資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
5.4.2 圓周角定理的推論3（學(xué)案帶答案）
列清單·劃重點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)1 圓周角定理的推論3
直徑所對(duì)的圓周角是__________；90°的圓周角所對(duì)的弦是________.
符號(hào)語言：
①∵AB 是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°.
②∵∠ACB=90°,∴AB 是⊙O的直徑.
知識(shí)點(diǎn)2 在解答與圓的直徑有關(guān)的問題時(shí)，常添加的輔助線
如圖所示，在解答與圓的直徑有關(guān)的問題時(shí)，常常利用直徑所對(duì)的圓周角是直角這一性質(zhì).有時(shí)還需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，以便轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題去研究.
明考點(diǎn)·識(shí)方法
考點(diǎn)1 與圓周角定理的推論3有關(guān)的計(jì)算題
典例 1 AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C 為半 圓上 一點(diǎn)，且∠CAB=50°.①以點(diǎn) B為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交AB，BC 于D,E;②分別以D,E為圓心,大于 為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn) P；③作射線 BP.則∠ABP= ( )
A. 40° B. 25° C. 20° D. 15°
思路導(dǎo)析 根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是 90°得出∠ACB的度數(shù),再由∠CAB=50°得出∠ABC 的度數(shù)，最后根據(jù)所畫射線為∠ABC 的角平分線即可解決問題.
變式1 如圖所示，小華同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)圓直徑的測(cè)量器，標(biāo)有刻度的尺子OA，OB 在O點(diǎn)釘在一起，并使它們保持垂直.在測(cè)直徑時(shí)，把O 點(diǎn)靠在圓周上，讀得刻度 8個(gè)單位，OF=6個(gè)單位，則圓的直徑為 ( )
A.12個(gè)單位 B.10個(gè)單位 C.4個(gè)單位 D.15個(gè)單位
變式 1圖 變式2圖
變式2 如圖所示,AD是⊙O的直徑,弦BC交AD 于點(diǎn) E,連接 AB,AC,若∠BAD=30°,則∠ACB 的度數(shù)是 ( )
A. 50° B. 40° C. 70° D. 60°
考點(diǎn)2 與圓周角定理的推論3有關(guān)的證明題
典例 2 如圖所示，AB 為⊙O 的直徑,AB=AC,BC交⊙O 于點(diǎn) D,AC 交⊙O于點(diǎn)E, ∠BAC=45°.
(1)求∠EBC的度數(shù);
(2)求證:BD=CD.
思路導(dǎo)析 (1)利用圓周角定理的推論3，根據(jù)以及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；(2)由AB是⊙O的直徑，連接AD，構(gòu)造圓周角∠ADB是直角，進(jìn)而利用等腰三角形的性質(zhì)證明即可.
規(guī)律總結(jié)
在解決圓的有關(guān)問題時(shí)，遇到圓的直徑常常要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，以便利用直徑所對(duì)的圓周角是直角這一性質(zhì).
變式 如圖,以 的邊AC 為直徑作⊙O,交 BC邊于點(diǎn) D,過點(diǎn) C 作CE∥AB 交⊙O于點(diǎn) E,連接 AD,DE,∠B=∠ADE.
(1)求證:AC=BC;
(2)若tanB=2,CD=3,求AB 和DE 的長.
當(dāng)堂測(cè)·夯基礎(chǔ)
1.如圖,AB 是⊙O 的直徑,弦CD⊥AB 交 AB于點(diǎn) E,點(diǎn) F是劣弧AD上一點(diǎn),射線 AF 交 CD的延長線于點(diǎn) P,若OE=BE,且∠P=α,則∠FCP= ( )
2.如圖,將一個(gè)含30°角的直角三角板的斜邊和量角器的直徑所在的邊重合放置，點(diǎn)D 所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為 連接DC交AB 于點(diǎn)E,則∠AEC的度數(shù)為 ( )
A.110°
3.如圖,AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D為圓上兩點(diǎn)，且若則 ∠ABC= ( )
A. 60° B. 65° C. 50° D. 55°
第3題圖 第4題圖
4.如圖,AB 是⊙O的直徑,點(diǎn) D,M分別是弦 AC,弧AC的中點(diǎn), 12,BC=5,則 MD的長是__________.
5.如圖,在銳角中，AC是最短邊.以AC 為直徑的⊙O,交 BC 于 D,過O作 ∥交⊙O于E,連接AD,AE,CE.
(1)求證:
(2)若 求 的度數(shù)；
(3)若 求 CF的長.
參考答案
【列清單·劃重點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn)1 直角 直徑
【明考點(diǎn)·識(shí)方法】
典例1 C 解析：∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB=90°,
又∵∠CAB=50°,∴∠ABC=40°.
根據(jù)作圖步驟可知，BP 平分∠ABC，
變式1 B 變式2 D
典例2 解:(1)∵AB是⊙O的直徑,∴∠AEB=∠BEC=90°.
∵AB=AC,∠BAC=45°,
∴∠EBC=90°-67.5°=22.5°;
(2)證明：如圖所示，連接AD.
∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
又∵AB=AC,∴BD=CD.
變式 解:(1)證明:∵∠ADE=∠ACE,∠ADE=∠B,∴∠B=∠ACE,
∵CE∥AB,∴∠BAC=∠ACE,∴∠B=∠BAC,∴AC=BC;
(2)如圖,連接AE,
∵∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC,
∵AC為⊙O的直徑,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴AD=2BD,
∵CD=3,∴AC=BC=BD+CD=BD+3,
解得 BD=2或BD=0(舍去),
【當(dāng)堂測(cè)·夯基礎(chǔ)】
1. C 2. C 3. B 4. 4
5.解:(1)證明:∵OC=OE,∴∠OEC=∠OCE,
∵OE∥BC,∴∠OEC=∠ECD,
∴∠OCE=∠ECD,即∠ACE=∠DCE;
(2)延長AE交 BC 于點(diǎn)G,
∵∠AGC 是△ABG的外角,∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°,
∵OE∥BC,∴∠AEO=∠AGC=60°,∵OA=OE,∴∠EAO=∠AEO=60°;
(3)∵O是AC 中點(diǎn),
∵AC是直徑,∴∠AEC=∠FDC=90°,
∵∠ACE=∠FCD,∴△CDF∽△CEA,
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑