資源簡介

1　銳角三角函數
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解正弦和余弦的意義,能夠運用sin A、cos A表示直角三角形兩邊的比. 模型觀念、運算能力
2.能根據直角三角形中的邊角關系,進行簡單的計算. 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
正弦與余弦的認識 函數正弦余弦條件在直角三角形中定義銳角的　對邊　與斜邊的比值 銳角的　鄰邊　與斜邊的比值 表示 ∠A的正弦.記作sin A,即sin A= ∠A的余弦.記作cos A,即cos A= 關系∠A的對邊=斜邊×sin A, 斜邊=∠A的對邊÷sin A∠A的鄰邊=斜邊×cos A, 斜邊=∠A的鄰邊÷cos A傾斜度sin A的值越 　大　,AB越陡 cos A的值越 　小　,AB越陡
1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,則cos A=(C) A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,則sin B的值等于(B) A. B. C. D. 3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=8,則AB的值為(C) A.6 B.8 C.10 D.12
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1計算銳角三角函數(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P6習題T1延伸)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為AC上的一點,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三角函數值.
【解析】在Rt△BCD中,∵CD=3,BD=5,∴BC===4,
又AC=AD+CD=8,
∴AB===4,
則sin A===,cos A===,tan A===.
【舉一反三】
(2024·眉山中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E在DC上,把△ADE沿AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處,則cos∠CEF的值為(A)
A. B. C. D.
重點2銳角三角函數的應用(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P5例2強化)已知:如圖,在△ABC中,AD是邊BC上的高,E為邊AC的中點,BC=21,AD=8,sin B=.
求:(1)線段DC的長;
(2)tan∠EDC的值.
【解析】(1)∵AD是BC邊上的高,
∴△ABD和△ACD是直角三角形,
在Rt△ABD中,∵sin B=,AD=8,
∴=,
∴AB=10,
∴BD==6,
又∵BC=21,
∴CD=BC-BD=15;
(2)在Rt△ACD中,
∵E為斜邊AC的中點,
∴ED=EC=AC,
∴∠C=∠EDC,
∴tan∠EDC=tan C==.
【舉一反三】
1.(2024·西安期末)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=4,那么AB的長為(C)
A.3 B.5 C. D.
2.如圖是一架人字梯,已知AB=AC,兩梯腳之間的距離BC=m米,AC與地面BC的夾角為α,則人字梯AC長為(C)
A.米 B.msin α米　　 C.米 D.米
【技法點撥】
銳角三角函數的兩個應用
1.已知一個銳角的三角函數值,求直角三角形的邊長或兩條邊的比.
2.已知一個銳角的某一個三角函數值,求這個銳角的其他三角函數值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1. (4分·模型觀念、運算能力)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,下列結論中,正確的是(C)
A.sin B= B.cos C=
C.sin C= D.tan C=
2.(4分·模型觀念、運算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3BC,則cos B= 　.
3.(4分·模型觀念、運算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,如果AB=14,那么AC=　4　.
4.(8分·模型觀念、運算能力)如圖,在△ABC中,AB=10,BC=4,sin B=,求AC的長.
【解析】如圖,過點A作AH⊥BC,交BC的延長線于點H,則∠AHB=90°.
∵sin B==,AB=10,
∴AH=6.
在Rt△AHB中,由勾股定理得BH===8.
又∵BC=4,
∴HC=BH-BC=8-4=4,
∴AC===2.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 二”1　銳角三角函數
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.經歷探索刻畫梯子傾斜程度的過程,理解正切的概念,感受正切與現實生活的聯系. 模型觀念、運算能力
2.了解坡度、坡角等概念,并能用正切進行簡單的計算. 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.正切 1.(1)在△ABC中,∠C=90°,則tan A等于(C) A. B. C. D. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,則tan A的值為(A) A. B. C. D.
2.坡度和坡角 概念內容聯系坡度 (坡比)坡面的　鉛直高度　與　水平寬度　的比,通常用字母i表示 坡度是坡角的正切,即i=tan α=h∶l 坡角坡面與水平面的夾角
2.(1)如圖,大壩某段橫截面迎水坡AB的坡度i=1∶2,若壩高BC=30 m,則壩底AC的長度為(B) A.30 m 　B.60 m C.30 m 　D.90 m (2)如果一斜坡的坡比是1∶2.4,那么該斜坡坡角的正切值是 　.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1計算銳角的正切值(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P3“定義”拓展)如圖1,在正方形ABCD中,點E在線段BC上,連接AE,將△ABE沿著AE折疊得到△AFE,延長EF交CD于點G.
(1)求證:DG=FG.
(2)如圖2,當點E是BC的中點時,求tan∠CGE的值.
【自主解答】(1)因為四邊形ABCD是正方形,所以AB=AD,∠B=∠D=90°,
因為將△ABE沿著AE折疊得到△AFE,
所以AB=AF,∠B=∠AFE=90°,
所以AD=AF,又因為AG=AG,
所以Rt△ADG≌Rt△AFG,
所以DG=FG;
(2)設BC=CD=2a,
因為點E是BC的中點,
所以BE=CE=a,
因為將△ABE沿著AE折疊得到△AFE,
所以BE=EF=a,
因為EG2=EC2+CG2,
所以=a2+,
所以DG=a,
所以GC=2a-a=,
所以tan∠CGE===.
【舉一反三】
(2024·榆林一模)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC的中點,AC=6,tan∠ABC=,則BD的長為(B)
A.8 B.6 C.4 D.3
【技法點撥】
銳角正切值的兩種計算方法
1.直接法:在直角三角形中,根據條件計算銳角的對邊與鄰邊的比值,計算正切值;
2.轉化法:利用等量關系、添加輔助線等方法將銳角“轉移”到一個直角三角形中,計算正切值.
重點2正切的應用——坡度(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P4隨堂練習T2強化)如圖所示,一河道準備建造一條長600米的防水堤壩,橫截面是梯形ABCD,壩頂寬6米,壩高8米,斜坡AB的坡度iAB=1∶3,斜坡CD的坡度iCD=1∶2.5.求斜坡AB和壩底AD的長度.
【解析】過點B作BG⊥AD于點G,過點C作CH⊥AD于點H,
由題意,得BC=GH=6,BG=CH=8,
因為iAB=1∶3,iCD=1∶2.5,
所以=,=,
即=,=,
所以AG=24,DH=20,
所以AB==8,AD=AG+GH+DH=50,
所以斜坡AB的長度是8米,壩底AD的長度是50米.
【舉一反三】
(2024·南昌一模)如圖,已知傳送帶AB與地面AC所成斜面坡度為i=1∶,如果它把物體送到離地面3米高的地方,那么物體所經過的路程為　3　米.
素養當堂測評　　 (10分鐘·15分)
1. (5分·模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,在坡度i=1∶3的斜坡上栽兩棵樹,它們之間的株距(相鄰兩棵樹間的水平距離)為9 m,則這兩棵樹之間的坡面距離為(C)
A.2 m　 B.9 m
C.3 m D.10 m
2.(5分·模型觀念、運算能力)如圖是一個自動扶梯的示意圖,則tan β= 　.
3.(5分·模型觀念、運算能力)將∠BAC放置在4×4的正方形網格中,頂點A,B,C都在格點上,則tan∠BAC的值為 　1　.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 一”1　銳角三角函數
第1課時
課時學習目標 素養目標達成
1.經歷探索刻畫梯子傾斜程度的過程,理解正切的概念,感受正切與現實生活的聯系. 模型觀念、運算能力
2.了解坡度、坡角等概念,并能用正切進行簡單的計算. 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.正切 1.(1)在△ABC中,∠C=90°,則tan A等于( ) A. B. C. D. (2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,則tan A的值為( ) A. B. C. D.
2.坡度和坡角 概念內容聯系坡度 (坡比)坡面的 與 的比,通常用字母i表示 坡度是坡角的正切,即i=tan α=h∶l 坡角坡面與水平面的夾角
2.(1)如圖,大壩某段橫截面迎水坡AB的坡度i=1∶2,若壩高BC=30 m,則壩底AC的長度為( ) A.30 m 　B.60 m C.30 m 　D.90 m (2)如果一斜坡的坡比是1∶2.4,那么該斜坡坡角的正切值是 .
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1計算銳角的正切值(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P3“定義”拓展)如圖1,在正方形ABCD中,點E在線段BC上,連接AE,將△ABE沿著AE折疊得到△AFE,延長EF交CD于點G.
(1)求證:DG=FG.
(2)如圖2,當點E是BC的中點時,求tan∠CGE的值.
【舉一反三】
(2024·榆林一模)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC的中點,AC=6,tan∠ABC=,則BD的長為( )
A.8 B.6 C.4 D.3
【技法點撥】
銳角正切值的兩種計算方法
1.直接法:在直角三角形中,根據條件計算銳角的對邊與鄰邊的比值,計算正切值;
2.轉化法:利用等量關系、添加輔助線等方法將銳角“轉移”到一個直角三角形中,計算正切值.
重點2正切的應用——坡度(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P4隨堂練習T2強化)如圖所示,一河道準備建造一條長600米的防水堤壩,橫截面是梯形ABCD,壩頂寬6米,壩高8米,斜坡AB的坡度iAB=1∶3,斜坡CD的坡度iCD=1∶2.5.求斜坡AB和壩底AD的長度.
【舉一反三】
(2024·南昌一模)如圖,已知傳送帶AB與地面AC所成斜面坡度為i=1∶,如果它把物體送到離地面3米高的地方,那么物體所經過的路程為 米.
素養當堂測評　　 (10分鐘·15分)
1. (5分·模型觀念、運算能力、應用意識)如圖,在坡度i=1∶3的斜坡上栽兩棵樹,它們之間的株距(相鄰兩棵樹間的水平距離)為9 m,則這兩棵樹之間的坡面距離為( )
A.2 m　 B.9 m
C.3 m D.10 m
2.(5分·模型觀念、運算能力)如圖是一個自動扶梯的示意圖,則tan β= .
3.(5分·模型觀念、運算能力)將∠BAC放置在4×4的正方形網格中,頂點A,B,C都在格點上,則tan∠BAC的值為 . 1　銳角三角函數
第2課時
課時學習目標 素養目標達成
1.理解正弦和余弦的意義,能夠運用sin A、cos A表示直角三角形兩邊的比. 模型觀念、運算能力
2.能根據直角三角形中的邊角關系,進行簡單的計算. 模型觀念、運算能力、應用意識
基礎主干落實　　九層之臺 起于累土
新知要點 對點小練
正弦與余弦的認識 函數正弦余弦條件在直角三角形中定義銳角的 與斜邊的比值 銳角的 與斜邊的比值 表示 ∠A的正弦.記作sin A,即sin A= ∠A的余弦.記作cos A,即cos A= 關系∠A的對邊=斜邊×sin A, 斜邊=∠A的對邊÷sin A∠A的鄰邊=斜邊×cos A, 斜邊=∠A的鄰邊÷cos A傾斜度sin A的值越 ,AB越陡 cos A的值越 ,AB越陡
1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,則cos A=( ) A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,則sin B的值等于( ) A. B. C. D. 3.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=8,則AB的值為( ) A.6 B.8 C.10 D.12
重點典例研析　　循道而行 方能致遠
重點1計算銳角三角函數(模型觀念、運算能力)
【典例1】(教材再開發·P6習題T1延伸)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為AC上的一點,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三角函數值.
【舉一反三】
(2024·眉山中考)如圖,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,點E在DC上,把△ADE沿AE折疊,點D恰好落在BC邊上的點F處,則cos∠CEF的值為( )
A. B. C. D.
重點2銳角三角函數的應用(模型觀念、運算能力、應用意識)
【典例2】(教材再開發·P5例2強化)已知:如圖,在△ABC中,AD是邊BC上的高,E為邊AC的中點,BC=21,AD=8,sin B=.
求:(1)線段DC的長;
(2)tan∠EDC的值.
【舉一反三】
1.(2024·西安期末)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=4,那么AB的長為( )
A.3 B.5 C. D.
2.如圖是一架人字梯,已知AB=AC,兩梯腳之間的距離BC=m米,AC與地面BC的夾角為α,則人字梯AC長為( )
A.米 B.msin α米　　 C.米 D.米
【技法點撥】
銳角三角函數的兩個應用
1.已知一個銳角的三角函數值,求直角三角形的邊長或兩條邊的比.
2.已知一個銳角的某一個三角函數值,求這個銳角的其他三角函數值.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1. (4分·模型觀念、運算能力)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,下列結論中,正確的是( )
A.sin B= B.cos C=
C.sin C= D.tan C=
2.(4分·模型觀念、運算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3BC,則cos B= .
3.(4分·模型觀念、運算能力)在Rt△ABC中,∠C=90°,cos B=,如果AB=14,那么AC= .
4.(8分·模型觀念、運算能力)如圖,在△ABC中,AB=10,BC=4,sin B=,求AC的長.

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