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8　圓內接正多邊形
課時學習目標 素養目標達成
1.了解圓內接正多邊形的概念及相關計算 抽象能力、幾何直觀、運算能力
2.會用尺規作圓的內接正方形和正六邊形 空間觀念、應用意識、推理能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.圓內接正多邊形的相關概念 定義頂點都在 圓上的正多邊形,這個圓叫做該正多邊形的 中心正多邊形的 半徑正多邊形的 邊心距中心到正多邊形的一邊的 中心角正多邊形的每一邊所對的 的圓心角
1.圓內接正三角形的邊長是12 cm,則該圓的半徑長是( ) A.3 cm B.4 cm C.3 cm D.4 cm
2.圓內接正n邊形的計算 中心角每個內角=180°- 每個外角
2.如圖,五邊形ABCDE是☉O的內接正五邊形,則正五邊形中心角∠COD的度數是( ) A.60° B.36° C.76° D.72°
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 圓內接正多邊形的概念與計算(推理能力、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P97例題拓展)如圖,在☉O的內接正八邊形ABCDEFGH中,AB=2,連接BG,DG.
(1)求證:DG∥AB;
(2)DG的長為 .
【舉一反三】
(2024·合肥二模)如圖,正五邊形ABCDE的外接圓為☉O,點P是劣弧DE上一點,連接AC,AP,CP,則∠ACP+∠CAP的度數是( )
A.72° B.108° C.128° D.144°
重點2 正多邊形的作法及應用(空間觀念、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P98“做一做”變式)如圖,已知☉O,用尺規作☉O的內接正四邊形ABCD.(寫出結論,不寫作法,保留作圖痕跡,并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)
【舉一反三】
1.(2024·福州模擬)如圖,將☉O的圓周十二等分,圓內接矩形ABCD的面積為20,則圓內接正六邊形面積為( )
A.25 B.30 C.35 D.40
2.若用n個全等的正五邊形按如圖方式拼接可以拼成一個環狀,使相鄰的兩個正五邊形有公共頂點,所夾的銳角為24°,圖中所示的是前3個正五邊形的拼接情況,拼接一圈后,中間會形成一個正多邊形,則n的值為( )
A.5 B.6 C.8 D.10
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,正六邊形ABCDEF內接于☉O,P為上的一點(點P不與點A,B重合),則∠CPE的度數為( )
A.45° B.55° C.60° D.65°
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,正五邊形ABCDE內接于☉O,連接AC,則∠ACD的度數是( )
A.72° B.70° C.60° D.45°
3.(4分·幾何直觀、運算能力)已知正六邊形ABCDEF外接圓的半徑為6,則這個正六邊形的面積為( )
A.54 B.54 C.36 D.36
4.(8分·推理能力、運算能力)如圖,在正五邊形ABCDE中,連接AC,AD,CE,CE交AD于點F.
(1)求∠CAD的度數.
(2)若AB=2,求DF的長.8　圓內接正多邊形
課時學習目標 素養目標達成
1.了解圓內接正多邊形的概念及相關計算 抽象能力、幾何直觀、運算能力
2.會用尺規作圓的內接正方形和正六邊形 空間觀念、應用意識、推理能力
基礎主干落實　　筑牢根基 行穩致遠
新知要點 對點小練
1.圓內接正多邊形的相關概念 定義頂點都在　同一　圓上的正多邊形,這個圓叫做該正多邊形的　外接圓　 中心正多邊形的　外接圓的圓心　 半徑正多邊形的　外接圓的半徑　 邊心距中心到正多邊形的一邊的　距離　 中心角正多邊形的每一邊所對的　外接圓　的圓心角
1.圓內接正三角形的邊長是12 cm,則該圓的半徑長是(B) A.3 cm B.4 cm C.3 cm D.4 cm
2.圓內接正n邊形的計算 中心角每個內角=180°- 每個外角
2.如圖,五邊形ABCDE是☉O的內接正五邊形,則正五邊形中心角∠COD的度數是(D) A.60° B.36° C.76° D.72°
重點典例研析　　啟思凝智 教學相長
重點1 圓內接正多邊形的概念與計算(推理能力、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P97例題拓展)如圖,在☉O的內接正八邊形ABCDEFGH中,AB=2,連接BG,DG.
(1)求證:DG∥AB;
(2)DG的長為　　　　.
【解析】(1)∵八邊形ABCDEFGH是☉O的內接正八邊形,
∴=======,∴=,
∴∠ABG=∠BGD,∴AB∥DG;
(2)如圖,連接OD,OE,OF,過點E,F分別作DG的垂線,垂足為M,N,
則MN=EF=AB=2,
∵八邊形ABCDEFGH是☉O的內接正八邊形,
∴∠DOE=∠EOF==45°,
∴∠NGF=∠DOF=45°=∠MDE,
在Rt△MDE中,∠MDE=45°,DE=2,
∴MD=DE=,
同理NG=,
∴DG=+2+=2+2.
答案:2+2
【舉一反三】
(2024·合肥二模)如圖,正五邊形ABCDE的外接圓為☉O,點P是劣弧DE上一點,連接AC,AP,CP,則∠ACP+∠CAP的度數是(B)
A.72° B.108° C.128° D.144°
重點2 正多邊形的作法及應用(空間觀念、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P98“做一做”變式)如圖,已知☉O,用尺規作☉O的內接正四邊形ABCD.(寫出結論,不寫作法,保留作圖痕跡,并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)
【解析】①作☉O的任意直徑AC;②過點O作直徑AC的中垂線交圓于B,D兩點;③連接AB,AD,BC,DC,則如圖所示,四邊形ABCD即為所求.
【舉一反三】
1.(2024·福州模擬)如圖,將☉O的圓周十二等分,圓內接矩形ABCD的面積為20,則圓內接正六邊形面積為(B)
A.25 B.30 C.35 D.40
2.若用n個全等的正五邊形按如圖方式拼接可以拼成一個環狀,使相鄰的兩個正五邊形有公共頂點,所夾的銳角為24°,圖中所示的是前3個正五邊形的拼接情況,拼接一圈后,中間會形成一個正多邊形,則n的值為(B)
A.5 B.6 C.8 D.10
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,正六邊形ABCDEF內接于☉O,P為上的一點(點P不與點A,B重合),則∠CPE的度數為(C)
A.45° B.55° C.60° D.65°
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,正五邊形ABCDE內接于☉O,連接AC,則∠ACD的度數是(A)
A.72° B.70° C.60° D.45°
3.(4分·幾何直觀、運算能力)已知正六邊形ABCDEF外接圓的半徑為6,則這個正六邊形的面積為(B)
A.54 B.54 C.36 D.36
4.(8分·推理能力、運算能力)如圖,在正五邊形ABCDE中,連接AC,AD,CE,CE交AD于點F.
(1)求∠CAD的度數.
(2)若AB=2,求DF的長.
【解析】(1)∵五邊形ABCDE是正五邊形,
∴AB=BC=CD=DE=AE,BA∥CE,AD∥BC,DE∥AC,AC=AD=CE,
∠BAE=×(5-2)×180°=108°.
∴四邊形ABCF是菱形,∴∠BAC=∠CAD,
同理:∠CAD=∠DAE,
∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=×108°=36°;
(2)∵四邊形ABCF是菱形,
∴CF=AF=AB=2.
∵∠BAC=∠CAD=∠DAE=36°,
同理∠DCE=36°,
∴△DCF∽△DAC,
∴=,即CD2=DF·AD,
設DF=x,則AD=x+2,
∴22=x(x+2),即x2+2x-4=0,
解得x=-1(舍去負值).
∴DF的長是-1.

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