資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
5.1 圓（學案，帶答案）
列清單·劃重點
知識點1 圓的定義
1.描述性定義：在平面內，線段OA 繞它固定的端點O 旋轉一周，另一個端點 A 所描出的封閉曲線是_________，其中點 O是________,線段OA 是_______.
2.集合性定義：平面內到定點的距離等于__________的所有點組成的圖形叫做圓.定點稱為__________，定長稱為___________.以點O為圓心的圓記作⊙O，讀作“圓O”.
注意
(1)由圓的定義知“圓”是指“圓周”，即封閉的曲線，而不是曲線圍成的面.同一個圓的半徑相等.
(2)確定圓的要素有兩個：圓心和半徑.圓心確定其位置，半徑確定其大小.
知識點2 等圓
______________的兩個圓叫做等圓.兩個等圓能夠重合.
知識點3 平面內的點與圓的位置關系
平面內的點與圓有三種位置關系：(1)點在圓內；(2)點在圓上；(3)點在圓外.
設⊙O的半徑為r，點A 到圓心O 的距離為d，對應關系如表所示：
點與圓的位置關系 點A在圓內 點A在圓上 點A在圓外
圖形
數量關系
知識點4 圓的內部與圓的外部
圓的內部可以看作到圓心的距離______半徑的點的集合；圓的外部可以看作到圓心的距離________半徑的點的集合.
明考點·識方法
考點1 點與圓的位置關系
典例1 如圖，在△ABC 中, AB=5,BC=4.以點 A 為圓心，r為半徑作圓，當點C在⊙A 內且點 B 在⊙A 外時，r的值可能是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
思路導析 先利用勾股定理可得AC=3，再根據“點C 在⊙A 內且點 B 在⊙A 外”可得,由此即可得出答案.
規律總結
由點與圓的位置關系，可以確定點到圓心的距離d與半徑r的數量關系.反過來，已知點到圓心的距離d與半徑r的數量關系，也可以確定該點與圓的位置關系，即：
點 A 在圓內 r＞d;
點 A 在圓上 r＝d;
點 A 在圓外 r＜d.
變式 在△ABC中,以點C為圓心，半徑為6的圓記作圓C，那么下列說法正確的是 ( )
A.點A在圓C外，點 B在圓C上 B.點A 在圓C上,點 B在圓C內
C.點A在圓C外，點 B在圓C內 D.點A,B都在圓C外
典例2 在如圖所示的矩形 ABCD 中，如果OA,OB,OC,OD的中點分別為點 E,F,G,H.
求證：E，F，G，H四個點在以點O為圓心的同一個圓上.
思路導析 根據圓的定義，要證明 E，F，G，H四個點在以點O 為圓心的同一個圓上，只需證明即可.
注意
要證明幾個點在同一個圓上，只需證明這些點到某個定點的距離相等即可.
變式 如圖所示，在 中,CE,BD分別是AB,AC邊上的高.求證:B,C,D,E四點在同一個圓上.
考點2 圓中常用輔助線——連半徑
典例3 如圖所示，已知CD 是⊙O的直徑，AE交⊙O于點 B,且 OC.求 的度數.
思路導析 連接OB，由圓的半徑都相等，可得根據等腰三角形的性質和三角形的外角的性質計算即可.
注意
求頂點在圓外的角，通常作圓的半徑，將角轉化到圓內，再利用“同圓的半徑相等”來求解問題.
變式 如圖，半圓O 的直徑 半徑點 D 為弧AC 上一點,DE⊥OC,DF⊥OA,垂足分別為點 E,F,求 EF 的長.
當堂測·夯基礎
1.點 P 到⊙O的最近點的距離為 2cm ，最遠點的距離為7 cm,則⊙O的半徑是 ( )
A.5 cm 或9 cm B.2.5 cm C.4.5 cm D.2.5 cm 或4.5 cm
2.已知⊙O的半徑為r，點 P 到圓心O的距離
(1)若 ,則點 P 在___________;
(2)若 ，則點 P 在圓上；
(3)若r _________,則點 P 在⊙O外;
(4)若點 P 在⊙O內,則⊙O的半徑r的取值范圍是___________.
3.如圖,已知矩形 ABCD的邊. 4,若以點 A 為圓心畫⊙A.
(1)使點 B 在⊙A內,點 D 在⊙A 外,則⊙A 的半徑r的取值范圍是__________；
(2)使點 B,C,D 中至少有一點在⊙A內，且至少有一點在⊙A 外，則⊙A 的半徑r 的取值范圍是_____________.
4.如圖,將⊙O的弦AB、半徑OC 延長,相交于點 D， 若 求的度數.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1 1.圓 圓心 半徑 2.定長 圓心 半徑
知識點2 半徑相等
知識點 3 r＞d r＝d r＜d
知識點4 小于 大于
【明考點·識方法】
典例1 C
變式 C
典例2 證明:∵四邊形 ABCD 是矩形,
又∵點 E,F,G,H 分別為OA,OB,OC,OD的中點，
∴OE=OF=OG=OH,
∴E，F，G，H 四個點在以點O 為圓心的同一個圓上.
變式 證明：如圖所示，取BC 的中點F，連接 DF,EF.
∵BD,CE 是 的高，∴△BCD 和 都是直角三角形.
∵DF,EF 分別為 和Rt△BCE斜邊上的中線，
∴E,B,C,D 四點在以點 F 為圓心, 為半徑的圓上.
典例3 解：如圖所示，連接OB.
∵OC=AB,OC=OB,∴OB=AB,∴∠A=∠BOC,∴∠OBE=2∠A.
又∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE=2∠A,
∴∠EOD =∠OEB+∠A=3∠A=72°,∴∠A=24°.
變式 解：連接OD.
∵OC⊥AB,DE⊥OC,DF⊥OA,∴∠AOC=∠DEO=∠DFO=90°,
∴四邊形 DEOF 是矩形，∴EF=OD.
∵AB=8,
【當堂測·夯基礎】
1. D
2.(1)⊙O內 (2)5 (3)＜5 (4)r＞5
3.(1)3＜r＜4 (2)3＜r＜5
解析:(1)∵AB=3,AD=4.若以點 A 為圓心畫⊙A，使點 B 在⊙A 內,點 D 在⊙A外，則半徑的長為3＜r＜4;
(2)連接AC.
∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=4,∠B=90°.
在 Rt△ABC中,
∵AB=3,AD=4,AC=5,若以點A 為圓心畫⊙A,使點 B,C,D中至少有一點在⊙A 內，且至少有一點在⊙A 外，則⊙A 的半徑r 的取值范圍是3＜r＜5.
4.解:連接OB,
∵BD=OA,OA=OB,∴OB=BD,∴∠BOD=∠D,∴∠OBA=2∠D,
又∵OA=OB,∴∠A=∠OBA=2∠D,
在△AOD 中,∠A +∠AOD+∠D =180°,
即3∠D+105°=180°,解得∠D=25°.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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