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5.3 垂徑定理（學案帶答案）
列清單·劃重點
知識點1 垂徑定理
__________弦的直徑________這條弦，并且平分弦所對的_________.
符號語言：如圖所示，∵直徑 弦AB,垂足為點 M, __________,
知識點2 垂徑定理的推論
平分弦(____________)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的___________.
符號語言：如圖所示，∵直徑 CD與非直徑的弦 AB 交于點 M,且 AM= BM,__________.
注意
(1)因為圓的兩條直徑必互相平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦不能為直徑，否則結論不一定成立.
(2)在圓中，解決有關弦的問題時，常常需要作“垂直于弦的直徑”為輔助線，有時則只需要從圓心作弦的垂線段即可.
明考點·識方法
考點1 垂徑定理及其推論
典例1 如圖,在⊙O 中,弦AB的長為8,圓心 O到 AB 的距離 4，則⊙O的半徑長為 ( )
A. 4 C. 5
思路導析 利用垂徑定理，勾股定理求解即可.
規律總結
在圓中，解決有關弦的問題時，常利用半徑、圓心到弦的垂線段和弦的一半構成的直角三角形來達到求解的目的.
變式 如圖,△ABC的頂點都在⊙O上,OD⊥AB, OE⊥BC,OF⊥AC.垂足分別為點 D, E,F,連接 DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC 的周長為 21,則EF的長為 ( )
A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3
考點2 垂徑定理的實際應用
典例2 陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一.圖2是從正面看到的一個“老碗”(圖1)的形狀示意圖. 是⊙O的一部分，D 是 的中點，連接OD，與弦AB 交于點 C，連接OA,OB. 已知 AB = 24 cm,碗深 CD =8 cm,則⊙O的半徑OA 為 ( )
A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm
思路導析 首先利用垂徑定理的推論得出OD⊥AB，再設⊙O 的半徑OA 為R cm,則OC=(R-8) cm.在 Rt△OAC 中根據勾股定理列出方程 求出R 即可.
變式1 “圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問：徑幾何 ”轉化為現在的數學語言表達就是：如圖，CD 為⊙O的直徑，弦 垂足為 E,CE=1 寸,AB=10寸,則直徑CD的長度為_____________寸.
變式2 石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶(如圖1)，隋代建造的趙州橋距今約有1400年歷史，是我國古代石拱橋的代表.如圖2 是根據某石拱橋的實物圖畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為 橋的跨度(弧所對的弦長)AB=26 m,設 所在圓的圓心為O，半徑OC⊥AB，垂足為點 D.拱高(弧的中點到弦的距離)CD=5m,連接OB.
(1)直接判斷AD與BD 的數量關系；
(2)求這座石拱橋主橋拱的半徑.(精確到1 m)
當堂測·夯基礎
1.如圖,已知⊙O的半徑為10,⊙O的一條弦AB=16,若⊙O內的一點P 恰好在AB 上，則線段OP 的長度為整數的值有 ( )
A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個
第1題圖 第2題圖
2.一次綜合實踐主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測量一次性紙杯杯口的直徑 小聰同學所在的學習小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯口，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于A，B，C，D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為 7 cm，AB=8cm,CD=6 cm.請你幫忙計算紙杯的直徑為 ( )
A. 5 cm B. 9.6 cm C. 10 cm D. 10.2 cm
3.日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成(如圖1)，它可以看作如圖2 所示的幾何圖形.已知AC=BD=5 cm ,AC⊥CD,垂足為點 C,BD⊥CD,垂足為點 D,CD=16 cm,⊙O的半徑r=10 cm,則圓盤離桌面 CD 最近的距離是 ( )
A.6 cm B.5 cm C.2 cm D.1 cm
4.如圖，在墻壁中埋著一個未知半徑的圓柱形木材，現用鋸子去鋸這個木材，鋸口深鋸道已知 則這根圓柱形木材的半徑是 ( )
A. 20 B. 12 C. 10 D. 8
5.如圖所示，⊙O的直徑AB 和弦CD 相交于點E，求弦CD的長.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點1 垂直于 平分 兩條弧
知識點2 不是直徑 兩條弧
【明考點·識方法】
典例1 B 變式 B
典例2 A 變式1 26
變式2 解:(1)∵OC⊥AB,
(2)設主橋拱的半徑為 R m，
由題意，知
解得
答：這座石拱橋主橋拱的半徑約為 19 m.
【當堂測·夯基礎】
1. C 2. C 3. D 4. C
5.解：如圖所示，作于點 F，連接OD.
2,
在 中，
在 中，
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