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第11招 切線弦切角牽連，切點(diǎn)半徑是關(guān)鍵
在題目給出的條件中，當(dāng)涉及圓的切線時(shí)，往往要考慮相應(yīng)的弦切角、圓周角與過(guò)切點(diǎn)的半徑等輔助線.一般說(shuō)來(lái)，這類輔助線就是為正確運(yùn)用弦切角定理及其性質(zhì)而創(chuàng)建的.因此，對(duì)一些與圓的切線有關(guān)的問(wèn)題的求解，一旦作出了這些輔助線，立馬就能將有關(guān)切線的信息轉(zhuǎn)換為解題所需要的角、或垂直等關(guān)系的信息，促使解題思路活躍起來(lái)，從而迅速地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.此招輔助線我們可將它表述為：
切線弦切角牽連，切點(diǎn)半徑是關(guān)鍵.
例1 如圖11-1 所示,AC是⊙O的直徑,PA切⊙O于點(diǎn)A,弦BC∥OP,OP 交⊙O于點(diǎn)D,連接PB.
(1) 求證:PB是⊙O的切線.
(2) 若 PA=3,PD=2,求⊙O 的半徑R的長(zhǎng).
解析 (1) 證明:連接OB,如圖11-2所示.
(切點(diǎn)半徑是關(guān)鍵)
∵OP∥BC,
∴∠AOP=∠C,∠BOP=∠OBC.
∵OB=OC,
∴∠C=∠OBC.
∴∠AOP=∠BOP.
∵OA=OB,OP=OP,
∴△AOP≌△BOP.
∴∠OBP=∠OAP.
∵PA切⊙O于點(diǎn)A,
∴∠A=90°.
從而可得∠OBP=90°,即OB⊥PB.
故 PB是⊙O的切線.
(2) ∵PA是圓的切線,∴OA⊥AP.
∴△AOP 是直角三角形.
在 Rt△AOP 中,由勾股定理,得( 解得
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的切線性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理等基本知識(shí)的綜合運(yùn)用，難度不大.第(1)問(wèn)，要證 PB為⊙O的切線，通過(guò)連接OB，即為切點(diǎn)半徑，構(gòu)造全等三角形是解題的基本途徑.第(2)問(wèn)，亦可用切線定理求解，讀者不妨試試.
例2 如圖11-3 所示,已知 AB 是⊙O的直徑,BC,EF是⊙O的弦,且 EF⊥AB,垂足為G,交BC于點(diǎn)H,CD與FE 延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,CD=DH.
(1) 求證:CD是⊙O的切線.
(2)若H 是弦BC 的中點(diǎn),AB=10,EF=8,求CD的長(zhǎng).
解析 (1)如圖11-4所示，連接OC.(切點(diǎn)半徑是關(guān)鍵)
∵∠ACB=90°,OC=OA,
∴ ∠ACO = ∠CAO, ∠CAO + ∠B = 90°,∠BHG+∠B=90°.
∴∠CAO=∠BHG.
∵CD=DH,∴∠DCH=∠ACO.
∴∠DCH+∠HCO=∠ACO+∠OCH=90°.
∴OC⊥DC.
故CD是⊙O的切線.
(2) 解法1 連接OH,OF,如圖11-5 所示.
∵AB=10,EF=8,EF⊥AB,在 Rt△OGF 中，由勾股定理與垂徑定理，
∴EG=FG=4,OG=3.∴BG=2.
∵O為圓心,H 為弦BC 中點(diǎn),
∴OH⊥BC,BH=CH.
由此可得GH為 Rt△OHB斜邊上的高，由射影定理,得BH =BG·BO=2×5.∴BH= 10.
∵HG =OG·GB=2×3=6,∴HG= ( *)
過(guò)點(diǎn) D作DM⊥CH,垂足為M.
∵∠DHM=∠BHG,∠DMH=∠BGH=90°,
∴△DHM∽△BHG.
即 得
解法2 上接解法1中的(*)，如圖11-6所示.
設(shè)CD=DH=x.
在 Rt△ODC和Rt△ODG中,
即 解得
故CD的長(zhǎng)為
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的切線的證明，及切線長(zhǎng)的求法，考查圖形思維、邏輯推理能力.第(1)問(wèn)亦可用∠OBC+∠BHG=90°,推出∠OCB+∠DCH=90°來(lái)處理.一般地，證明一條直線是圓的切線，只要證明該直線經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)，且垂直于這條半徑即可.第(2)問(wèn),解法 1 通過(guò)作 DM⊥CH,垂足為 M,再用△DHM∽△BHG的相似比來(lái)突破的，是解題的基本思路；解法2 通過(guò)發(fā)現(xiàn)OD 是 Rt△OCD和Rt△ODG公共斜邊，充分利用勾股定理進(jìn)行探究，頗有創(chuàng)意.
例 3 如圖11-7所示,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上的一點(diǎn),連接AC,BC,OD⊥BC,垂足為E,交⊙O于點(diǎn) D,連接CD,AD,AD與BC 交于點(diǎn)F，CG與BA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.
(1)求證:△ACD∽△CFD.
(2) 若∠CDA=∠GCA,求證:CG為⊙O的切線.
(3)若 求tan∠CDA 的值.
解析 (1) 證明:
∴∠CAD=∠FCD.(等圓周角等弧、弦)
又∠ADC=∠CDF,
∴△ACD∽△CFD.
(2) 證明:連接OC,如圖11-8所示.
(切線弦切角牽連，切點(diǎn)半徑是關(guān)鍵)
∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°.
∴∠ABC+∠CAB=90°.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∵∠CDA=∠OBC,∠CDA=∠GCA,
∴∠OCB=∠GCA.
∴∠OCG = ∠GCA +∠OCA =∠OCB+∠OCA=90°.
∴CG⊥OC.
∵OC 是⊙O 的半徑,∴CG 是⊙O的切線.
(3) 連接BD,如圖11-9所示,則有∠CAD=∠CBD,OD⊥BC.
(直徑垂弦平分弦，平分兩弧圖體現(xiàn))
設(shè)DE=x,OD=OB=r,則OE=r-x,BD=3x.
于是,在 Rt△BDE中,有
在 Rt△OBE中,(
即 整理得r= x,∴AB=2r=9x.
在 Rt△ABC中,
整理得AC=7x.
點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題目，考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)定義等知識(shí).本題綜合性強(qiáng)，第(1)(2)兩問(wèn)關(guān)鍵在于熟練掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理和勾股定理.第(3)問(wèn)關(guān)鍵難就難在：一、能否將∠CAD 的正弦值表示為線段 DE 與 BD 的比，二、能否創(chuàng)設(shè)輔助量DE=x,挖掘BD=3x,AB=9x,AC=9x,再利用正切比求得∠CDA 的值.
跟蹤訓(xùn)練
1. 如圖所示,已知△ABC 內(nèi)接于⊙O,直線l∥AC交線段BC 于點(diǎn) D,交線段 AB 于點(diǎn)E,交⊙O于點(diǎn)G,F,交⊙O在點(diǎn)A 的切線于點(diǎn)P.若 PE=6,ED=4,EF=6,則 PA 的長(zhǎng)為
2. 如圖所示,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AD 和過(guò)點(diǎn)C 的切線互相垂直，垂足為D，求證：AC平分∠DAB.
3. 如圖所示,PA 為⊙O 的切線,A 為切點(diǎn),過(guò)點(diǎn) A 作OP 的垂線AB,垂足為C,交⊙O于點(diǎn)B,延長(zhǎng) BO與⊙O交于點(diǎn)D,與PA 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.
(1) 求證:PB為⊙O的切線.
(2)若 求 sin E 的值.
4. 如圖所示，已知AB是⊙O的直徑，C是AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)E,AD⊥CD,垂足為D.
(1) 求證:AE平分∠DAC.
(2)若AB=4,∠ABE=60°.
①求AD的長(zhǎng).②求圖中陰影部分的面積.
答案
1. 2 由圖易知,△BDE∽△PAE,記 PG=y,則 ∴EB·EA=EP·ED,即EB·EA=6×4.
又由相交弦定理,得EB·EA=EG·EF,
即EB·EA=(6-y)·6,∴y=2.
由切割線定理，得
所以 故填
2. 證法1 ∵AD⊥CD,則∠DAC+∠DCA=90°.
又 CD為切線,則∠ECB=∠BAC.(切線弦切角牽聯(lián))
而∠BCE+∠ACD=90°,∴∠BCE=∠CAD.
∴∠BAC=∠CAD,即AC平分∠DAB.
證法2 連接OC，如圖所示，
∵CD為切線,∴OC⊥CD.(切點(diǎn)半徑是關(guān)鍵)
又AD⊥CD,∴OC∥AD.
從而∠DAC=∠ACO.
又∠ACO=∠OAC,∴∠OAC=∠CAD,即AC平分∠DAB.
3. (1) 證明：連接OA，(切點(diǎn)半徑是關(guān)鍵)如圖1所示.
∵PA為⊙O的切線,∴∠PAO=90°.
∵OA=OB,OP⊥AB,垂足為C,
∴BC=CA,PB=PA.(三線合一常用到)
在△PBO和△PAO中
∴△PBO≌△PAO(SSS).
∴∠PBO=∠PAO=90°.
故 PB為⊙O的切線.
(2) 解法1 連接OA,AD,如圖2所示.
∵BD是直徑,∴∠BAD=90°.
由(1)知∠BCO=90°,∴AD∥OP.
∵BC=CA,OB=OD,
∴OC 是△ABD的中位線.∴AD=2OC.
設(shè)OC=2t,則 BC=3t,AD=4t.
∵∠OBC+∠PBC=90°,∠BOC+∠OBC=90°,∴∠BOC=∠PBC.
∵∠OCB=∠BCP,∴△PBC∽△BOC.
即
設(shè)EA=8m,EP=13m,則PA=5m.
解法2 由(1)知,∠EBC=∠EAD,如圖2所示.
又∠BEA=∠AED,∴△BEA∽△AED.
由此可得 .(r為⊙O的半徑)
又
即 故
又在 Rt△OEA中,
4. (1) 證明:連接OE,如圖所示,
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)E.∴OE⊥CD.
∵AD⊥CD,∴OE∥AD.∴∠DAE=∠AEO.
∵AO=OE,∴∠AEO=∠OAE.
∴∠OAE=∠DAE,即AE平分∠DAC.
(2)①∵AB為直徑,
∴∠AEB=90°,∠ABE=60°,∠EAB=30°.
在 Rt△ADE中,∠DAE=∠BAE=30°.
在 Rt△ABE中,有
從而可得
②∵OA=OB,∴∠AEO=∠OAE=30°,∠AOE=120°,
由此可得，陰影部分的面積為：

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