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第15招 角角有加減，拆并尋方便
在題目給出的條件中，當涉及角的和、差的信息時，往往要對圖形中的相關角進行拆分或合并改造.因為將一角分割成兩小角的和，或將一角的邊繞頂點旋轉使之等于另一角，或利用平行線的關系將一角轉移到另一適當的位置，以便我們從中挖掘相關角與角相互間的內在關聯，由此導出圖形的相似，或圖形的全等，或角的相等，從而促使問題迅速獲得解決.此招輔助線我們可將它表述為：
角角有加減，拆并尋方便.
例1 如圖 15--1 所示,四邊形 ABEH,HEFM,MFCD 是三個相等的正方形.
(1) 求證:△AEF∽△CEA.
(2)求∠AFB+∠ACB= °.
解析 (1) 證明 設正方形 ABEH,HEFM,MFCD的邊長為a,則AE= a,EF=a,EC=2a.
由此可得
又∠AEF=∠CEA,
∴△AEF∽△CEA.
(2) 解法 1 由(1)知 △AEF∽△CEA.
∴∠ACE=∠FAE.
∵四邊形ABEH 為正方形，
∴AB=BE.∴△ABE為等腰直角三角形,故∠AEB=45°.
又∠AEB=∠EAF+∠AFB,∠EAF=∠ACE,∠ACE=∠CAD,
∴∠AFB+∠CAD=45°.
故填45.
解法2 為了方便，采用并角法構建新的等量關系進行轉化.
以 BC為邊,在∠ACB的外部作∠BCG=∠AFB,使CG交HE 的延長線于點G，連接AG，如圖15-2所示.
(角角有加減，拆并尋方便)
由圖可得∠AFB+∠ACB=∠ACG.
于是，問題等價于求∠ACG的度數.
由作圖知,Rt△EGC≌Rt△BAF≌Rt△HAG.
∴GC=AG.
∵∠BCG=∠BFA=∠HGA,∠EGC=∠BAF=∠HAG,
∴∠AGC=∠EGC+∠HGA=∠HAG+∠HGA=90°.
故△AGC是等腰直角三角形.
∴∠AFB+∠ACB=45°.
故填45.
點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形的定義和性質、正方形的性質.第(1)問注重代數的運算，通過設正方形的邊長為a,推證△AEF∽△CEA.第(2)問解法1注重(1)的結論的運用，體現了“借前結論攻后題”的解題策略；解法2是從并角的思路來突破的，體現了“角角有加減，拆并尋方便”的解題策略.
例2 如圖 15-3 所示,在△ABC 中,已知∠B>∠C,AD 是BC 邊上的高,AE平分∠BAC,求證：
解析 證法1 在△ABC中，由三角形內角和定理，得
∵AE平分∠BAC,
∵AD是BC 邊上的高,∴∠BAD=90°-∠B.
證法2 延長 AB 至點M,使AM=AC,連接 EM,如圖15-4所示.
在△AEC與△AEM中,
∴△AEC≌△AEM(SAS).∴∠C=∠M,∠AEC=∠AEM.
記∠ABC=∠1,則∠ABC=∠M+∠BEM=∠C+∠BEM.
(角角有加減，拆并尋方便)
過點 A 作AH⊥ME,交 ME的延長線于點 H,又AD⊥DE,
∴A,D,E,H四點共圓,且AE 為直徑.
∴∠BEM=∠DAH.
∵∠CEH=∠MEB,∴∠AEH=∠AED.
從而∠DAE=∠HAE=90°-∠AED.
∴∠DAH=2∠DAE,即
從而結論得證.
點評 本題主要考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，三角形的高線，是基礎題，準確識圖是解題的關鍵所在.證法 1 側重于等量代換.證法 2 側重于角的轉移，將∠ABC 轉換成∠M 與·∠BEM之和，并活用了“圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角”這一性質.凸顯了“角角有加減，拆并尋方便”的戰術思想.
例3 如圖 15 - 5所示，在平行四邊形ABCD中,點E是AB 邊上一點,CE=AB,DF⊥BC,垂足為 F,連接DE,EF.
(1) 求證:
(2) 若E是AB 邊的中點,求證:
解析 (1) 證明:∵CE=AB,AB=CD,
∴CE=CD,故△CDE是等腰三角形.
(2) 證法1 延長DE,CB,設交點為 N,
過點E作EH∥AD交DC于點 H,如圖15-6所示，
則∠DEF=∠N+∠1. (*)
(角角有加減，拆并尋方便)
∵E是AB 的中點,∴AE=BE.
由平行線截線段成比例的性質，得E也是DN 的中點，即DE=EN.
∵DF⊥BC,∴△DFN是直角三角形.
從而可得 EF=EN,∴∠1=∠N. ( * *)
由(*)(* *),得∠DEF=2∠1.
由此可得
證法 2 延長 DA,FE,設交點為 M,如圖15-7所示,
則∠DEF=∠M+∠3.(角角有加減,拆并尋方便)
∵四邊形ABCD 是平行四邊形，
∴AD∥BC,DF⊥BC.∴DF⊥AD,∠M=∠EFB.
∵E是AB 的中點,∴AE=BE.
又∠AEM=∠BEF,
∴△AEM≌△BEF(AAS).∴ME=FE.
又DF⊥DM,故△MDF是直角三角形,∴ME=DE=EF.
∴∠M=∠3.∴∠DEF=∠M+∠3=2∠M.
由此可得
點評 本題考查了平行四邊形的性質和判定，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質等知識，考查邏輯推理能力.第(1)問，關鍵在于挖掘△CDE是等腰三角形.第(2)問，證法1先延長 DE，CB，再由輔助線 EH 將∠DEF 分割成∠N 與∠1的和,挖掘△DFN是直角三角形，利用直角三角形斜邊上中線的性質證得∠1=∠N，頗有創意.證法2巧用輔助線 EM與平行線的關系將∠EFB 轉移到∠M，構造全等三角形，并充分利用外角和定理進行探究，也是一種好的思路.兩種證法都凸顯了“角角有加減，拆并尋方便”的解題思想.
跟蹤訓練
1. 如圖所示,在△ABC中,點 D 是BC 邊上一點,已知∠DAC=α,∠DAB=90°-α/ ,CE平分∠ACB交AB 于點E,連接DE,則∠DEC的度數為( ).
A. α/ B. α2 D. 45°-α
2. 如圖所示,在△ABC中,AB>AC,AD是中線,AE 是角平分線,CF⊥AE,垂足為 F,連接 DF,給出以下結論:
①DF∥AB;
其中正確的是 .(填寫序號)
3. 閱讀與推理.
【閱讀】三角形的外角定理：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
例如:如圖 1 所示,∠ACD 是△ABC 的一個外角,則有∠ACD=∠A+∠B.理由是:∠ACD+∠ACB=180°,∠A+∠B+∠ACB=180°.
【實踐】小軒在課外書上看到這樣一題：在五角星形 ABCDE 中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度數.小軒思考:∠AFG是△FEC 的外角，根據“三角形的外角定理”可得∠AFG= + .
類似地,∠AGF= + ,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °.
【應用】如圖3所示,∠MON=90°,點 A,B分別在OM,ON上運動(不與點O重合)，BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線交∠OAB的平分線于點 D.試問：隨著點 A，B的運動，∠D 的大小會改變嗎 如果不變，求∠D 的度數；如果改變，請說明理由.
答案
1. B 過點 E作EM⊥AC,垂足為M,EN⊥AD,垂足為 N,EH⊥BC,垂足為 H,如圖所示.
∴AE平分∠MAD.∴EM=EN.
∵CE平分∠ACB,∴EM=EH.∴EN=EH.
∴DE平分
由三角形外角可得∠1=∠DEC+∠2,
而∠ADB=∠DAC+∠ACB,
故選 B.
2. ①③④ 對于①:延長CF 交AB 于點G,如圖所示.
∵AE平分∠BAC,∴∠GAF=∠CAF.
∵AF⊥CG,∴∠AFG=∠AFC.
在△AFG和△AFC中
∴△AFG≌△AFC(ASA).
∴AC=AG,GF=CF.
又 D是BC的中點,∴DF是△CBG的中位線.
∴DF∥AB,故①正確.
對于②：無法得出 故②錯(只有當AC⊥AB時才有可能).
對于③:∵DF是△CBG的中位線,
故③正確.
對于④:延長AD到點M使AD=DM,如圖所示.
在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB(SAS).∴BM=AC.
∵AB-BM故④正確.
故答案為①③④.
3.【實踐】∠C,∠E,∠B,∠D,180°
在△CEF中,可得∠AFG=∠C+∠E.
在△BDG中,可得∠AGF=∠B+∠D.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠AFG+AGF+∠A=180°.
故答案為∠E,∠C,∠B,∠D,180°.
【應用】設AD與BO 相交于點E,
故∠D的度數不發生改變，且∠D=45°.

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