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專題10 三角恒等變換與圖象變換題型歸納
一、三角恒等變換公式
1：兩角和與差的正余弦與正切
C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β) tan(α－β)＝； 變形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝； 變形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
2：二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin α cos α； 變形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 變形：cos2α＝，sin2α＝
T2α tan 2α＝
sin 2α==；cos 2α==．
3：降次（冪）公式
4：輔助角公式
（其中）．
二、三角函數小圖象與性質
函數 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對稱中心 (kπ，0)
對稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ， 無
1：已知單調區間求參數范圍的3種方法
（1）子集法：求出原函數的相應單調區間，由已知區間是所求某區間的子集，列不等式(組)求解；
（2）反子集法：由所給區間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應正、余弦函數的某個單調區間的子集，
列不等式(組)求解；
周期性法：由所給區間的兩個端點到其相應對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解。
2：三角函數的圖象：A、φ、ω的含義
（1）A決定了函數的值域以及函數的最大值和最小值，通常稱A為振幅．
（2）φ決定了x=0時的函數值，通常稱φ為初相，ωx＋φ為相位．
（3）ω決定了函數的周期．
3：三角函數圖象的變換
（1）振幅變換：要得到函數y＝Asinx（A＞0，A≠1）的圖象，只要將函數y＝sinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（當A＞1時）或縮短（當0＜A＜1時）到原來的A倍（橫坐標不變）即可得到．
（2）平移變換：要得到函數y＝sin（x＋φ）的圖象，只要將函數y＝sinx的圖象上所有點向左（當φ＞0時）或向右（當φ＜0時）平行移動|φ|個單位長度即可得到．
（3）周期變換：要得到函數y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的圖象，可以把函數y＝sinx上所有點的橫坐標縮短（當時）或伸長（當0＜ω＜1時）到原來的倍（縱坐標不變）即可得到．
題型1 兩角和與差的公式應用
1．（ ）
A． B． C． D．
2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，則=（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，則（ ）
A．7 B．－7 C． D．
8．（ ）
A． B． C．1 D．
9．的值為（ ）
A． B． C． D．
10．（，），則（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
題型2 二倍角公式及其應用
11．已知，則（ ）
A． B． C． D．
12．已知角為第二象限角，，則（ ）
A． B． C． D．
13．已知，則（ ）
A． B． C． D．
14．已知，且，則（ ）
A． B． C． D．1
15．若，則（ ）
A． B． C． D．
16．若，則（ ）
A． B． C． D．
17．已知，則（ ）
A． B． C．2 D．4
18．化簡：（ ）
A． B． C． D．
題型3 給值求值與給值求角
19．若 則（ ）
A． B． C． D．
20．已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
21．已知則 的值是（ ）
A． B． C． D．
22．若，，并且，均為銳角，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
23．設，，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
24．若為銳角，，則角__________.
25．若，，，，則 ．
26．已知，且，則 .
27．若，，，，則 .
28．已知，，，，則的值為 .
題型4 輔助角公式
29．（多選題）已知函數，則下列結論中錯誤的是　　
A．函數的最小正周期為 B．時取得最小值
C．關于對稱 D．時取得最大值
30．函數 在區間 上的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
31．函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
32．（多選題）已知在區間上單調遞增，則的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
題型5 由圖象求三角函數的解析式
33．已知函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
34．函數（其中）的部分圖象如圖所示，為了得到函數的圖象，則只需將的圖象（ ）

A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
35．如圖，直線與函數的圖象的三個相鄰的交點為A，B，C，且，，則（ ）

A． B．
C． D．
36．為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
37．（多選題）已知函數，，則（ ）
A．將函數的圖象右移個單位可得到函數的圖象
B．將函數的圖象右移個單位可得到函數的圖象
C．函數與的圖象關于直線對稱
D．函數與的圖象關于點對稱
38．已知函數，將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變，再將圖象向上平移個單位長度后得到函數的圖象，且函數的最大值為6，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
題型6 三角函數綜合應用
39．如圖,在平面直角坐標系中,銳角和鈍角的頂點與原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊分別與單位圓交于A,B兩點,且.
（1）求的值;（2）若點A的橫坐標為,求的值.
40．已知函數：
(1)函數的值域為；(2)若函數在區間上是減函數，求a的最大值？
41．已知函數.
(1)求的最小正周期； (2)求的對稱中心的坐標；
(3)求函數在的區間上的最大值和最小值
42．已知函數(，，)的部分圖象如圖所示.
(1)求的解析式；(2)若，求的值.
43．已知函數在區間上的最大值6．
(1)求b的值; (2)求在的對稱軸方程; (3)求在的單調遞增區間．
44．已知函數（其中，）的最小正周期是，點是函數圖象的一個對稱中心.
（1）求的解析式； （2）求的單調區間； （3）求函數在區間上的取值范圍.
45．已知函數.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數的圖象，若，且，求的值.
專題10 三角恒等變換與圖象變換題型歸納參考答案
題型1 兩角和與差的公式應用
1．（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：
．故選：A．
2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
答案：D
解析：sin40°cos10°+cos140°sin10°=sin40°cos10°-cos40°sin10°=sin（40°-10°）=sin30°＝.
故選：D
3．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：因為，，，所以.
則.故選：B.
4．已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：因為，，所以，又，，所以，所以.故選：B
5．已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：，，平方相加可得，
求得，即．故選：C．
6．已知，若，則=（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：，，，
，故選：D.
7．已知，，則（ ）
A．7 B．－7 C． D．
答案：B.
解析：因為，，所以，，
則.故選：B.
8．（ ）
A． B． C．1 D．
答案：A
解析：，，
，
，
.
9．的值為（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析:
,故選：A.
10．（，），則（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案：D.
解析：因為，所以.所以.
所以.故選：D.
題型2 二倍角公式及其應用
11．已知，則（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：因為，
故，故選：A
12．已知角為第二象限角，，則（ ）
A． B． C． D．
答案：D.
解析：因為角為第二象限角且，所以，
.故選：D.
13．已知，則（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：，
所以，
得.故選：C.
14．已知，且，則（ ）
A． B． C． D．1
答案：B
解析：，,，
又，則，即所以，
因為，所以，.
由平方可得，即，符合題意.綜上，.故選：B.
15．若，則（ ）
A． B． C． D．
答案：A.
解析：因為，所以，即，
所以，即，所以，故選：A．
16．若，則（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：由.故選：D
17．已知，則（ ）
A． B． C．2 D．4
答案：B.
解析：因為，所以，故選：B.
18．化簡：（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：根據題意可知，利用誘導公式可得
再由二倍角的正弦和余弦公式可得，
即.故選：C
題型3 給值求值與給值求角
19．若 則（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：法一：因為，所以，
即，
即，即，即.
法二：.故選：D.
20．已知，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：由和差化積公式，得，，
兩式相除，所以.所以.故選：B．
21．已知則 的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：因為
所以，，故選：B
22．若，，并且，均為銳角，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
答案：C.
解析：，均為銳角，且，則為銳角，由，得，
，則為銳角，，則.故選：C.
23．設，，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：，因為，，且，
又，得.因為，則，
又，所以，
，.故選：A.
24．若為銳角，，則角__________.
答案：
解析：由于為銳角，所以，
所以，
所以，
所以.故答案為：
25．若，，，，則 ．
答案：
解析：因為，，且，
所以，又因為，則，
所以
，又因為，所以，故答案為：.
26．已知，且，則 .
答案：
解析：因為，，
所以，，
所以，
因為，所以，所以，故答案為：.
27．若，，，，則 .
答案：
解析：由，，則，，
所以或，，，則，
當時，，則，
當時，，則，
又，.故.故答案為：
28．已知，，，，則的值為 .
答案：
解析：且，所以，，因為，所以，，
由二倍角的正切公式可得，
所以，，
因此，.故答案為：.
題型4 輔助角公式
29．（多選題）已知函數，則下列結論中錯誤的是　　
A．函數的最小正周期為 B．時取得最小值
C．關于對稱 D．時取得最大值
答案：ABC.
解析：易知，故，故錯誤；
，故錯誤，且也不是原函數的對稱軸，故錯誤；
，取得了最大值，故正確．故選：ABC．
30．函數 在區間 上的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．2
答案：C
解析：，，
根據正弦函數的性質，，所以最小值為1，故選：C.
31．函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：由題意可得：
，
因為，所以，
當，即時，單調遞增.故選：D.
32．（多選）已知在區間上單調遞增，則的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
答案：AC
解析：，當，由，則，
則有，，解得，，
即，，有，，即，即或，
當時，有，時，有，故的取值可能在或.故選：AC.
題型5 由圖象求三角函數的解析式
33．已知函數的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：根據圖象可得，，解得，所以，即，
將點代入的解析式，得，
則，解得，，又，，所以.故選：D.
34．函數（其中）的部分圖象如圖所示，為了得到函數的圖象，則只需將的圖象（ ）

A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
答案：B
解析：由圖象知，，則，又，所以，
當時，，解得，由，得，
所以.
要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位即可.故選：B
35．如圖，直線與函數的圖象的三個相鄰的交點為A，B，C，且，，則（ ）

A． B．
C． D．
答案：A
解析：因為，，所以相鄰兩對稱軸間的距離，即周期，
所以，排除BD，
當時，代入，可得，滿足題意，
代入，可得，不符合題意，故A正確C錯誤.故選：A
36．為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
答案：B
解析：因為，
則向左平移個單位后得，故選：B.
37．（多選）已知函數，，則（ ）
A．將函數的圖象右移個單位可得到函數的圖象
B．將函數的圖象右移個單位可得到函數的圖象
C．函數與的圖象關于直線對稱
D．函數與的圖象關于點對稱
答案：ACD
解析：因為，
將函數的圖象右移個單位可得到，
將函數的圖象右移個單位可得到，故A正確，B錯誤；
由A選項可知，，
所以函數與的圖象關于直線對稱，故C正確；
若函數與的圖象關于點對稱，則在上取點關于的對稱點必在上，所以，所以，故D正確.故選：ACD.
38．已知函數，將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變，再將圖象向上平移個單位長度后得到函數的圖象，且函數的最大值為6，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
解析：，
將其圖象上所有點橫坐標縮短到原來的，縱坐標保持不變，得到，
再將圖象向上平移個單位長度后得到函數的圖象，
因為的最大值為6，所以，解得，故.故選：A．
題型6 三角函數綜合應用
39．如圖,在平面直角坐標系中,銳角和鈍角的頂點與原點重合,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊分別與單位圓交于A,B兩點,且.
（1）求的值;（2）若點A的橫坐標為,求的值.
答案：（1）; （2）.
解析：（1）依題意,,
所以.
（2）因點A的橫坐標為,而點A在第一象限,則點,即有,,
于是得,,
,,
所以.
40．已知函數：
(1)函數的值域為；(2)若函數在區間上是減函數，求a的最大值？
答案：（1）; （2）.
解析：（1）因為.函數的值域為；
（2）由題意且函數在上為減函數，
當時，，且，
所以，，則，解得，故a的最大值為。
41．已知函數.
(1)求的最小正周期；
(2)求的對稱中心的坐標；
(3)求函數在的區間上的最大值和最小值
答案：(1)最小正周期(2)對稱中心的坐標為，
(3)最大值為2，最小值為-1.
解析：(1)，
則的最小正周期，
(2)由，，得，，
即的對稱中心的坐標為，.
(3)當時，，
則當時，函數取得最大值，最大值為，
當時，函數取得最小值，最小值為.
42．已知函數(，，)的部分圖象如圖所示.
(1)求的解析式；
(2)若，求的值.
答案：(1) (2)
解析：(1)由題意可得，，則.
因為，且，所以，則.
因為，所以，
所以，解得，
因為，所以.
故.
(2)由(1)可得，則.
故
43．已知函數在區間上的最大值6．
(1)求b的值; (2)求在的對稱軸方程; (3)求在的單調遞增區間．
答案：（1） （2）, （3）,
解析：（1）,
因為,所以,所以當時,函數取到最大值,即,解得;
（2）函數的對稱軸方程滿足,,解得,;
（3）函數的單調遞增區間滿足,,解得,,
所以函數的單調遞增區間為,．
44．已知函數（其中，）的最小正周期是，點是函數圖象的一個對稱中心.
（1）求的解析式； （2）求的單調區間； （3）求函數在區間上的取值范圍.
答案：（1）（2）增區間是，，無減區間（3）
解析：（1）由于的最小正周期為，
所以，即，所以，由于點是函數圖象的一個對稱中心，
所以，，則，.由于，所以，所以.
（2）由，，解得，，
所以的增區間是，，無減區間.
（3）因為，所以，
所以函數在區間上的取值范圍為.
45．已知函數.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位，得到函數的圖象，若，且，求的值.
答案：(1)； (2)
解析：（1）
.
由，
解得
即時，函數單調遞減，
所以函數的單調遞減區間為；
（2）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），
則得到函數的圖象，再向右平移個單位，得到函數的圖象，
所以.
若，則，.
由，得，又，
所以，則，
故
.
故的值為.

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