資源簡(jiǎn)介

十四　二次函數(shù)的應(yīng)用(第2課時(shí))
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)　利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決利潤(rùn)問(wèn)題
1.某種商品每天的銷售利潤(rùn)y元與單價(jià)x元(x≥2)之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-(x-3)2+60,則這種商品每天的最大利潤(rùn)為( )
A.50元　 B.60元　 C.40元　 D.30元
2.杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物“宸宸”以機(jī)器人的造型代表世界遺產(chǎn)——京杭大運(yùn)河受到人們的推崇.某文創(chuàng)商店有關(guān)“宸宸”的紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)為20元,調(diào)查表明:在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元(20≤x≤30,且x為整數(shù))出售,可賣出(30-x)件,要使利潤(rùn)最大,每件的售價(jià)應(yīng)為( )
A.24元　 B.25元　 C.28元　 D.30元
3.某超市對(duì)進(jìn)貨價(jià)為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)每天銷售量y(千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)存在一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示.則最大利潤(rùn)是( )
A.180元 B.220元 C.190元 D.200元
4.(2024·杭州期中)某超市以每件10元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種文具,銷售該文具時(shí),銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于21元.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該文具的每天銷售數(shù)量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間滿足y=-2x+60,則銷售該文具每天獲得的最大利潤(rùn)是 元.
5.小致創(chuàng)辦了一個(gè)微店商鋪,營(yíng)銷一款成本是20元/盞的小型LED護(hù)眼臺(tái)燈.在“雙十一”前8天進(jìn)行了網(wǎng)上銷售后發(fā)現(xiàn),該臺(tái)燈的日銷售量p(盞)與時(shí)間x(天)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,且第1天銷售了78盞,第2天銷售了76盞,護(hù)眼臺(tái)燈的銷售價(jià)格y(元/盞)與時(shí)間x(天)之間符合函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x+25(1≤x≤8),且x為整數(shù)).這8天中最大日銷售利潤(rùn)是 元.
6.(2024·煙臺(tái)中考)每年5月的第三個(gè)星期日為全國(guó)助殘日,今年的主題是“科技助殘,共享美好生活”.康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,每輛輪椅盈利200元時(shí),每天可售出60輛;單價(jià)每降低10元,每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售,但每輛輪椅的利潤(rùn)不低于180元.設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元,每天的銷售利潤(rùn)為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)最大 最大利潤(rùn)為多少元
(2)全國(guó)助殘日當(dāng)天,公司共獲得銷售利潤(rùn)12 160元,請(qǐng)問(wèn)這天售出了多少輛輪椅
7.(2024·貴州中考)某超市購(gòu)入一批進(jìn)價(jià)為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售,市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)時(shí),日銷售量y(盒)與銷售單價(jià)x(元)是一次函數(shù)關(guān)系,如表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.
銷售單價(jià)x/元 … 12 14 16 18 20 …
銷售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí),所獲日銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為m元的禮品,贈(zèng)送禮品后,為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤(rùn)為392元,求m的值.
【B層 能力進(jìn)階】
8.某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次,生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品,每件獲利潤(rùn)8元,每提高一個(gè)檔次,每件產(chǎn)品利潤(rùn)增加2元,用同樣的工時(shí),最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)60件,提高一個(gè)檔次將減少3件.如果用相同的工時(shí)生產(chǎn),獲總利潤(rùn)最大的產(chǎn)品是第k檔次(最低檔次為第一檔次,檔次依次隨質(zhì)量增加),那么k的值為( )
A.5 B.8 C.9 D.10
9.某超市購(gòu)進(jìn)一批拼裝玩具,進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元,在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn),日銷售量y(個(gè))與銷售單價(jià)x(元)之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系,則該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤(rùn)為 元(利潤(rùn)=總銷售額-總成本).
10.某種玩偶禮盒,每盒進(jìn)價(jià)為30元.當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定,該禮盒銷售單價(jià)最高不能超過(guò)50元/盒.某網(wǎng)店在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該禮盒每周的銷量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系:y=-2x+180(30≤x≤50).那么該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲最大利潤(rùn)為 元.
11.某西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批西瓜,以3元/千克售出,每天可售出200千克,經(jīng)調(diào)查,售價(jià)每降0.1元,每天多賣40千克,另外,每天的其他固定成本為24元.當(dāng)定價(jià)為 元時(shí)能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是 元.
12.(2024·南充中考)2024年“五一”假期期間,閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售A,B兩類特產(chǎn).A類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)為50元/件,B類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)為60元/件.已知購(gòu)買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元,購(gòu)買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元.
(1)求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價(jià)各是多少元.
(2)A類特產(chǎn)供貨充足,按原價(jià)銷售每天可售出60件.市場(chǎng)調(diào)查反映,若每降價(jià)1元,每天可多售出10件(每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)).設(shè)每件A類特產(chǎn)降價(jià)x元,每天的銷售量為y件,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
(3)在(2)的條件下,由于B類特產(chǎn)供貨緊張,每天只能購(gòu)進(jìn)100件且能按原價(jià)售完.設(shè)該店每天銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤(rùn)為w元,求w與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出每件A類特產(chǎn)降價(jià)多少元時(shí)總利潤(rùn)w最大,最大利潤(rùn)是多少元.(利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià))
13.某商戶購(gòu)進(jìn)一批童裝,40天銷售完畢.根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),日銷售量y(件)與銷售時(shí)間x(天)之間的關(guān)系式是y=,銷售單價(jià)p(元)與銷售時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)第15天的日銷售量為 30 件;
(2)當(dāng)0(3)在銷售過(guò)程中,若日銷售量不低于48件的時(shí)間段為“火熱銷售期”,則“火熱銷售期”共有多少天
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
14.(模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí))(2024·鹽城中考)請(qǐng)根據(jù)以下素材,完成探究任務(wù).
制定加工方案
生 產(chǎn) 背 景 1 ◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝,有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式. ◆因工藝需要,每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件,或“雅”服裝1件,或“正”服裝1件. ◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件,“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等.
生 產(chǎn) 背 景 2 每天加工的服裝都能銷售出去,扣除各種成本,服裝廠的獲利情況為: ①“風(fēng)”服裝:24元/件; ②“正”服裝:48元/件; ③“雅”服裝:當(dāng)每天加工10件時(shí),每件獲利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件獲利將減少2元.
信 息 整 理 現(xiàn)安排x名工人加工“雅”服裝,y名工人加工“風(fēng)”服裝,列表如下: 服裝 種類加工人 數(shù)(人)每人每天加 工量(件)平均每天 獲利(元)風(fēng)y224雅x1正148
探 究 任 務(wù) 任 務(wù) 1 探尋變量關(guān)系 求x,y之間的數(shù)量關(guān)系.
任 務(wù) 2 建立數(shù)學(xué)模型 設(shè)該工廠每天的總利潤(rùn)為w元,求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.
任 務(wù) 3 擬定加工方案 制定使每天總利潤(rùn)最大的加工方案.十三　二次函數(shù)的應(yīng)用(第1課時(shí))
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)1　圖形面積的最值問(wèn)題
1.如圖,用總長(zhǎng)度為12 m的不銹鋼材料設(shè)計(jì)成如圖所示的外觀為長(zhǎng)方形的框架,所有橫檔和豎檔分別與AD,AB平行,則長(zhǎng)方形框架ABCD的最大面積為( )
A.4 m2　 B.6 m2　 C.8 m2　 D.12 m2
2.在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮.如圖,已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC,它的底邊AB長(zhǎng)20厘米.要截得的矩形DEMN的邊MN在AB上,頂點(diǎn)D,E分別在邊AC,BC上,設(shè)DE的長(zhǎng)為x厘米,矩形DEMN的面積為y平方厘米,那么y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是 .(不必寫出自變量x的取值范圍)
3.學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃,其中一邊靠墻,另外三邊用籬笆圍成.已知墻長(zhǎng)42米,籬笆長(zhǎng)80米.設(shè)垂直于墻的邊AB長(zhǎng)為x米,平行于墻的邊BC長(zhǎng)為y米,圍成的矩形面積為S平方米.
(1)求y與x,S與x的關(guān)系式.
(2)圍成的矩形花圃面積能否為750平方米,若能,求出x的值.
(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值 若存在,求出這個(gè)最大值,并求出此時(shí)x的值.
知識(shí)點(diǎn)2　拋物線形問(wèn)題
4.(2024·常德一模)刀削面堪稱天下一絕,傳統(tǒng)的操作方法是一手托面,一手拿刀,直接將面削到開水鍋里.如圖,面剛被削離時(shí)與開水鍋的高度差h=0.45 m,與鍋的水平距離L=0.3 m,鍋的半徑R=0.5 m.若將削出的面圈的運(yùn)動(dòng)軌跡視為拋物線的一部分,要使其落入鍋中(鍋的厚度忽略不計(jì)),則其水平初速度v0不可能為(提示:h=gt2,g≈10 m/s2,水平移動(dòng)距離s=v0t)( )
A.2.5 m/s　 B.3 m/s
C.3.5 m/s　 D.5 m/s
5.(2023·成都模擬)多人花樣跳繩形式多樣、對(duì)場(chǎng)地要求低、操作簡(jiǎn)單、健身效果明顯,受到大眾的喜愛.如圖,繩被甩至最高處時(shí)的形狀滿足拋物線y=-x2+h,甩繩的兩名同學(xué)兩手之間的距離AB=4,兩人甩繩的手距地面的距離均為1.6m,則繩的最高點(diǎn)與地面之間的距離為( )
A.1 m　 B.1.6 m　 C.2.6 m　 D.3.6 m
6.(2024·江西中考)如圖,一小球從斜坡O點(diǎn)以一定的方向彈出,球的飛行路線可以用二次函數(shù)y=ax2+bx(a<0)刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫,小球飛行的水平距離x(米)與小球飛行的高度y(米)的變化規(guī)律如表:
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m= 3 ,n= 6 ;
②小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo).
(2)小球飛行高度y(米)與飛行時(shí)間t(秒)滿足關(guān)系:y=-5t2+vt.
①小球飛行的最大高度為 米;
②求v的值.
【B層 能力進(jìn)階】
7.(2024·天津質(zhì)檢)如圖,要圍一個(gè)矩形菜園ABCD,其中一邊AD是墻,且AD的長(zhǎng)不能超過(guò)26 m,其余的三邊AB,BC,CD用籬笆,且這三邊的和為40 m,有下列結(jié)論:
①AB的長(zhǎng)可以為6 m;
②AB的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD面積為192 m2;
③菜園ABCD面積的最大值為200 m2.
其中正確的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
8.一副眼鏡的兩個(gè)鏡片下半部分輪廓分別對(duì)應(yīng)兩條拋物線的一部分,且在平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于y軸對(duì)稱,如圖所示(1 cm對(duì)應(yīng)一個(gè)單位長(zhǎng)度),AB∥x軸,AB=4 cm,最低點(diǎn)C在x軸上,CH⊥AB且CH=1 cm,BD=2 cm,則輪廓線DFE所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為( )
A.y=(x+3)2　 B.y=(x-3)2
C.y=(x-4)2　 D.y=-(x-4)2
9.(2024·南通質(zhì)檢)在△ABC中,∠A,∠C是銳角,若AB=2,且tan∠C=2tan∠A,則△ABC面積的最大值是( )
A.　 B.4　 C.6　 D.8
10.(2024·廣西中考)如圖,壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球,出手(點(diǎn)P處)的高度OP是m,出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行,到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),水平距離是5 m,高度是4 m.若實(shí)心球落地點(diǎn)為M,則OM= m.
11.《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定,同車道行駛的機(jī)動(dòng)車,后車應(yīng)當(dāng)與前車保持足以采取緊急制動(dòng)措施的安全距離,其原因可以用物理和數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)解釋.公路上行駛的汽車急剎車時(shí),剎車距離s(m)與時(shí)間t(s)的函數(shù)表達(dá)式為s=16t-4t2,當(dāng)遇到緊急情況剎車時(shí),由于慣性的作用,汽車最遠(yuǎn)要滑行 m才能停下.
12.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,點(diǎn)D,E,F分別在AC,BC,AB邊上,且DE⊥EF,tan∠EDC=2,則△DEF的面積最大值為 .
13.(2024·陜西中考)一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索L1與纜索L2均呈拋物線型,橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面,如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn),以直線FF'為x軸,以橋塔AO所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
已知:纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,橋塔AO與橋塔BC之間的距離OC=100 m,AO=BC=17 m,纜索L1的最低點(diǎn)P到FF'的距離PD=
2 m.(橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì))
(1)求纜索L1所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)E在纜索L2上,EF⊥FF',且EF=2.6 m,FO【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
14.(模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí))(2024·遂寧中考)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),P,Q為拋物線上的兩點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)P,C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,△OPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)設(shè)P的橫坐標(biāo)為m,Q的橫坐標(biāo)為m+1,試探究:△OPQ的面積S是否存在最小值 若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.十三　二次函數(shù)的應(yīng)用(第1課時(shí))
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)1　圖形面積的最值問(wèn)題
1.如圖,用總長(zhǎng)度為12 m的不銹鋼材料設(shè)計(jì)成如圖所示的外觀為長(zhǎng)方形的框架,所有橫檔和豎檔分別與AD,AB平行,則長(zhǎng)方形框架ABCD的最大面積為(A)
A.4 m2　 B.6 m2　 C.8 m2　 D.12 m2
2.在一塊等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮.如圖,已有的鐵皮是等腰直角三角形ABC,它的底邊AB長(zhǎng)20厘米.要截得的矩形DEMN的邊MN在AB上,頂點(diǎn)D,E分別在邊AC,BC上,設(shè)DE的長(zhǎng)為x厘米,矩形DEMN的面積為y平方厘米,那么y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是　y=-x2+10x　.(不必寫出自變量x的取值范圍)
3.學(xué)校要建一個(gè)矩形花圃,其中一邊靠墻,另外三邊用籬笆圍成.已知墻長(zhǎng)42米,籬笆長(zhǎng)80米.設(shè)垂直于墻的邊AB長(zhǎng)為x米,平行于墻的邊BC長(zhǎng)為y米,圍成的矩形面積為S平方米.
(1)求y與x,S與x的關(guān)系式.
【解析】(1)由題意得,2x+y=80,
∴y=-2x+80.
由0<-2x+80≤42,且x>0,
得19≤x<40.
由題意,S=AB·BC=x(-2x+80),
∴S=-2x2+80x.
(2)圍成的矩形花圃面積能否為750平方米,若能,求出x的值.
【解析】(2)由題意,令S=-2x2+80x=750,
∴x=15(舍去)或x=25.
答:當(dāng)x=25時(shí),圍成的矩形花圃的面積為750平方米.
(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值 若存在,求出這個(gè)最大值,并求出此時(shí)x的值.
【解析】(3)根據(jù)(1)得,S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800,
∵-2<0,且19≤x<40,
∴當(dāng)x=20時(shí),S取得最大值,為800.
答:圍成的矩形花圃面積存在最大值,最大值為800平方米,此時(shí)x的值為20.
知識(shí)點(diǎn)2　拋物線形問(wèn)題
4.(2024·常德一模)刀削面堪稱天下一絕,傳統(tǒng)的操作方法是一手托面,一手拿刀,直接將面削到開水鍋里.如圖,面剛被削離時(shí)與開水鍋的高度差h=0.45 m,與鍋的水平距離L=0.3 m,鍋的半徑R=0.5 m.若將削出的面圈的運(yùn)動(dòng)軌跡視為拋物線的一部分,要使其落入鍋中(鍋的厚度忽略不計(jì)),則其水平初速度v0不可能為(提示:h=gt2,g≈10 m/s2,水平移動(dòng)距離s=v0t)(D)
A.2.5 m/s　 B.3 m/s
C.3.5 m/s　 D.5 m/s
5.(2023·成都模擬)多人花樣跳繩形式多樣、對(duì)場(chǎng)地要求低、操作簡(jiǎn)單、健身效果明顯,受到大眾的喜愛.如圖,繩被甩至最高處時(shí)的形狀滿足拋物線y=-x2+h,甩繩的兩名同學(xué)兩手之間的距離AB=4,兩人甩繩的手距地面的距離均為1.6m,則繩的最高點(diǎn)與地面之間的距離為(C)
A.1 m　 B.1.6 m　 C.2.6 m　 D.3.6 m
6.(2024·江西中考)如圖,一小球從斜坡O點(diǎn)以一定的方向彈出,球的飛行路線可以用二次函數(shù)y=ax2+bx(a<0)刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y=x刻畫,小球飛行的水平距離x(米)與小球飛行的高度y(米)的變化規(guī)律如表:
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)①m=　3　,n=　6　;
②小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo).
【解析】(1)①根據(jù)小球飛行的水平距離x(米)與小球飛行的高度y(米)的變化規(guī)律表可知,
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,8),
∴,
解得,
∴二次函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+4x.
當(dāng)y=時(shí),-x2+4x=,
解得x=3或x=5(舍去),
∴m=3,
當(dāng)x=6時(shí),n=-×62+4×6=6.
②聯(lián)立得,
解得或,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(,).
(2)小球飛行高度y(米)與飛行時(shí)間t(秒)滿足關(guān)系:y=-5t2+vt.
①小球飛行的最大高度為　8　米;
②求v的值.
【解析】(2)①由題意可知,小球飛行的最大高度為8米;
②y=-5t2+vt=-5(t-)2+,
則=8,
解得v=4(負(fù)值已舍去).
【B層 能力進(jìn)階】
7.(2024·天津質(zhì)檢)如圖,要圍一個(gè)矩形菜園ABCD,其中一邊AD是墻,且AD的長(zhǎng)不能超過(guò)26 m,其余的三邊AB,BC,CD用籬笆,且這三邊的和為40 m,有下列結(jié)論:
①AB的長(zhǎng)可以為6 m;
②AB的長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足菜園ABCD面積為192 m2;
③菜園ABCD面積的最大值為200 m2.
其中正確的是(C)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
8.一副眼鏡的兩個(gè)鏡片下半部分輪廓分別對(duì)應(yīng)兩條拋物線的一部分,且在平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于y軸對(duì)稱,如圖所示(1 cm對(duì)應(yīng)一個(gè)單位長(zhǎng)度),AB∥x軸,AB=4 cm,最低點(diǎn)C在x軸上,CH⊥AB且CH=1 cm,BD=2 cm,則輪廓線DFE所在拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為(B)
A.y=(x+3)2　 B.y=(x-3)2
C.y=(x-4)2　 D.y=-(x-4)2
9.(2024·南通質(zhì)檢)在△ABC中,∠A,∠C是銳角,若AB=2,且tan∠C=2tan∠A,則△ABC面積的最大值是(A)
A.　 B.4　 C.6　 D.8
10.(2024·廣西中考)如圖,壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球,出手(點(diǎn)P處)的高度OP是m,出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行,到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),水平距離是5 m,高度是4 m.若實(shí)心球落地點(diǎn)為M,則OM= 　m.
11.《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》規(guī)定,同車道行駛的機(jī)動(dòng)車,后車應(yīng)當(dāng)與前車保持足以采取緊急制動(dòng)措施的安全距離,其原因可以用物理和數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)解釋.公路上行駛的汽車急剎車時(shí),剎車距離s(m)與時(shí)間t(s)的函數(shù)表達(dá)式為s=16t-4t2,當(dāng)遇到緊急情況剎車時(shí),由于慣性的作用,汽車最遠(yuǎn)要滑行　16　m才能停下.
12.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,點(diǎn)D,E,F分別在AC,BC,AB邊上,且DE⊥EF,tan∠EDC=2,則△DEF的面積最大值為 　.
13.(2024·陜西中考)一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索L1與纜索L2均呈拋物線型,橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面,如圖所示,以O(shè)為原點(diǎn),以直線FF'為x軸,以橋塔AO所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.
已知:纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,橋塔AO與橋塔BC之間的距離OC=100 m,AO=BC=17 m,纜索L1的最低點(diǎn)P到FF'的距離PD=
2 m.(橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì))
(1)求纜索L1所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
【解析】(1)∵AO=17 m,
∴A(0,17).
又OC=100 m,纜索L1的最低點(diǎn)P到FF'的距離PD=2 m,
∴拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(50,2),
故可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-50)2+2.又將A坐標(biāo)代入拋物線并整理可得,2 500a+2=17,
∴a=,∴纜索L1所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-50)2+2.
(2)點(diǎn)E在纜索L2上,EF⊥FF',且EF=2.6 m,FO【解析】(2)∵纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,纜索L1所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x-50)2+2,∴纜索L2所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=(x+50)2+2.
令y=2.6,
∴2.6=(x+50)2+2,
∴x=-40或x=-60.
又FO∴x=-40,
∴FO的長(zhǎng)為40 m.
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
14.(模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí))(2024·遂寧中考)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),P,Q為拋物線上的兩點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式;
【解析】(1)由題意得:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3),
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),
則-3a=-3,解得a=1,
則拋物線的表達(dá)式為y=x2-2x-3.
(2)當(dāng)P,C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,△OPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
【解析】(2)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,
∵點(diǎn)P,C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,
則點(diǎn)P(2,-3).
設(shè)Q(n,n2-2n-3),
∵∠OPQ=90°,
∴OP2+PQ2=OQ2,
∴[(0-2)2+(0+3)2]+[(2-n)2+(-3-n2+2n+3)2]=(0-n)2+(0-n2+2n+3)2,
整理得:3n2-8n+4=0,
解得n1=,n2=2(舍去),
∴n=,∴Q(,-).
(3)設(shè)P的橫坐標(biāo)為m,Q的橫坐標(biāo)為m+1,試探究:△OPQ的面積S是否存在最小值 若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】(3)存在,理由:
由題意得,點(diǎn)P(m,m2-2m-3),點(diǎn)Q(m+1,(m+1)2-2(m+1)-3),設(shè)直線PQ交x軸于點(diǎn)H,
由點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)得,直線PQ的表達(dá)式為y=(2m-1)x-m2-m-3,
令y=0,則x=.
①當(dāng)2m-1≥0時(shí), m≥,
則OH=,S△POQ=·OH·(yQ-yP)=××[(m+1)2-2(m+1)-3-m2+2m+3]
=(m2+m+3)=(m+)2+,∵ m≥,
∴當(dāng)m=時(shí),S△POQ最小為.
②當(dāng)2m-1<0時(shí),m<,
則OH=-.S△POQ=·OH·(yP-yQ)=(m+)2+,
∵m<,∴當(dāng)m=-時(shí),S△POQ最小為.
∵<,
∴綜上,△OPQ的面積S存在最小值為.十四　二次函數(shù)的應(yīng)用(第2課時(shí))
【A層 基礎(chǔ)夯實(shí)】
知識(shí)點(diǎn)　利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決利潤(rùn)問(wèn)題
1.某種商品每天的銷售利潤(rùn)y元與單價(jià)x元(x≥2)之間的函數(shù)表達(dá)式為y=-(x-3)2+60,則這種商品每天的最大利潤(rùn)為(B)
A.50元　 B.60元　 C.40元　 D.30元
2.杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物“宸宸”以機(jī)器人的造型代表世界遺產(chǎn)——京杭大運(yùn)河受到人們的推崇.某文創(chuàng)商店有關(guān)“宸宸”的紀(jì)念品每件進(jìn)價(jià)為20元,調(diào)查表明:在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元(20≤x≤30,且x為整數(shù))出售,可賣出(30-x)件,要使利潤(rùn)最大,每件的售價(jià)應(yīng)為(B)
A.24元　 B.25元　 C.28元　 D.30元
3.某超市對(duì)進(jìn)貨價(jià)為10元/千克的某種蘋果的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),發(fā)現(xiàn)每天銷售量y(千克)與銷售價(jià)格x(元/千克)存在一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示.則最大利潤(rùn)是(D)
A.180元 B.220元 C.190元 D.200元
4.(2024·杭州期中)某超市以每件10元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種文具,銷售該文具時(shí),銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于21元.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),該文具的每天銷售數(shù)量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間滿足y=-2x+60,則銷售該文具每天獲得的最大利潤(rùn)是　200　元.
5.小致創(chuàng)辦了一個(gè)微店商鋪,營(yíng)銷一款成本是20元/盞的小型LED護(hù)眼臺(tái)燈.在“雙十一”前8天進(jìn)行了網(wǎng)上銷售后發(fā)現(xiàn),該臺(tái)燈的日銷售量p(盞)與時(shí)間x(天)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系,且第1天銷售了78盞,第2天銷售了76盞,護(hù)眼臺(tái)燈的銷售價(jià)格y(元/盞)與時(shí)間x(天)之間符合函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=x+25(1≤x≤8),且x為整數(shù)).這8天中最大日銷售利潤(rùn)是　448　元.
6.(2024·煙臺(tái)中考)每年5月的第三個(gè)星期日為全國(guó)助殘日,今年的主題是“科技助殘,共享美好生活”.康寧公司新研發(fā)了一批便攜式輪椅計(jì)劃在該月銷售.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,每輛輪椅盈利200元時(shí),每天可售出60輛;單價(jià)每降低10元,每天可多售出4輛.公司決定在成本不變的情況下降價(jià)銷售,但每輛輪椅的利潤(rùn)不低于180元.設(shè)每輛輪椅降價(jià)x元,每天的銷售利潤(rùn)為y元.
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式;每輛輪椅降價(jià)多少元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)最大 最大利潤(rùn)為多少元
【解析】(1)y=(200-x) (60+4×)=-0.4x2+20x+12 000=-0.4(x-25)2+12 250.
∵200-x≥180,
∴x≤20.
∴當(dāng)x=20時(shí),利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為:-0.4(20-25)2+12 250=12 240(元).
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-0.4x2+20x+12 000;每輛輪椅降價(jià)20元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為12 240元.
(2)全國(guó)助殘日當(dāng)天,公司共獲得銷售利潤(rùn)12 160元,請(qǐng)問(wèn)這天售出了多少輛輪椅
【解析】(2)12 160=-0.4(x-25)2+12 250,
0.4(x-25)2=12 250-12 160,
0.4(x-25)2=90,
(x-25)2=225.
解得:x1=40(不合題意,舍去),x2=10.
∴售出輪椅:60+4×=64(輛).
∴售出64輛輪椅.
7.(2024·貴州中考)某超市購(gòu)入一批進(jìn)價(jià)為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售,市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)時(shí),日銷售量y(盒)與銷售單價(jià)x(元)是一次函數(shù)關(guān)系,如表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值.
銷售單價(jià)x/元 … 12 14 16 18 20 …
銷售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式;
【解析】(1)設(shè)y=kx+b(k≠0),
∴,解得:.
∴y=-2x+80;
(2)糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí),所獲日銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少
【解析】(2)設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元.w=(x-10)(-2x+80)=-2x2+100x-800=-2(x-25)2+450.
答:糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí),所獲日銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是450元;
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為m元的禮品,贈(zèng)送禮品后,為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤(rùn)為392元,求m的值.
【解析】(3)w=(x-10-m)(-2x+80)=-2x2+(100+2m)x-800-80m.
∵最大利潤(rùn)為392元,
∴=392.
整理得:m2-60m+116=0.
(m-2)(m-58)=0.
解得:m1=2,m2=58.
當(dāng)m=58時(shí),x=-=54,
∴每盒糖果的利潤(rùn)為54-10-58=-14(元).
∴舍去.
答:m=2.
【B層 能力進(jìn)階】
8.某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次,生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品,每件獲利潤(rùn)8元,每提高一個(gè)檔次,每件產(chǎn)品利潤(rùn)增加2元,用同樣的工時(shí),最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)60件,提高一個(gè)檔次將減少3件.如果用相同的工時(shí)生產(chǎn),獲總利潤(rùn)最大的產(chǎn)品是第k檔次(最低檔次為第一檔次,檔次依次隨質(zhì)量增加),那么k的值為(C)
A.5 B.8 C.9 D.10
9.某超市購(gòu)進(jìn)一批拼裝玩具,進(jìn)價(jià)為每個(gè)10元,在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn),日銷售量y(個(gè))與銷售單價(jià)x(元)之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系,則該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤(rùn)為　800　元(利潤(rùn)=總銷售額-總成本).
10.某種玩偶禮盒,每盒進(jìn)價(jià)為30元.當(dāng)?shù)匚飪r(jià)部門規(guī)定,該禮盒銷售單價(jià)最高不能超過(guò)50元/盒.某網(wǎng)店在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)該禮盒每周的銷量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系:y=-2x+180(30≤x≤50).那么該網(wǎng)店每周銷售該禮盒所獲最大利潤(rùn)為　1 600　元.
11.某西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批西瓜,以3元/千克售出,每天可售出200千克,經(jīng)調(diào)查,售價(jià)每降0.1元,每天多賣40千克,另外,每天的其他固定成本為24元.當(dāng)定價(jià)為　2.75　元時(shí)能獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是　201　元.
12.(2024·南充中考)2024年“五一”假期期間,閬中古城景區(qū)某特產(chǎn)店銷售A,B兩類特產(chǎn).A類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)為50元/件,B類特產(chǎn)進(jìn)價(jià)為60元/件.已知購(gòu)買1件A類特產(chǎn)和1件B類特產(chǎn)需132元,購(gòu)買3件A類特產(chǎn)和5件B類特產(chǎn)需540元.
(1)求A類特產(chǎn)和B類特產(chǎn)每件的售價(jià)各是多少元.
【解析】(1)由題意,設(shè)每件A類特產(chǎn)的售價(jià)為x元,則每件B類特產(chǎn)的售價(jià)為(132-x)元.
∴3x+5(132-x)=540,
∴x=60.
∴每件B類特產(chǎn)的售價(jià)為132-60=72(元).
答:A類特產(chǎn)的售價(jià)為60元/件,B類特產(chǎn)的售價(jià)為72元/件.
(2)A類特產(chǎn)供貨充足,按原價(jià)銷售每天可售出60件.市場(chǎng)調(diào)查反映,若每降價(jià)1元,每天可多售出10件(每件售價(jià)不低于進(jìn)價(jià)).設(shè)每件A類特產(chǎn)降價(jià)x元,每天的銷售量為y件,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
【解析】(2)∵每件A類特產(chǎn)降價(jià)x元,
又∵每降價(jià)1元,每天可多售出10件,
∴y=10x+60(0≤x≤10).
(3)在(2)的條件下,由于B類特產(chǎn)供貨緊張,每天只能購(gòu)進(jìn)100件且能按原價(jià)售完.設(shè)該店每天銷售這兩類特產(chǎn)的總利潤(rùn)為w元,求w與x的函數(shù)關(guān)系式,并求出每件A類特產(chǎn)降價(jià)多少元時(shí)總利潤(rùn)w最大,最大利潤(rùn)是多少元.(利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià))
【解析】(3)∵w=(60-x-50)(10x+60)+100×(72-60)
=-10x2+40x+1 800=-10(x-2)2+1 840.
∵-10<0,
∴當(dāng)x=2時(shí),w有最大值1 840.
∴A類特產(chǎn)每件售價(jià)降價(jià)2元時(shí),每天銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為1 840元.
13.某商戶購(gòu)進(jìn)一批童裝,40天銷售完畢.根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),日銷售量y(件)與銷售時(shí)間x(天)之間的關(guān)系式是y=,銷售單價(jià)p(元)與銷售時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)第15天的日銷售量為　30　件;
【解析】(1)∵日銷售量y(件)與銷售時(shí)間x(天)之間的關(guān)系式是y=,
∴第15天的日銷售量為2×15=30(件).
(2)當(dāng)0【解析】(2)由銷售單價(jià)p(元)與銷售時(shí)間x(天)之間的函數(shù)圖象得
p=,
①當(dāng)0日銷售額=40×2x=80x,
∵80>0,∴日銷售額隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=20時(shí),日銷售額最大,最大值為80×20=1 600(元);
②當(dāng)20日銷售額=(50-x)×2x=-x2+100x=-(x-50)2+2 500,
∵-1<0,∴當(dāng)x<50時(shí),日銷售額隨x的增大而增大,∴當(dāng)x=30時(shí),日銷售額最大,最大值為2 100元,
綜上,當(dāng)0(3)在銷售過(guò)程中,若日銷售量不低于48件的時(shí)間段為“火熱銷售期”,則“火熱銷售期”共有多少天
【解析】(3)由題意得:當(dāng)0當(dāng)30∴當(dāng)24≤x≤32時(shí),日銷售量不低于48件,
∵x為整數(shù),∴x的整數(shù)值有9個(gè),
∴“火熱銷售期”共有9天.
【C層 創(chuàng)新挑戰(zhàn)(選做)】
14.(模型觀念、運(yùn)算能力、應(yīng)用意識(shí))(2024·鹽城中考)請(qǐng)根據(jù)以下素材,完成探究任務(wù).
制定加工方案
生 產(chǎn) 背 景 1 ◆某民族服裝廠安排70名工人加工一批夏季服裝,有“風(fēng)”“雅”“正”三種樣式. ◆因工藝需要,每位工人每天可加工且只能加工“風(fēng)”服裝2件,或“雅”服裝1件,或“正”服裝1件. ◆要求全廠每天加工“雅”服裝至少10件,“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等.
生 產(chǎn) 背 景 2 每天加工的服裝都能銷售出去,扣除各種成本,服裝廠的獲利情況為: ①“風(fēng)”服裝:24元/件; ②“正”服裝:48元/件; ③“雅”服裝:當(dāng)每天加工10件時(shí),每件獲利100元;如果每天多加工1件,那么平均每件獲利將減少2元.
信 息 整 理 現(xiàn)安排x名工人加工“雅”服裝,y名工人加工“風(fēng)”服裝,列表如下: 服裝 種類加工人 數(shù)(人)每人每天加 工量(件)平均每天 獲利(元)風(fēng)y224雅x1正148
探 究 任 務(wù) 任 務(wù) 1 探尋變量關(guān)系 求x,y之間的數(shù)量關(guān)系.
任 務(wù) 2 建立數(shù)學(xué)模型 設(shè)該工廠每天的總利潤(rùn)為w元,求w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.
任 務(wù) 3 擬定加工方案 制定使每天總利潤(rùn)最大的加工方案.
【解析】任務(wù)1:根據(jù)題意安排70名工人加工一批夏季服裝,∵安排x名工人加工“雅”服裝,y名工人加工“風(fēng)”服裝,
∴加工“正”服裝的有(70-x-y)人,
∵“正”服裝總件數(shù)和“風(fēng)”服裝相等,
∴(70-x-y)×1=2y,整理得:y=-x+;
任務(wù)2:根據(jù)題意得:“雅”服裝每天獲利為:
x[100-2(x-10)],∴w=2y×24+(70-x-y)×48+x[100-2(x-10)],
整理得:w=-2x2+72x+3 360(x≥10).
任務(wù)3:由任務(wù)2得w=-2x2+72x+3 360=-2(x-18)2+4 008,∴當(dāng)x=18時(shí),獲得最大利潤(rùn),y=-×18+=,∴x≠18,∵拋物線開口向下,∴取x=17或x=19,當(dāng)x=17時(shí),y=,不符合題意;當(dāng)x=19時(shí),y==17,符合題意;∴70-x-y=34,
綜上:安排19名工人加工“雅”服裝,17名工人加工“風(fēng)”服裝,34名工人加工“正”服裝,即可獲得最大利潤(rùn).

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