資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
5.2 圓的對稱性（學(xué)案帶答案）
列清單·劃重點(diǎn)
知識點(diǎn)1 圓的軸對稱性
圓是軸對稱圖形，其對稱軸是________________.
知識點(diǎn)2 圓的有關(guān)概念
1.?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做___________，簡稱弧.弧用符號“⌒”表示，如圖所示，以 A，B為端點(diǎn)的弧記作________,讀作“圓弧AB”或“弧AB”.
2.弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的___________叫做弦.
3.直徑：__________的弦叫做直徑.在同一個圓中，直徑是半徑的_______倍，__________是圓中最長的弦.
4.等弧：在________中，能夠重合的兩條弧叫做等弧.等弧只能存在于同圓或等圓中.
5.半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)將圓分成兩條等弧，每一條弧都叫做__________.
6.優(yōu)弧、劣弧：大于半圓的弧叫做___________，優(yōu)弧一般用三個字母表示(如圖所示的小于半圓的弧叫做__________(如圖所示的,).
注意
(1)直徑是弦，但弦不一定是直徑.
(2)半圓是弧，但弧不一定是半圓.
(3)一個圓有無數(shù)條直徑和半徑，
(4)等弧存在的前提條件是在同圓或等圓中，半徑不等的圓不存在等弧.
知識點(diǎn)3 圓的中心對稱性
圓是__________圖形，對稱中心為_________.
圓既是_________對稱圖形又是_________對稱圖形.
知識點(diǎn)4 圓心角
________________的角叫做圓心角.
知識點(diǎn)5 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系
1.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的_________相等，所對的________相等.
2.推論：在同圓或等圓中，如果_________、__________、_________中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.
如圖所示，下列三個等式: ①∠AOB = ∠COD;②AB=CD;③.若其中有一個等式成立，則其余兩個等式也成立.
拓展
弦心距：圓心到該圓的任意一條弦的距離叫做弦心距.在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦上的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.符號語言：如圖所示，
①∵∠AOB=∠COD,
②∵AB=CD,
③∴AB=CD,∠AOB=∠COD,OE=OF;
④∵OE=OF,
注意
(1)在同圓或等圓中，如果弧不相等，那么弧所對的弦、圓心角也不相等，且長弧所對的圓心角較大.
(2)在同圓或等圓中，不能認(rèn)為長弧所對的弦也較長.只有當(dāng)弧是劣弧時，這一命題才成立；當(dāng)弧為優(yōu)弧時，弧越長，其所對的弦越短.
知識點(diǎn)6 圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)的關(guān)系
1.1°的?。喊颜麄€圓等分成_____________份，每一份這樣的弧叫做1°的弧.
弧的度數(shù)單位與角的度數(shù)單位是一致的.
2.圓心角的度數(shù)和它______________的度數(shù)相等.
符號語言：如圖所示：
∵∠AOB 是 所對的圓心角， 的度數(shù).
注意
由于圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等，因而計(jì)算弧的度數(shù)時，常轉(zhuǎn)化為計(jì)算它所對的圓心角的度數(shù)，故作弧所對的圓心角是一種常用輔助線.
明考點(diǎn)·識方法
考點(diǎn)1 圓的有關(guān)概念
典例1 下列說法中正確的是 ( )
A.長度相等的弧是等弧 B.優(yōu)弧長度大于劣弧
C.直徑是圓中最長的弦 D.同圓或等圓中的弦一定相等
思路導(dǎo)析 A.等弧是同圓或等圓中能夠重合的弧，在同圓或等圓中長度相等的弧是等弧，不在同圓或等圓中不存在等弧，故A 錯誤；B.在同圓或等圓中，優(yōu)弧長度一定大于劣弧長度，故B錯誤；D.同圓或等圓中的弦有無數(shù)條，不一定相等，故D 錯誤.只有C正確.
注意
直徑是弦，但弦不一定是直徑，直徑是圓中最長的弦.
變式 下列語句中，正確的有 ( )
①相等的圓心角所對的弧相等
②等弦對等弧
③在同圓或等圓中，圓心角相等，則其所對的弦相等
④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
考點(diǎn)2 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系
典例2 如圖，已知AB是⊙O的直徑，P是AO上一點(diǎn)，點(diǎn)C，D在直徑AB 兩側(cè)的圓周上，若PB平分 求證：劣弧 BC 與劣弧BD 相等.
思路導(dǎo)析 過點(diǎn)O分別作 垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OC，OD，由角平分線性質(zhì)得 根據(jù)已知條件，可證得 然后可證得 進(jìn)而問題可求證.
變式 如圖,AB,CD是⊙O的弦，且 若 則的度數(shù)為 ( )
考點(diǎn)3 圓心角與它所對的弧的度數(shù)的關(guān)系
典例3 如圖所示，圓的一條弦AB 把圓分為度數(shù)比為1：5的兩條弧，已知圓的半徑為4,求弦AB 的長.
思路導(dǎo)析 由弦AB 所對的兩條弧的度數(shù)比為1：5，可知 的度數(shù)為 60°，則 所以△AOB是等邊三角形,得AB=AO=4.
變式 在半徑為1 的圓中，長度等于 的弦所對的弧的度數(shù)為_____________.
注意
由于弧的度數(shù)和它所對的圓心角的度數(shù)相等，因而計(jì)算弧的度數(shù)時，常轉(zhuǎn)化為求它所對的圓心角的度數(shù).
當(dāng)堂測·夯基礎(chǔ)
1.下列說法正確的是 ( )
A.相等的圓心角所對的弧相等 B.在同圓中，等弧所對的圓心角相等
C.在同圓中，相等的弦所對的弧相等 D.相等的弦所對的弧相等
2.如圖,已知在⊙O 中，BC是直徑， 則下列結(jié)論不一定成立的是 ( )
D. O到AB,CD的距離相等
第2題圖 第3題圖
3.如圖,半徑為5 的⊙A 中，弦 BC，ED 所對的圓心角分別是若 則弦 BC 的長等于( )
A. 8 B. 10 C. 11 D. 12
4.如圖,AB是⊙O的直徑, 與 相等,∠COD=36°,則∠AOE 的度數(shù)是( )
A. 30° B. 36° C. 54° D. 72°
第4題圖 第5題圖
5.如圖,點(diǎn) A,B,C是⊙O 上的點(diǎn), BC.若⊙O的半徑為2,則四邊形ABCO 的面積為 ( )
D.2
6.如圖,在⊙O中, 若 則 AB 與 2CD 的大小關(guān)系為 ( )
D.無法確定
7.如圖,在⊙O中, AB,CD 是直徑, ∥且交圓于 E，求證：
8.如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB 上的一點(diǎn),過點(diǎn) C 作弦DE,使 CD=CO.若 的度數(shù)為35°，求 的度數(shù).
參考答案
【列清單·劃重點(diǎn)】
知識點(diǎn)1 任意一條過圓心的直線
知識點(diǎn)2 1.圓弧 AB 2.線段 3.經(jīng)過圓心 2 直徑 4.同圓或等圓
5.半圓 6.優(yōu)弧 劣弧
知識點(diǎn)3 中心對稱 圓心 軸 中心
知識點(diǎn)4 頂點(diǎn)在圓心
知識點(diǎn) 5 1.弧 弦 2.兩個圓心角 兩條弧 兩條弦
知識點(diǎn) 6 1.360 2.所對的弧
【明考點(diǎn)·識方法】
典例1 C
變式 B
典例2 證明：過點(diǎn)O分別作 OE⊥PC,OF⊥PD,垂足分別為點(diǎn) E， F，連接OC,OD,如圖所示:
∵PB平分∠CPD,∴OE=OF,∠CPB=∠DPB,
∵OC=OD,∠OEC=∠OFD=90°,∴Rt△EOC≌Rt△FOD(HL),∴∠C=∠D,
∴∠C+∠CPB=∠BOC=∠BOD=∠D+∠DPB,
變式 D
典例3 解：∵弦 AB 所對的兩條弧的度數(shù)比是1:5,
的度數(shù)為∴∠AOB=60°.
又∵OA=OB,∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=4.
變式 90°或270°
解析：如圖，⊙O的半徑為1，弦 連接OA,OB,
∵OA=OB=1, ∴△OAB 為等腰直角三角形，∴∠AOB=90°,
∴弦AB 所對的弧的度數(shù)為90°或270°.
【當(dāng)堂測·夯基礎(chǔ)】
1. B 2. A 3. A 4. D 5. A 6. B
7.證明:連接OE,
∵CE∥AB,∴∠DOB=∠C,∠BOE=∠E,
∵OC=OE,∴/C=/E,
8.解:如圖,連接OD,OE,
的度數(shù)為35°，∴∠AOD=35°,
∵CD=CO,∴∠ODC=∠AOD=35°,
∵OD=OE,∴∠ODC=∠E=35°,∴∠DOE=110°,
∴∠AOE=75°,∴∠BOE=105°,∴BE 的度數(shù)是105°.
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