資源簡介

5　三角函數的應用　
6　利用三角函數測高
課時學習目標 素養目標達成
1.經歷應用三角函數解決實際問題的過程,進一步體會三角函數在解決問題過程中的作用. 模型觀念、應用意識
2.能夠把實際問題轉化為數學問題,能夠借助計算器進行有關三角函數的計算. 模型觀念、應用意識、幾何直觀
3.會利用直角三角形的邊角關系測物體的高度. 模型觀念、應用意識、運算能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.方向角:指南或指北方向線與目標方向線所成的小于90°的角. 2.利用三角函數測高 類型關系結論測量傾斜角∠3=∠　1　 可測得∠3底部可以到達的物體的高度 MN=AC+AN·　tan ∠MCE　 由AN,AC, ∠MCE, 可得出MN底部不可以到達的物體的高度 MN=+AC由∠MCE, ∠MDE, AC,AB, 可得出MN
1.如圖,小明和小華同時從P處分別向北偏東60°和南偏東30°方向出發,他們的速度分別是3 m/s和4 m/s,則20 s后他們之間的距離為(D) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.70 m B.80 m C.90 m D.100 m 2.如圖要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離,點P位于點A正北方向,點C位于點A的西北方向,若測得PC=50米,則小河寬PA為　50　米.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1與方向角有關的問題(模型觀念、運算能力、應用意識、幾何直觀)
【典例1】(教材溯源·P21習題T4·2024瀘州中考)如圖,海中有一個小島C,某漁船在海中的A點測得小島C位于東北方向上,該漁船由西向東航行一段時間后到達B點,測得小島C位于北偏西30°方向上,再沿北偏東60°方向繼續航行一段時間后到達D點,這時測得小島C位于北偏西60°方向上.已知A,C相距30 n mile.求C,D間的距離(計算過程中的數據不取近似值).
【解析】過C作CH⊥AB于點H,
∵∠CAB=45°,AC=30 n mile,
∴AH=CH=15 n mile,
∵∠CBH=60°,
∴BC===10(n mile),
過D作DG⊥AB于點G,
∴∠DBG=90°-60°=30°,
∴∠BDG=60°,
∴∠CDB=60°,
∴CD===20(n mile),
答:C,D間的距離為20 n mile.
【舉一反三】
(2023·眉山中考)一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向,漁船向正東方向航行12海里到達點B處,測得燈塔C在它的北偏東45°方向,若漁船繼續向正東方向航行,則漁船與燈塔C的最短距離是　(6+6)　海里.
【技法點撥】
運用三角函數解決實際問題的三個步驟
重點2測量物體的高度(模型觀念、運算能力、應用意識、幾何直觀)
【典例2】(教材再開發·P23補充例題)安陽紅旗渠機場于2023年11月29日正式通航,很多市民共同見證了這一歷史時刻.如圖,市民甲在C處看見飛機A的仰角為45°,同時另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機A的仰角為30°,若斜坡CF的坡比為1∶3,鉛垂高度DG=30 米(點E,G,C,B在同一水平線上).求飛機距離地面的高度.(結果保留根號)
【解析】過點D作DH⊥AB于點H,如圖,
∵斜坡CF的坡比為1∶3,鉛垂高度DG=30 米,
∴=,
∴CG=90 米,
∵DG⊥BG,AB⊥BG,
∴四邊形BHDG是矩形,
∴BH=DG=30 米,DH=BG,
∵∠ABC=90°,∠ACB=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC,
設AB=BC=x 米,則AH=AB-BH=(x-30)米,DH=BG=CG+BC=(90+x)米,
在Rt△ADH中,tan∠ADH==,
∴=,
解得x=60+90,
∴AB=米,
答:飛機距離地面的高度為米.
【舉一反三】
(2024·山西中考)研學實踐:為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”,學校組織研學活動.同學們來到毛主席東渡黃河紀念碑所在地,在了解相關歷史背景后,利用航模搭載的3D掃描儀采集紀念碑的相關數據.
數據采集:如圖,點A是紀念碑頂部一點,AB的長表示點A到水平地面的距離.航模從紀念碑前水平地面的點M處豎直上升,飛行至距離地面20米的點C處時,測得點A的仰角∠ACD=18.4°;然后沿CN方向繼續飛行,飛行方向與水平線的夾角∠NCD=37°,當到達點A正上方的點E處時,測得AE=9米;……
數據應用:已知圖中各點均在同一豎直平面內,E,A,B三點在同一直線上.請根據上述數據,計算紀念碑頂部點A到地面的距離AB的長.(結果精確到1米.參考數據:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 18.4°≈0.32,cos 18.4°≈0.95,tan 18.4°≈0.33)
【解析】延長CD交AB于點H,
由題意得,四邊形CMBH為矩形,
∴CM=HB=20米,
在Rt△ACH中,∠AHC=90°,∠ACH=18.4°,
∴tan∠ACH=,
∴CH==≈,
在Rt△ECH中,∠EHC=90°,∠ECH=37°,
∴tan∠ECH=,
∴CH==≈,
設AH=x米.
∵AE=9米,
∴EH=(x+9)米,
∴=,
解得x≈7.1,
∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27(米)
答:點A到地面的距離AB的長約為27米.
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·應用意識)如圖,一艘輪船航行至O點時,測得某燈塔A位于它的北偏東40°方向,且它與燈塔A相距13 海里,繼續沿正東方向航行,航行至點B處時,測得燈塔A恰好在它的正北方向,則AB的距離可表示為(A)
A.13cos 40° 海里 B.13sin 40° 海里
C. 海里 D. 海里
2.(3分·應用意識、運算能力)如圖,某貨船以24 海里/時的速度從A處向正東方向的D處航行,在點A處測得某島C在北偏東60°的方向.該貨船航行30 分鐘后到達B處,此時測得該島在北偏東30°的方向上.則貨船在航行中離小島C的最短距離是(B)
A.12 海里 B.6 海里
C.12 海里 D.24 海里
3.(3分·模型觀念、運算能力)如圖,某同學用一個有60°角的直角三角板估測學校旗桿AB的高度.他將與60°角相鄰的直角邊水平放在1.5 m高的支架CD上,三角板的斜邊與旗桿的頂點在同一直線上,他又量得DB的距離為5 m,則旗桿AB的高度約為　10　m.(結果精確到1 m,取1.73)
4.(3分·應用意識、運算能力、幾何直觀)如圖,建筑物AB和CD的水平距離為30 m,從A點測得D點的俯角為30°,測得C點的俯角為60°,則建筑物CD的高為　20　 m.
5.(8分·模型觀念、應用意識、運算能力)如圖,為了測量河對岸A,B兩點間的距離,數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C,測得A,B均在C的北偏東37°方向上,沿正東方向行走100 米至觀測點D,測得A在D 的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B兩點間的距離(精確度到1 米).(參考數據:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60, tan 53°≈1.33)
【解析】根據題意得A,B,C三點共線,
∵CE∥AD,∴∠A=∠ECA=37°,
∴∠CBD=∠A+∠ADB=37°+53°=90°,
∴∠ABD=90°,在Rt△BCD中,∠BDC=90°-53°=37°,CD=100 米,cos∠BDC=,
∴BD=CD·cos 37°≈100×0.80=80(米),
在Rt△ABD中,∠A=37°,BD=80 米,tan A=,∴AB=≈≈107(米).
答:A,B兩點間的距離約為107 米.
訓練升級,請使用　“課時過程性評價 六”5　三角函數的應用　
6　利用三角函數測高
課時學習目標 素養目標達成
1.經歷應用三角函數解決實際問題的過程,進一步體會三角函數在解決問題過程中的作用. 模型觀念、應用意識
2.能夠把實際問題轉化為數學問題,能夠借助計算器進行有關三角函數的計算. 模型觀念、應用意識、幾何直觀
3.會利用直角三角形的邊角關系測物體的高度. 模型觀念、應用意識、運算能力
基礎主干落實　　夯基筑本 積厚成勢
新知要點 對點小練
1.方向角:指南或指北方向線與目標方向線所成的小于90°的角. 2.利用三角函數測高 類型關系結論測量傾斜角∠3=∠ 可測得∠3底部可以到達的物體的高度 MN=AC+AN· 由AN,AC, ∠MCE, 可得出MN底部不可以到達的物體的高度 MN=+AC由∠MCE, ∠MDE, AC,AB, 可得出MN
1.如圖,小明和小華同時從P處分別向北偏東60°和南偏東30°方向出發,他們的速度分別是3 m/s和4 m/s,則20 s后他們之間的距離為( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.70 m B.80 m C.90 m D.100 m 2.如圖要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離,點P位于點A正北方向,點C位于點A的西北方向,若測得PC=50米,則小河寬PA為 米.
重點典例研析　　縱橫捭闔 揮斥方遒
重點1與方向角有關的問題(模型觀念、運算能力、應用意識、幾何直觀)
【典例1】(教材溯源·P21習題T4·2024瀘州中考)如圖,海中有一個小島C,某漁船在海中的A點測得小島C位于東北方向上,該漁船由西向東航行一段時間后到達B點,測得小島C位于北偏西30°方向上,再沿北偏東60°方向繼續航行一段時間后到達D點,這時測得小島C位于北偏西60°方向上.已知A,C相距30 n mile.求C,D間的距離(計算過程中的數據不取近似值).
【舉一反三】
(2023·眉山中考)一漁船在海上A處測得燈塔C在它的北偏東60°方向,漁船向正東方向航行12海里到達點B處,測得燈塔C在它的北偏東45°方向,若漁船繼續向正東方向航行,則漁船與燈塔C的最短距離是 海里.
【技法點撥】
運用三角函數解決實際問題的三個步驟
重點2測量物體的高度(模型觀念、運算能力、應用意識、幾何直觀)
【典例2】(教材再開發·P23補充例題)安陽紅旗渠機場于2023年11月29日正式通航,很多市民共同見證了這一歷史時刻.如圖,市民甲在C處看見飛機A的仰角為45°,同時另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機A的仰角為30°,若斜坡CF的坡比為1∶3,鉛垂高度DG=30 米(點E,G,C,B在同一水平線上).求飛機距離地面的高度.(結果保留根號)
【舉一反三】
(2024·山西中考)研學實踐:為重溫解放軍東渡黃河“紅色記憶”,學校組織研學活動.同學們來到毛主席東渡黃河紀念碑所在地,在了解相關歷史背景后,利用航模搭載的3D掃描儀采集紀念碑的相關數據.
數據采集:如圖,點A是紀念碑頂部一點,AB的長表示點A到水平地面的距離.航模從紀念碑前水平地面的點M處豎直上升,飛行至距離地面20米的點C處時,測得點A的仰角∠ACD=18.4°;然后沿CN方向繼續飛行,飛行方向與水平線的夾角∠NCD=37°,當到達點A正上方的點E處時,測得AE=9米;……
數據應用:已知圖中各點均在同一豎直平面內,E,A,B三點在同一直線上.請根據上述數據,計算紀念碑頂部點A到地面的距離AB的長.(結果精確到1米.參考數據:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 18.4°≈0.32,cos 18.4°≈0.95,tan 18.4°≈0.33)
素養當堂測評　　(10分鐘·20分)
1.(3分·應用意識)如圖,一艘輪船航行至O點時,測得某燈塔A位于它的北偏東40°方向,且它與燈塔A相距13 海里,繼續沿正東方向航行,航行至點B處時,測得燈塔A恰好在它的正北方向,則AB的距離可表示為( )
A.13cos 40° 海里 B.13sin 40° 海里
C. 海里 D. 海里
2.(3分·應用意識、運算能力)如圖,某貨船以24 海里/時的速度從A處向正東方向的D處航行,在點A處測得某島C在北偏東60°的方向.該貨船航行30 分鐘后到達B處,此時測得該島在北偏東30°的方向上.則貨船在航行中離小島C的最短距離是( )
A.12 海里 B.6 海里
C.12 海里 D.24 海里
3.(3分·模型觀念、運算能力)如圖,某同學用一個有60°角的直角三角板估測學校旗桿AB的高度.他將與60°角相鄰的直角邊水平放在1.5 m高的支架CD上,三角板的斜邊與旗桿的頂點在同一直線上,他又量得DB的距離為5 m,則旗桿AB的高度約為 m.(結果精確到1 m,取1.73)
4.(3分·應用意識、運算能力、幾何直觀)如圖,建筑物AB和CD的水平距離為30 m,從A點測得D點的俯角為30°,測得C點的俯角為60°,則建筑物CD的高為 m.
5.(8分·模型觀念、應用意識、運算能力)如圖,為了測量河對岸A,B兩點間的距離,數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C,測得A,B均在C的北偏東37°方向上,沿正東方向行走100 米至觀測點D,測得A在D 的正北方向,B在D的北偏西53°方向上.求A,B兩點間的距離(精確度到1 米).(參考數據:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60, tan 53°≈1.33)

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