資源簡介

9　弧長及扇形的面積
課時學習目標 素養目標達成
1.探索弧長計算公式及扇形面積計算公式 幾何直觀、空間觀念
2.理解弧長計算公式及扇形面積計算公式并應用 模型觀念、應用意識、運算能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.弧長計算公式 在半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長的計算公式為l= . 1.已知一個扇形的半徑為6,弧長為2π,則這個扇形的圓心角為( ) A.30° B.60° C.90° D.120°
2.扇形面積計算公式 如果扇形的半徑為R,圓心角為n°,那么扇形面積的計算公式為S扇形= . 比較扇形面積公式與弧長公式還可得到S扇形= . 2.(1)計算半徑為1,圓心角為60°的扇形面積為( ) A. B. C. D.π (2)一個扇形的面積為7π cm2,半徑為6 cm,則此扇形的圓心角是 .
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1 弧長公式及應用(幾何直觀、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P100例1拓展)如圖,A,P,B,C是☉O上的四個點,∠APC=∠CPB=60°.
(1)求∠ACB的度數;
(2)若BC=6,求的長.
【舉一反三】
1.(2024·常熟模擬)如圖,在☉O中,點A,B,C在圓上,∠ACB=45°,☉O的半徑的長為2,則劣弧AB的長是( )
A.2π B.π C. D.
2.如圖,正方形ABCD的邊長是3,將對角線AC繞點A順時針旋轉∠CAD的度數,點C旋轉后的對應點為E,則的長是 (結果保留π).
【技法點撥】
弧長相關計算的兩個步驟
重點2 扇形及相關陰影面積的計算(模型觀念、運算能力)
【典例2】(2023·郴州中考)如圖,在☉O中,AB是直徑,點C是圓上一點.在AB的延長線上取一點D,連接CD,使∠BCD=∠A.
(1)求證:直線CD是☉O的切線;
(2)若∠ACD=120°,CD=2,求圖中陰影部分的面積(結果用含π的式子表示).
【舉一反三】
1.如圖,某數學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心,AB為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細),則所得扇形DAB的面積為( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.(2024·濟南期末)如圖1,一個扇形紙片的圓心角為90°,半徑為10.如圖2,將這張扇形紙片折疊,使點A與點O恰好重合,折痕為CD,圖中陰影為重合部分,則陰影部分的面積為 .(結果保留π)
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,在☉O中,半徑AO⊥BO,C為上一點,連接AC,BC,AB,OC,若∠ABC=15°,CO=2,則的長度為( )
A. B. C. D.
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠C=45°,BC=2,則的長度為( )
A. B. C.π D.2π
3.(4分·模型觀念、運算能力)某花園內有一塊五邊形的空地如圖所示,為了美化環境,現計劃在以五邊形各頂點為圓心,4 m長為半徑的扇形區域(陰影部分)種上花草,那么種上花草的扇形區域總面積是( )
A.16π m2 B.12π m2
C.24π m2 D.48π m2
4.(4分·模型觀念、運算能力)已知一個扇形的圓心角為100°,半徑是6,則這個扇形的面積是( )
A.15π B.10π C.5π D.2.5π9　弧長及扇形的面積
課時學習目標 素養目標達成
1.探索弧長計算公式及扇形面積計算公式 幾何直觀、空間觀念
2.理解弧長計算公式及扇形面積計算公式并應用 模型觀念、應用意識、運算能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.弧長計算公式 在半徑為R的圓中,n°的圓心角所對的弧長的計算公式為l= πR　. 1.已知一個扇形的半徑為6,弧長為2π,則這個扇形的圓心角為(B) A.30° B.60° C.90° D.120°
2.扇形面積計算公式 如果扇形的半徑為R,圓心角為n°,那么扇形面積的計算公式為S扇形= πR2　. 比較扇形面積公式與弧長公式還可得到S扇形= lR　. 2.(1)計算半徑為1,圓心角為60°的扇形面積為(B) A. B. C. D.π (2)一個扇形的面積為7π cm2,半徑為6 cm,則此扇形的圓心角是　70°　.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1 弧長公式及應用(幾何直觀、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P100例1拓展)如圖,A,P,B,C是☉O上的四個點,∠APC=∠CPB=60°.
(1)求∠ACB的度數;
(2)若BC=6,求的長.
【自主解答】(1)∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠BPC=60°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°;
(2)連接OB,OC,過點O作OD⊥BC于點D,
∵∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°.
∵OD⊥BC于點D,OB=OC,
∴∠BOD=∠BOC=60°,BD=BC=×6=3,
∵Rt△BOD中,sin∠BOD=,
∴OB===2,
∴==π.
【舉一反三】
1.(2024·常熟模擬)如圖,在☉O中,點A,B,C在圓上,∠ACB=45°,☉O的半徑的長為2,則劣弧AB的長是(B)
A.2π B.π C. D.
2.如圖,正方形ABCD的邊長是3,將對角線AC繞點A順時針旋轉∠CAD的度數,點C旋轉后的對應點為E,則的長是 π　(結果保留π).
【技法點撥】
弧長相關計算的兩個步驟
重點2 扇形及相關陰影面積的計算(模型觀念、運算能力)
【典例2】(2023·郴州中考)如圖,在☉O中,AB是直徑,點C是圓上一點.在AB的延長線上取一點D,連接CD,使∠BCD=∠A.
(1)求證:直線CD是☉O的切線;
(2)若∠ACD=120°,CD=2,求圖中陰影部分的面積(結果用含π的式子表示).
【解析】(1)連接OC,
∵AB是直徑,∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°,
∵OA=OC,∠BCD=∠A,∴∠OCA=∠A=∠BCD,
∴∠BCD+∠OCB=∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∵OC是☉O的半徑,
∴直線CD是☉O的切線.
(2)∵∠ACD=120°,∠ACB=90°,
∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°,∴∠DOC=2∠A=60°,
在Rt△OCD中,tan∠DOC==tan 60°,又CD=2,
∴=,解得OC=2,∴S陰影=S△OCD-=×2×2-=2-.
【舉一反三】
1.如圖,某數學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心,AB為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細),則所得扇形DAB的面積為(D)
A.6 B.7 C.8 D.9
2.(2024·濟南期末)如圖1,一個扇形紙片的圓心角為90°,半徑為10.如圖2,將這張扇形紙片折疊,使點A與點O恰好重合,折痕為CD,圖中陰影為重合部分,則陰影部分的面積為 -　.(結果保留π)
素養當堂測評　　(10分鐘·16分)
1.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,在☉O中,半徑AO⊥BO,C為上一點,連接AC,BC,AB,OC,若∠ABC=15°,CO=2,則的長度為(A)
A. B. C. D.
2.(4分·幾何直觀、運算能力)如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠C=45°,BC=2,則的長度為(C)
A. B. C.π D.2π
3.(4分·模型觀念、運算能力)某花園內有一塊五邊形的空地如圖所示,為了美化環境,現計劃在以五邊形各頂點為圓心,4 m長為半徑的扇形區域(陰影部分)種上花草,那么種上花草的扇形區域總面積是(C)
A.16π m2 B.12π m2
C.24π m2 D.48π m2
4.(4分·模型觀念、運算能力)已知一個扇形的圓心角為100°,半徑是6,則這個扇形的面積是(B)
A.15π B.10π C.5π D.2.5π

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