O的切線.
重點2 三角形的內切圓(推理能力、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P93習題T2補充)
如圖,點E是△ABC的內心,AE的延長線與△ABC的外接圓相交于點D.
求證:DE=DB.
【自主解答】連接BE,∵E是△ABC的內心,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE,
又∵∠CBD=∠CAD,
∴∠BED=∠BAD+∠ABE=∠CAD+∠CBE,
∠DBE=∠CBD+∠CBE=∠CAD+∠CBE,∴∠BED=∠DBE,∴DE=DB.
【舉一反三】
1.(2024·晉中一模)如圖,點O是△ABC內切圓的圓心,已知∠ABC=50°,∠ACB=80°,則∠BOC的度數是(B)
A.100° B.115° C.125° D.130°
2.(2024·廣州期末)如圖,Rt△ABC的內切圓分別與AB,BC相切于D點、E點,若BD=1,AD=4,則CE=(D)
A. B. C. D.
【技法點撥】
三角形內切圓的性質
1.三角形內切圓的圓心是三角形內角平分線的交點.
2.三角形內切圓的圓心到三邊的距離相等.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·模型觀念、推理能力)如圖,點B在☉A上,點C在☉A外,以下條件不能判定BC是☉A切線的是(D)
A.∠A=50°,∠C=40°
B.∠B-∠C=∠A
C.AB2+BC2=AC2
D.☉A與AC的交點是AC的中點
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,在△ABC中,∠A=80°,I是△ABC的內心,連接BI,CI,則∠BIC的度數是(C)
A.110° B.120° C.130° D.140°
3.(8分·推理能力、運算能力)如圖,已知AB為☉O的弦,C為☉O上一點,∠C=
∠BAD, 且BD⊥AB于B.
(1)求證:AD是☉O的切線;
(2)若☉O的半徑為3,AB=4,求AD的長.
【解析】(1)如圖,連接AO并延長交☉O于點E,連接BE,則∠ABE=90°,
∴∠EAB+∠E=90°.
∵∠E=∠C,∠C=∠BAD,
∴∠EAB+∠BAD=90°.
∴AD是☉O的切線.
(2)由(1)可知∠ABE=90°,直徑AE=2AO=6,AB=4,∴BE==2.
∵∠E=∠C=∠BAD,BD⊥AB,∴cos∠BAD=cos E.
∴=,即=.∴AD=.6　直線和圓的位置關系
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解三角形的內切圓及內心的概念 抽象能力、幾何直觀
2.掌握切線的判定定理 幾何直觀、模型觀念、推理能力、運算能力
基礎主干落實　　博觀約取 厚積薄發
新知要點 對點小練
1.切線的判定定理 過半徑外端且 于這條半徑的直線. 1.已知☉O的半徑為5,直線EF經過☉O上一點P(點E,F在點P的兩旁),下列條件能判定直線EF與☉O相切的是( ) A.OP=5 B.OE=OF C.O到直線EF的距離是4 D.OP⊥EF
2.三角形的內切圓 2.☉O是△ABC的內切圓,則點O是△ABC的( ) A.三條邊的垂直平分線的交點 B.三條中線的交點 C.三條角平分線的交點 D.三條高的交點
重點典例研析　　精鉆細研 學深悟透
重點1 切線的判定(模型觀念、推理能力)
【典例1】(教材再開發·P93習題T1拓展)如圖,已知AB是☉O的直徑,AC平分∠DAB交☉O于C,過點C作CD⊥AD于點D.求證:直線CD與☉O相切.
【舉一反三】
(2024·泉州一模)如圖,△ABC內接于☉O,AB是☉O的直徑,∠A=60°.點E在AB的延長線上,BE=OB.過點E作ED⊥AC,交AC的延長線于點D.求證:DE是☉O的切線.
重點2 三角形的內切圓(推理能力、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P93習題T2補充)
如圖,點E是△ABC的內心,AE的延長線與△ABC的外接圓相交于點D.
求證:DE=DB.
【舉一反三】
1.(2024·晉中一模)如圖,點O是△ABC內切圓的圓心,已知∠ABC=50°,∠ACB=80°,則∠BOC的度數是( )
A.100° B.115° C.125° D.130°
2.(2024·廣州期末)如圖,Rt△ABC的內切圓分別與AB,BC相切于D點、E點,若BD=1,AD=4,則CE=( )
B. C. D.
【技法點撥】
三角形內切圓的性質
1.三角形內切圓的圓心是三角形內角平分線的交點.
2.三角形內切圓的圓心到三邊的距離相等.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·模型觀念、推理能力)如圖,點B在☉A上,點C在☉A外,以下條件不能判定BC是☉A切線的是( )
A.∠A=50°,∠C=40°
B.∠B-∠C=∠A
C.AB2+BC2=AC2
D.☉A與AC的交點是AC的中點
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,在△ABC中,∠A=80°,I是△ABC的內心,連接BI,CI,則∠BIC的度數是( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
3.(8分·推理能力、運算能力)如圖,已知AB為☉O的弦,C為☉O上一點,∠C=
∠BAD, 且BD⊥AB于B.
(1)求證:AD是☉O的切線;
(2)若☉O的半徑為3,AB=4,求AD的長.6　直線和圓的位置關系
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.了解直線和圓的三種位置關系及切線的概念 抽象能力、幾何直觀
2.掌握直線和圓的三種位置關系的判斷及切線的性質 模型觀念、幾何直觀、推理能力、運算能力
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
1.直線與圓的位置關系 直線l與圓的三種位置關系名稱相交相切相離圖示d與r的關系dr交點個數210
1.(1)已知圓的半徑為3,某直線到圓心的距離是2,則此直線與圓的位置關系為(D) A.相離　 B.相切　 C.相離或相切　 D.相交 (2)已知☉O的半徑r為3 cm,圓心O到直線l的距離d為4 cm,直線l與☉O的公共點個數為(A) A.0 B.1 C.2 D.以上都不對 (3)行駛在水平路面上的汽車,若把路面看成直線,則此時轉動的車輪與地面的位置關系是(B) A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定
2.切線的定義與性質 2.(1)如果直線AB與☉O只有一個公共點,那么直線AB與☉O的位置關系是　相切　. (2)如圖,PA為☉O的切線,連接OP,OA.若∠A=50°,則∠POA的度數為　40°　.
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1 直線和圓的位置關系(幾何直觀、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P90例1拓展)如圖,已知∠APB=30°,OP=3 cm,☉O的半徑為1 cm,若圓心O沿著BP的方向在直線BP上移動.
(1)當圓心O移動的距離為1 cm時,☉O與直線PA的位置關系是什么
(2)若圓心O移動的距離是d,當☉O與直線PA相交時,d的取值范圍是什么
【解析】(1)如圖,當點O向左移動1 cm時,PO'=PO-O'O=3-1=2(cm),
作O'C⊥PA于點C,
∵∠APB=30°,∴O'C=PO'=1 cm,
∵圓的半徑為1 cm,∴當圓心O移動的距離為1 cm時,☉O與直線PA的位置關系是相切.
(2)當點O由O'向左繼續移動時,PA與圓相交,當移動到C″時,相切,
此時C″P=PO'=2 cm,
∵OP=3 cm,∴OC″=OP+C″P=3+2=5(cm),
∴點O移動的距離d的范圍滿足1 cm【舉一反三】
1.(2024·溫州質檢)已知☉O的半徑是5,直線l與☉O相交,圓心O到直線l的距離可能是(A)
A.4 B.5 C.6 D.10
2.已知☉O的半徑為6,圓心O到直線l的距離為d,若☉O與直線l有公共點,則d的取值范圍是　0≤d≤6　.
重點2 切線的性質及應用(推理能力、運算能力)
【典例2】(教材再開發·P90“議一議”拓展)如圖,AB是☉O的直徑,點D在射線BA上,DC與☉O相切于點C,過點B作BE⊥DC,交DC的延長線于點E,連接BC,OC.
(1)求證:BC是∠ABE的平分線;
(2)若DC=8,DA=4,求AB的長.
【解析】(1)∵DC是☉O的切線,
∴OC⊥DC,
∵BE⊥DC,∴OC∥BE,
∴∠OCB=∠CBE,
∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OBC=∠CBE,
即BC是∠ABE的平分線;
(2)設☉O的半徑為r,則OD=r+4,
在Rt△OCD中,OD2=OC2+CD2,
即(r+4)2=r2+82,
解得r=6,∴AB=2r=12.
【舉一反三】
1.(2023·重慶中考A卷)如圖,AC是☉O的切線,B為切點,連接OA,OC.若∠A=30°, AB=2,BC=3,則OC的長度是(C)
A.3 B.2 C. D.6
2.如圖,在☉O中,E是直徑AB延長線上一點,CE切☉O于點C,若CE=2BE,則∠E的余弦值為(B)
A. B. C. D.
【技法點撥】
切線的三條性質
1.切線和圓只有一個公共點.
2.圓心到切線的距離等于圓的半徑.
3.圓的切線垂直于過切點的半徑.
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·模型觀念、運算能力)已知☉O的直徑為6 cm,點O到直線l的距離為4 cm,則l與☉O的位置關系是(A)
A.相離 B.相切
C.相交 D.相切或相交
2.(4分·模型觀念、運算能力)已知☉O的周長為12π cm,某直線到圓心O的距離為5 cm,則這條直線與☉O公共點的個數為(A)
A.2　　B.1　　C.0　　D.不能確定
3.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,AB是圓O的直徑,D是BA延長線上一點,DC與圓O相切于點C,連接BC,∠ABC=20°,則∠BDC的度數為(A)
A.50° B.45° C.40° D.35°
4.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,△ABC中,AB=AC,點O是BC邊上一點,以點O為圓心,OB為半徑作☉O與邊AC相切于點A,若BC=9,則OB的長等于　3　.

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