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第4招 線段成比例，平行線給力
在平面幾何問題中，涉及比例線段的問題處處都是.對這類問題的求解，往往要設法構建平行線，充分利用平行線分線段成比例這一基本事實進行探究.這是因為平行線分線段成比例這一基本事實是研究相似形的最基本、最重要的理論依據.它一方面可以直接判定線段成比例；另一方面，當難以證明有關比例成立時，常要利用這一基本事實把兩條線段的比“轉移”成另兩條線段的比來分析.如圖4-1所示，設直線 p 分別交直線l1,l2,l3于點A,B,C,直線n分別交直線l1,l2,l3于點 D,E,F.若當l ∥l ∥l 時,則 (或 這樣一來，我們就可把研究 的問題轉化為研究‘ 的問題.
因此，線段成比例最需要想到的就是平行線.這招輔助線我們可將它表述為：
線段成比例，平行線給力.
例1 如圖4-2所示，在△ABC中，已知E，F是BC邊上的三等分點，BM是AC邊上的中線,AE,AF分別與BM交于點 D,G,求BD:DG:GM.
解析 過點M作PM∥BC交AE 于點 P,交AF于點 N.(線段成比例，平行線給力)
如圖4-3所示,設BC=3x,
∵E,F是BC邊上的兩個三等分點,∴BE=EF=CF=x.
∵M為AC 的中點,PM∥EC,
(線段成比例，平行線給力)
(線段成比例，平行線給力)
(線段成比例，平行線給力)
設MD=2a,則 故
由此可得BD:DG:GM=5:3:2.
點評 本題考查了平行線分線段成比例定理，考查三角形中位線定理，考查計算推理能力.解題關鍵在于作出平行于 BC 的輔助線PM，將三等分點及中線的信息串通起來，并利用比例線段定理先確定 PM、MN 與BC 的關系式，進而求出所要求的線段比.本題充分體現了轉化思想在解題中的作用.
例2 (1) 如圖4-4所示,在△ABC中,D 是BC 邊上的一點,則△ABD與△ADC有一個相同的高，它們的面積比等于相應的底之比，記為： 的面積分別用S△ABD,S△ADC:表示)，現有 則、S△ABD : S△ADC= .
(2)如圖4-5所示,在△ABC中,E,F分別是BC,AC邊上的點,且BE:EC=1:2,AF:FC=1:1,AE與BF 相交于點G,過E點作EH∥BF交AC于點H,依次求 FH:HC,AG:GE與BG:GF的值.
(3)如圖4-6所示,在△ABC中,點 P 在邊AB 上,點M,N在邊AC上,且有AP=PB,AM=MN=NC,BM,BN與CP 分別交于點R,Q,已知△ABC的面積為1,求△BRQ的面積.
解析 (1)在圖4-4中,
∴DC=2BD.
令hA為點A 到BC 邊的距離，
則有
故答案為1：2.
(2)在圖4-5中,∵EH∥BF,(線段成比例,平行線給力)
即 FH: HC=1:2.
所以
即AG:GE=3:1.
從而可得 即BG:GF=1:1.
所以FH: HC,AG:GE與BG:GF的比依次為1:2,3:1,1:1.
(3) 解法 1 如圖 4-7 所示,過點 P 作PD∥AC,交BM于點D,過點R作RE∥AC,交BN 于點 E.(線段成比例，平行線給力)
∵AP=PB,∴BD=DM,從而可得AM=2PD.
∵AM=MN=NC,∴MC=4PD.
∵PD∥MC,
從而
從而
∴PR:RQ:QC=2:3:5.
解法2 依題意,△ABC 的面積為1,結合中線 CP,得△BPC的面積為
由前問的啟示,過點 P作PG∥AC,交BM于點D,交 BN于點G,如圖4-8所示.
則可得 且
由此可得R 為PC 的五等分點，Q為 PC 的中點.
∵PR+RQ+QC=PC,
∴S△BPR : S△BRQ : S△BQC=2:3:5.
故
點評 本題是相似形的綜合題，主要考查平行線分線段成比例定理，同高的兩三角形面積的關系，熟練掌握平行線分線段成比例定理是關鍵.第(1)問，根據三角形面積公式，利用共高的兩個三角形面積的比就是對應底邊的比是解題的基本思路；第(2)問，直接利用平行線分線段成比例定理分析是解題的必由之路；第(3)問，有一定的難度.解法1關鍵在于能否快速地作出輔助線 PD∥AC，RE∥AC，利用平行線分線段成比例定理挖掘 又根據RE∥MC,挖掘 PR:RQ:QC=2:3:5,再利用共高的兩三角形面積的關系分析.這種步步推證的作法頗有創意.解法2 充分利用前問的啟示，作輔助線 PG∥AC，挖掘點 R 為 PC 的五等分點，Q為PC 的中點，發現 并利用共高的三角形對面積進行分析，一舉兩得，促使問題獲得巧解.本解法注重將題設信息及已推得的結論進行綜合分析，具有較大的探究性，充分體現了“借前結論攻后題”的戰術思想.
例3 如圖4-9所示,在四邊形ABCD中,已知AB∥CD,AB=b,CD=a,E為AD邊上的任意一點,EF∥AB,且EF交BC于點F.某學生在研究這一問題時，發現如下事實：
①當 時，有
② 當 時，有
③當 時，有
于是，當 時，參照上述研究結論，
請你猜想用k 表示EF 的一般結論，并給出證明.
解析 解法1 猜想： 證明如下：
在圖4-10中，過點E作BC 的平行線交AB 于點G，交 CD的延長線于點 H.(線段成比例，平行線給力)
∵AB∥CD,
∴∠EAG=∠EDH,∠EGA=∠EHD.
∴△AGE∽△DHE,從而
又EF∥AB∥CD,且易知CH=EF=GB,
∴DH=EF-a,AG=b-EF.
從而可得
解得
解法2 猜想： 證明如下：
在圖4-11中,過點E作EG∥BC交AB 于點G,過點D作DP∥BC
交AB 于點 P.(線段成比例，平行線給力)
∵EF∥AB∥CD,
∴四邊形 EFBG、四邊形 DCBP 均為平行四邊形.
由EG∥DP,得
從而可得AP=AG+GP=(1+k)AG,故
所以
點評 本題主要考查平行線分線段成比例定理，考查從特殊到一般的探究、推理能力.解法1通過輔助線GH，將相關的已知條件集結于兩平行線間的線段來分析，挖掘△AGE∽△DHE，具有較大的探究性.解法 2 通過輔助線 EG，DP 挖掘四邊形 EFBG、四邊形DCBP 均為平行四邊形，再利用平行線分線段成比例這一基本事實來處理.由本題的求解可體會到，從一些具體的問題中發現一些規律，進而作出一般性的猜想，然后加以證明或否定.這種探究、猜想、證明的過程是數學基本思想的體現.
跟蹤訓練
1. 如圖所示,在△ABC中, AD交CE 于點F,則 的值為( ).
A. B. 1 C. D. 2
2. 如圖所示，在 中,D 是AC 的中點,E 是BD 的三等分點,AE的延長線交BC 于點 F.
(1) 求的值.
(2) 求的值.
3. 如圖所示，在 中,AD 為BC 邊上的中線,F為AB 上任意一點,CF交AD 于點E,求證:AE·BF=2DE·AF.
4. 在 中，D為邊BC的中點，E為邊AC上的任意一點，BE交AD于點O.某學生在研究這一問題時，發現了如下的事實：
①如圖1所示，當 時，有
②如圖2所示，當 時，有
③如圖3所示，當 時，有
在圖4中，當 時，參照上述研究結論，請你猜想用n表示 的一般結論，并給出證明.(其中n為正整數)
答案
1. C 解法1 如圖1所示，設M，N為AB上的四等分點，P為BC上的三等分點，過點 D作DH∥AB,交CE于點 H,
由圖可得DH∥ME,且DH=ME=AE,
∴四邊形 AEDH 為平行四邊形.
∴AF=FD,EF=FH. ①
又由DH∥AB,D為BC 的三等分點,
得
∴EF=FH=HC,FC=2EF. ②
由①②,得 故選 C.
解法2 作EG∥BC交AD 于點G,如圖2所示,
則 戰戰
從而可得
作DH∥AB交CE于點H,則
則 故選 C.
2. (1) 解法1 過點 D作DG∥BC,交AF于點G,如圖所示.
∵E是BD 的三等分點,可得△BEF∽△DEG.
則
又 D為AC 的中點,
解法2 過點 D作DM∥AF交BC 于點M,如圖所示.
由平行線分線段成比例定理，得
從而可得
又 D為AC的中點，則M為FC中點.
從而可得FC=2FM,所以
(2) 由(1)解法2知,則
即S△BDM=9S△BEF.
∵D是AC的中點,
即
3. 證明 過點 D作DG∥AB交CF于點G,如圖所示.
∵DG∥AF,∴∠FAE=∠GDE,∠AFE=∠DGE.
又D為BC的中點,DG∥BF,
∴AE·BF=2DE·AF.
4. 依題意，可以猜想：
當 時，有 成立.
證明 過點 D作DF∥BE交AC 于點F.
因為D是BC 的中點，所以 F是EC 的中點.
由 可知 (分比定理)
所以 (合比定理)
由此可得

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