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第十四章 整式的乘法與因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解并掌握完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點、 幾何解釋.
2.靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計算.
重點：掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點.
難點：靈活應(yīng)用完全平方公式進(jìn)行計算.
一、知識鏈接
1．填空：
(1)4＋(5＋2)＝___________；(2)4－(5＋2)＝___________；
(3)a＋(b＋c)＝___________； (4)a－(b－c)＝___________．
2．去括號法則：去括號時，如果括號前是正號，去掉括號后，括號里的各項都________；如果括號前是________，去掉括號后，括號里的各項都________．21cnjy.com
3.計算：
(1)(x＋1)2＝___________；21世紀(jì)教育網(wǎng)(2)(x－1)2＝___________；
(3)(m＋n)2＝___________；(4)(m－n)2＝___________．
二、新知預(yù)習(xí)
問題1 計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)=___________；（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)=___________；
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)=___________；（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)=___________．2
問題2 根據(jù)上面的規(guī)律，你能直接寫出下列式子的答案嗎？
（a+b)2= ___________ ； （a-b)2=___________.
要點歸納：（乘法的）完全平方公式：(a＋b)2＝( )2＋_____＋(_____)2，(a－b)2＝(_____)2－_____＋(_____)2.即兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的_______，加上（或減去）它們的積的________.
填一填：a＋b＋c＝a＋(________)；(2)a－b＋c＝a－(________)．
要點歸納：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都________；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都________．21世紀(jì)教育網(wǎng)www.21-cn-jy.com
三、自學(xué)自測
1.運用乘法公式計算（x+3）2的結(jié)果是（　　）
A．x2+9 B．x2-6x+9 C．x2+6x+9 D．x2+3x+9
2.在等號右邊的括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻棧?br/>（1）a+b-c=a+（ ）；（2）a-b+c=a-（ ）；
（3）a-b-c=a-（ ）；（4）a+b+c=a-（ ）.
3.計算：(1)(x＋6)2； (2)(－a+b)2.
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
要點探究
探究點1：完全平方公式
問題1：觀察下面兩個圖形，你能用不同的方式表示圖1的面積及圖2中Ⅲ的面積嗎？
用兩種方法求圖1的面積：
S1＝(_________)2，S1＝(_________)2＋_________＋(_________)2.
用兩種方法求圖2中Ⅲ的面積：
SⅢ＝(_________)2，SⅢ＝(_________)2－_________＋(_________)2.
問題2：觀察下列完全平方公式，回答下列問題：
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
說一說積的次數(shù)和項數(shù).
2.兩個完全平方式的積有相同的項嗎？與a,b有什么關(guān)系？
3.兩個完全平方式的積中不同的是哪一項？與 a,b有什么關(guān)系？它的符號與什么有關(guān)？
要點歸納：1.公式左邊都是二項式的平方，右邊是一個二次三項式；2.公式右邊第一、三項分別是左邊第一、第二項的平方．3.另一項是左邊兩項積的_____倍.4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項式和多項式.
典例精析
例1：利用完全平方公式計算：
(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
方法總結(jié):直接運用完全平方公式進(jìn)行計算，關(guān)鍵是掌握完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．
例2：利用乘法公式計算：
(1)982－101×99；
(2)20162－2016×4030＋20152.
方法總結(jié):運用乘法公式進(jìn)行簡便運算，要熟記乘法公式即平方差公式和完全平方公式的特征，將原式轉(zhuǎn)化為能利用乘法公式運算的形式后，再進(jìn)行計算．
例3： 已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
方法總結(jié):本題要熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,
(x－y)2＝(x+y)2－4xy.
探究點2：添括號法則
例4：計算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
方法總結(jié):第1小題要把其中兩項看成一個整體，再按照完全平方公式進(jìn)行計算.第2小題選用平方差公式進(jìn)行計算，需要分組.分組方法是“符號相同的為一組，符號相反的為另一組”.
針對訓(xùn)練
1.下列運算中，正確的運算有( )
①(x＋2y)2＝x2＋4y2；②(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2；③(x＋y)2＝x2－2xy＋y2；④(x－)2＝x2－x＋.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
2.3ab－4bc＋1＝3ab－(　　)，括號中所填入的整式應(yīng)是( )
A．－4bc＋1 B．4bc＋1 C．4bc－1 D．－4bc－1
3.填空：
(1)(a＋b)2＝____________；(2)(a－b)2＝____________；
(3)(5＋3p)2＝____________；(4)(2x－7y)2＝____________．
4.若a+b=3，ab=2，則（a-b）2=___________.
5.運用乘法公式計算：
（1）2012； （2）(2a＋3b－1)(1＋2a＋3b)．
二、課堂小結(jié)
完全平方公式 公式 結(jié)構(gòu)特征 常用變形
(a+b)2=_________;(a-b)2=_________. (1)公式左邊都是____式的____，右邊是一個____次____項式；(2)公式右邊第一、三項分別是左邊____的____，中間一項是左邊兩項____的____倍． a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
1.運用乘法公式計算(a-2)2的結(jié)果是（　　）
A．a(chǎn)2-4a+4 B．a(chǎn)2-2a+4 C．a(chǎn)2-4 D．a(chǎn)2-4a-4
2.下列計算結(jié)果為2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
3.運用完全平方公式計算:
(1) (6a+5b)2=_______________；(2) (4x-3y)2=_______________ ；
(3) (2m-1)2 =_______________；(4)(-2m-1)2 =_______________.
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，運用這一方法計算：
4.321 2＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
5.計算
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
7.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
自主學(xué)習(xí)
課堂探究
當(dāng)堂檢測

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