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第6招 平行四邊形，常連對角線
平行四邊形是平面幾何中最常見的中心對稱圖形，它具有兩組對邊分別平行且相等，對角對應相等的特征.當題設中有平行四邊形的條件時，往往要主動連接其對角線，由此獲得全等三角形，如圖6-1所示.對于只有一組對邊平行的四邊形，常要設法構建平行四邊形進行分析，如圖6--2所示.靈活運用平行四邊形的性質，可解決許多角的相等、線段的相等、面積的相等問題.這招輔助線我們可將它表述為：
平行四邊形，常連對角線.
為了方便，我們將平行四邊形的性質歸納為：
對角線，互平分，對邊平行且相等.
正方形、菱形、矩形都是特殊的平行四邊形，因此，平行四邊形的這些性質在正方形、菱形、矩形等特殊的四邊形中也是適用的.
例1 如圖6-3所示，在平行四邊形ABCD中，已知AC與BD 交于點O,E為AD 延長線上的一點,OE 交CD 于點F,EO延長線交AB 于點G,求證:
解析 證明 延長CB與EG,設其交點為 H,過點 H作HP∥AB,且HP=AB,連接AP,如圖6-4所示,則四邊形ABHP 為平行四邊形.(對邊平行且相等)
在△EHP中,
從而
在△OED 與△OBH 中,OD=OB,
∠DOE=∠BOH,∠OED=∠OHB,
∴ △OED≌△OHB(AAS).
從而
點評 本題主要考查學生對相似三角形的判定與性質的理解，考查平行四邊形的性質的運用.題設條件雖簡潔，但求證式中的各線段又過于“分散”，因此，解題的關鍵是利用平行四邊形的性質，延長CB 與EG 交于點 H，添加 BA 的平行線 HP 的輔助線，構造平行四邊形APHB，將有關線段轉移，“集中”到一個三角形△EHP 中來探究，充分體現了構建平行線給解題帶來的活力.
例2 如圖6-5所示,在 ABCD中,E,F分別是AB,CD上的點,AE=CF,M,N分別是DE,BF的中點.
(1) 求證:四邊形 ENFM 是平行四邊形.
(2) 若2∠ABC=∠A,求∠A 的度數.
解析(1) 證法1 連接AC,BD,設AC,BD交于點O,如圖6-6所示.(平行四邊形，常連對角線)
連接ON,MO,OF,OE,AF,CE.
∵四邊形ABCD 是平行四邊形,∴OC=OA,O為中心.
∵AE=CF,AE∥CF,
∴四邊形AECF 是平行四邊形.
由此可得點O也是平行四邊形AECF 的中心.
∴E,O,F三點共線,O是EF 的中點. ①
又M是DE 的中點，
∴MN是△EDF 的中位線.
同理可得
又EB=DF,∴ON∥EB∥OM,故M,O,N三點共線,點O是MN 的中點.②
由①②，得點O是四邊形MFNE 的對稱中心.
∴四邊形 MFNE 是平行四邊形.
證法2 ∵四邊形ABCD 是平行四邊形，如圖6-6所示.
∴AD=BC,∠A=∠C.(對邊平行且相等)
又AE=CF,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴∠AED=∠CFB,DE=BF.
又四邊形ABCD 是平行四邊形，
∴DC∥AB.∴∠CFB=∠ABF.
∴ME∥FN.
又M,N分別是DE,BF的中點,且DE=BF,
∴ME=FN.
∴四邊形 ENFM是平行四邊形.
(2) ∵四邊形ABCD 是平行四邊形,
∴∠A+∠ABC=180°.
又2∠ABC=∠A,∴3∠ABC=180°.
∴∠ABC=60°,∠A=120°.
點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，三角形的中位線性質，考查邏輯推理能力.第(1)問，證法1通過連接對角線AC，BD，構建平行四邊形ABCD的中心O，進而挖掘O也是EF的中點，再利用三角形中位線分析，又挖掘O也是MN 的中點，由此得出四邊形ENFM是平行四邊形，體現了“對角線，互平分，對邊平行且相等”的基本思想.解法2
是從全等三角形的角度來分析的，也是常見的思路.第(2)問，充分利用平行四邊形兩鄰角互補的性質分析，是解題的常規思路.思維清晰、自然.
例3 背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個正方形按如圖6-7所示的位置擺放(點E，A,D在同一條直線上),發現BE=DG且BE⊥DG.
小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：
(1)將正方形AEFG繞點A 按逆時針方向旋轉(如圖6-8所示)，還能得到BE=DG，DG⊥BE嗎 若能，請給出證明；若不能，請說明理由.
(2) 把背景中的正方形分別改成菱形 AEFG 和菱形 ABCD，將菱形AEFG繞點 A 按順時針方向旋轉(如圖6-9 所示),試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關系時，背景中的結論BE=DG仍成立 請說明理由.
(3) 把背景中的正方形分別改寫成矩形 AEFG 和矩形 ABCD，且 AB= ,AE=4,AB=8,將矩形 AEFG繞點A 按順時針方向旋轉(如圖6--10所示)，連接DE，BG.小組發現：在旋轉過程中， 的值是定值，請求出這個定值.
解析 (1) 能得到 BE=DG,DG⊥BE.
證明 延長 DG,設 DG與BE 交于點M,如圖6-11所示,
∵四邊形AEFG為正方形，
∴AE=AG,∠EAG=90°. ①
又四邊形 ABCD 為正方形，
∴AB=AD,∠BAD=90°. ②
∴∠EAB=∠GAD. ③
由①②③,得△AEB≌△AGD(SAS).
∴BE=DG,∠ABM=∠MDA. ④
又由④,得A,M,B,D四點共圓.
∴∠DMB=∠DAB=90°,即 DG⊥BE.
(2) 當∠EAG=∠BAD時,BE=DG.
理由如下：
∵∠EAG=∠BAD,如圖6-12所示,
∴∠EAB=∠GAD.
又四邊形 AEFG 和四邊形 ABCD 為菱形，
∴AE=AG,AB=AD.
∴△AEB≌△AGD(SAS).
∴BE=DG.
(3) 解法1 如圖6-13所示,設BE與DG交于點Q,BE與AG交于點P,連接BD，EG.(平行四邊形，常連對角線)
∴AG=6,AD=12.
∵四邊形AEFG和四邊形ABCD 為矩形,
∴∠EAG=∠BAD.∴∠EAB=∠GAD.
∴∠AEB=∠AGD.
∴A,E,G,Q四點共圓.
∴∠GQP=∠PAE=90°,GD⊥EB.
解法2 如圖6-14所示.過點 E作EM⊥DA,交 DA 的延長線于點 M,過點G作GN⊥AB,垂足為 N.
由題意知,AE=4,AB=8.
∴△AME∽△ANG.
設EM=2a,AM=2b,故( 得
則GN=3a,AN=3b,從而 BN=8-3b.
2,
=13×4+208=260.
解法3 如圖6-15 所示.記∠GAB=∠3,∠DAB=∠1=∠EAG=∠2=90°,
連接 BD，EG，(平行四邊形，常連對角線)
則∠EAB=∠2+∠3=∠3+∠1=∠GAD.
( *)
∴△ABE∽△ADG.
設BE與DG 交于點 H,則∠ADH=∠ABH,
故A，H，B，D四點可構成一個圓.
∴∠DAB=∠DHB=90°.
由題意知,AE=4,AB=8,
結合( *),得AG=6,AD=12.
點評 本題主要考查正方形、菱形、矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理等知識，綜合性強，熟練掌握特殊平行四邊形的性質是解題的關鍵.不難發現，在第(3)問中,也有 BE:DG=2:3,讀者不妨試試.
跟蹤訓練
1. 如圖所示,已知 M 為□ABCD 的邊AB的中點，DM交AC 于點E，則圖中陰影部分的面積與□ABCD面積的比值是( ).
A. B.
C. D.
2. 已知,如圖所示,在 ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,CE=CD,點F為CE 的中點,G為CD 上的一點,連接DF,EG,AG,且∠1=∠2.
(1)若CF=2,AE=3,求 BE的長.
(2)求證:
3. 如圖所示，E是平行四邊形ABCD 中AB 延長線上的一點，ED交BC 于點F,求證:S△ABF=S△CEF.
4. 如圖所示,在四邊形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB= ,E,F分別是AB,BC邊的中點,連接AF,CE交于點M,連接BM并延長交CD 于點N,連接DE交AF 于點 P,下列結論:
①∠ABN=∠CBN; ②DE∥BN;
是等腰三角形； ④
其中，正確的有( ).
A. 5個 B. 4個
C. 3個 D. 2個
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答案
1. A 依題意知,
易知△EMA∽△EDC,過點E作EH⊥AM,垂足為 H,交CD于點G，如圖所示.
則點 E到MA，CD的距離分別為：
又設點 D到AB 的距離為h，
則 由此可得：
所以圖中陰影部分的面積與 ABCD面積的比值是
故選 A.
2. (1) ∵CE=CD,點 F 為CE的中點,CF=2,
∴DC=CE=2CF=4.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB=CD=4.
∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得
(2) 證明 過點G作GM⊥AE,垂足為 M.
∵AE⊥BE,GM⊥AE,∴GM∥BC∥AD.
在△DCF和△ECG中.
∴△DCF≌△ECG(AAS).
∴CG=CF.
∵CE=2CF,∴CD=2CG,即G為CD 的中點.
∵AD∥GM∥BC,∴M為AE 中點.∴AM=EM.
∵GM⊥AE,AG=EG,
∴∠AGM=∠EGM,從而∠AGE=2∠MGE.
3. 證法1 連接BD(平行四邊形，常連對角線)，過點D作DH⊥BC，垂足為 H，如圖1所示.
因為四邊形ABCD為平行四邊形，
所以點 A，點 D到BC 的距離都等于DH.
由圖易得 (同底等高)，
同理可得 (同底等高).
證法2 分別過點 D,E作DH⊥BC,EG⊥BC,垂足為G，H，如圖2所示.
∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴BE∥CD.
∴△BEF∽△CDF.
證法3 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥CD.
過點 E作EQ⊥CD,垂足為Q,如圖3所示.
行四邊形ABCD。
平行四邊形ABCD.
平行四邊形ABCD ,
4. B 連接DF,AC,EF,如圖所示.
(平行四邊形，常連對角線)
∵AD∥BC,AB=BC=2AD,F為CB 的中點,
∴AD=FC,且AD∥FC.
∴四邊形ADCF 為平行四邊形.
∵E,F分別為AB,BC的中點,且AB=BC,
∴AE=EB=BF=FC.
對①:在△ABF和△CBE中
∴△ABF≌△CBE(SAS).
∴∠BAF=∠BCE,AF=CE.
在△AME 和△CMF中
∴△AME≌△CMF(AAS).∴EM=FM.
在△BEM和△BFM中
∴△BEM≌△BFM(SSS).∴∠ABN=∠CBN,故①正確.
對②:∵AE=AD,∠EAD=90°,
∴△AED為等腰直角三角形.∴∠AED=45°.
∵∠ABC=90°,∴∠ABN=∠CBN=45°.
∴∠AED=∠ABN=45°.∴ED∥BN,故②正確.
對③：∵四邊形AFCD為平行四邊形，∴AF=DC.又AF=CE,∴DC=EC,則△CED為等腰三角形，故③正確.
對④:∵EF為△ABC的中位線,∴EF∥AC,且
∴∠MEF=∠MCA,∠EFM=∠MAC.∴△EFM∽△CAM.
∴EM:CM=EF:CA=1:2.
設EM=x,則有MC=2x,EC=EM+MC=3x.
設EB=y,則有 BC=2y.
在 Rt△EBC中，根據勾股定理，得
即. ，故④正確.
對⑤:∵E為AB 的中點,EP∥BM,∴P為AM 的中點.
又S△AEM=S△BEM,且
∵四邊形 ABFD為矩形,
又
故⑤錯誤.
正確的有4個.故選 B.

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