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第9招 遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯
當題目給出的條件中涉及弦的概念時，往往要把握其中點與兩端點，并將它們直接與圓心相連，促使隱藏的直角三角形、等腰三角形及其對稱軸(圓的直徑)等相關圖形顯露出來，以便我們從中獲得更多的、有用的隱含信息，快速地找到題眼，合理地運用等腰三角形的性質、垂徑定理、勾股定理來分析、求解有關角、弦及弦心距的度量關系，或圖形的全等、相似等問題.此招輔助線我們可將它表述為：
遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯.
由于垂徑定理“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”與弦有著密切關聯，為了方便，我們可將它簡述為：直徑垂弦平分弦，平分兩弧圖體現.這樣更有益于我們把握與弦有關的輔助線的添加，有益于促進解題的開拓性.
例1 如圖9-1所示，已知 F 是以O 為圓心，BC為直徑的半圓上任意一點，A是弧 BF 的中點，AD⊥BC,垂足為 D,AD交BF 于點E.
(1) 求證:
(2) 試比較線段 BD 與 AE 的大小,并說明理由.
解析 (1) 證明 連接OA,交BF于點G,如圖9-2所示.
(遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯)
因為A 是 的中點，O為圓心，
所以OA⊥BF,從而
(直徑垂弦平分弦，平分兩弧圖體現)
∵AD⊥BC,∴∠ADO=∠BGO=90°.
在△OAD與△OBG中 ∴△OAD≌△OBG,從而可得AD=BG.
(2)AE>BD.理由如下:
連接AC,AB,如圖9-3所示,
∵BC 為直徑,∴∠CAB=90°.(直徑直角互關聯)
∵A是BF的中點,∴∠ABF=∠ACB.
∵∠ACB+∠ABC=90°,∠DAB+∠ABC=90°.
∴∠BAD=∠ACB=∠ABF.
∴BE=AE.
∵BE>BD,∴AE>BD.
點評 本題主要考查了垂徑定理及其推論，考查相似三角形的判定及圓周角定理.一般地，一個圓中有一條不過圓心的弦，若另一條直線具備①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優弧，⑤平分劣弧這五個條件中任意兩個，其他三個條件亦成立.
例2 如圖9-4 所示,已知:⊙O的半徑為5,P 為弦CD 的中點,且CD=8.
(1)若⊙O內有一異于點 P 的點Q，過點 Q 的最短弦長為6，且這兩條弦平行，求PQ 的長.
(2)若過 P 點任作弦MN,AB,試比較 PM·PN與PA·PB 的大小關系，且寫出比較過程.你能用一句話歸納你的發現嗎
(3) 若過P點的弦 求 PC,PD的長.
解析 過點 P 作直徑ST,如圖9-5 所示.
(遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯)
由垂徑定理,得CD⊥ST,則CD⊥OP,連接OD.
依題意知CD=8,OD=5.
∵P為CD的中點,∴PD=4.
在 Rt△OPD 中,根據勾股定理,得OP=3. ①
(1) 設過點 Q 的最短的弦為EF,
則Q為EF 的中點，如圖9-5所示.
因為 EF∥CD,
據平行線性質和垂線性質，知O，P，Q三點共線.
同理可得OQ=4.
由此可得 PQ=1或7.
(2) 連接AM,BN,如圖9-6所示.
∵∠A=∠N,∠M=∠B,
∴△APM∽△NPB.
從而可得 即PM·PN=PA·PB.
易知，此結論可歸納為：
過圓內一定點 P 任意作圓的弦，該弦被 P 點分割的兩線段的積為定值.
(3) 作直徑ST,如圖9-7所示.
(遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯)
由(2)的結論(即相交弦定理)，得
PC·PD=PS·PT=(5-3)(5+3)=16.
又 設PC=x,則
從而可得 解得
即 或
點評 本題的綜合性強，命題極為開放，綜合考查了相交弦定理、垂徑定理、勾股定理以及相似三角形的判定及性質.考查觀察、歸納能力.解題關鍵在于抓住題設信息，先挖掘OP=3這一結論，再進行各個擊破，體現了“借前結論攻后題”的戰術思想.第(1)問就是順著①的思路來分析的.第(2)問實質上是相交弦定理的證明，語句的歸納也可為：過P 引圓的動弦，所得線段積不變.第(3)問先構建直徑ST，利用第(2)問的結論分析是解題的基本思想.
例3 已知AB是⊙O的一條弦,P是⊙O上一點，過點O作MN⊥AP，垂足為M，并交射線 AB于點N，⊙O的半徑為5,AB=8.
(1) 當 P 是優弧 的中點時(如圖9-8所示)，求弦AP 的長.
(2) 當點N與點B 重合時，試判斷：以點O為圓心， 為半徑的圓與直線AP 的位置關系，并說明理由.
(3) 當∠BNO=∠BON,且⊙N與⊙O相切時,求⊙N半徑的長.
解析 (1) 連接 PO并延長交弦AB于點 H,交⊙O于點Q,如圖9-9所示.
(遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯)
∵P是優弧AB的中點，PH經過圓心O，
∴PH⊥AB,AH=BH.
在△AOH中,∠AHO=90°,
在△APH中,∠AHP=90°,
PH=OP+OH=5+3=8,
(2) 當點N與點B 重合時，以點O為圓心， 為半徑的圓與直線AP相交.
理由如下：
作OG⊥AB,垂足為G,如圖9-10所示:
(遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯)
∵∠OBG=∠ABM,∠OGB=∠AMB,
∴△OBG∽△ABM.
即 解得
因為 所以當點N與點B 重合時，以點O為圓心， 為半徑的圓與直線 AP 相交.
(3) ① 當點 N 在線段AB 延長線上時,當⊙N 與⊙O相外切時,作OD⊥AB，垂足為D，如圖9-11所示.(遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯)
∵∠BNO=∠BON,∴BN=OB=5.
∴DN=DB+BN=9.
在 Rt△ODN中,由勾股定理,得
因為⊙N與⊙O相切，
所以⊙N 半徑為
當⊙N與⊙O相內切時，
同理可得，⊙N半徑為
② 當點 N 在線段AB 上時，此時點 P 在弦AB 的下方,如圖9-12 所示,點 N 在⊙O 內部,作OE⊥AB,垂足為 E.
(遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯)
∵∠BNO=∠BON,∴BN=OB=5.
∴EN=BN-BE=1.
在 Rt△OEN中,由勾股定理,得
故圓 N 的半徑為！ 或
綜上所述,當∠BNO=∠BON,且⊙N與⊙O相切時,⊙N半徑的長為 或 或 或
點評 本題是圓的綜合題，考查了垂徑定理、直線與圓的位置關系、相切兩圓的性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、勾股定理等知識.第(1)問，由優弧 的中點，想到作直徑 PQ，并綜合垂徑定理與勾股定理分析是解題的必由之路.第(2)問是探究題，解題關鍵是要找出圓心O到直線AP 的距離OM 與半徑 的大小關系.由此考查輔助線OG⊥AB，利用相似三角形來探究，此作法頗有創意.第(3)問，利用分類討論，先求得ON 的長，再利用兩圓相切的性質來確定解.但無論哪種討論都離不開作弦AB的中點與圓心的連線的輔助線，這就是解題的關鍵所在.
跟蹤訓練
1. 如圖所示,已知AB,CD 是半徑為a 的⊙O的兩條弦，它們相交于AB 的中點P， 30°,則
2. 如圖所示，已知BC為⊙O的直徑，A，F是半圓上異于B,C的兩點,A 是弧BF 的中點,AH⊥BC,垂足為D,BF交AH 于點E.
(1) 求證:AE=BE.
(2) 若BE·EF=32,AD=6,求DE,BD的長.
3. 如圖所示，圓中兩條弦AC，BD 相交于點 P.D是 的中點,連接AB,BC,CD,若 則線段CD 的長為( ).
B. 2
4.如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，點 A的坐標為( 點B 的坐標為(8,0),以AB為直徑的⊙M 交y 軸于C,D兩點,點 P是 的中點，連接CP.
(1) ①求弦CD的長.② 求CP 的長.
(2) 如圖2所示,設Q是 上一點,連接QP,QA,QB,若 PQ=4,求QA-QB 的值.
(3)如圖3所示，過點M作x軸的垂線l，在第一象限⊙M上取一點N(在直線l的右側)，在x軸上取一點G(在點M的右側)，使NM=NG，過M，N兩點的( 交直線l于另一點E,作EF∥NG交⊙O 于點F,求EF的長.
答案
因為P為AB的 中點，連接OP，OA，如圖所示，
則OP⊥AB.(遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯)
在 Rt△OPA 中,易求得
由相交弦定理,得BP·AP=CP·DP,
即 解得
故填
2. (1) 證法1 連接AB,AF,如圖所示.
∵BC是⊙O的直徑,且
(直徑垂弦平分弦)
∵A是BF的中點,.
∴∠BAE=∠ABE.
從而AE=BE.(等圓周角等弧、弦)
證法2 連接AF,AB,AC.如圖所示.
∵A是BF的中點,∴∠ABE=∠AFB.
又∠AFB=∠ACB,∴∠ABE=∠ACB.
∵BC為直徑,∴∠BAC=90°.
又AH⊥BC,∴∠ABE=∠BAE.
∴BE=AE.
(2)∵AH⊥BC,BC是直徑,∴DH=AD=6.(直徑垂弦平分弦)
從而可得AE=6-DE, EH=6+DE.
由相交弦定理,得AE·EH=BE·EF,即(6-DE)(6+DE)=32,解得 DE=2.
在Rt△BDE中,BE=AE=AD-DE=4,DE=2.
由勾股定理，得
3. A 連接OD交AC 于點H，如圖所示.(遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯)
∵D是AC的中點,
∴OD⊥AC,AH=CH=2,從而可得 PH=1.
在Rt△PDH中,
在 Rt△CDH中,
故選 A.
4. (1) ①由題意得OA=2,OB=8,
∵AB⊥CD,∴OC=OD.(直徑垂弦平分弦)
∴OC=4.∴CD=2OC=8.
②連接PM，過點C作CH⊥PM交PM的延長線于點H，再連接CM，如圖1所示.(遇弦須抓中、端點，連接圓心找關聯)
∴∠OMH=∠H=∠COM=90°.
∴四邊形OMHC 是矩形.
∴OM=CH=3,OC=MH=4,從而CM=5,故PM=5.
∴PH=MH+MP=4+5=9.
故在 Rt△PCH中,
(2) 如圖2所示,在線段QA上取一點W,使得QW=QB,連接BW.
∵AB是直徑,∴∠AQB=∠APB=90°.
又
∴QA-QB=QA-QW=AW=4
(3) 如圖3所示,連接EN,FM,FG,NF,設EF交MN 于點J.
∵EF∥GN,∴∠MNG=∠MJF.
∴∠MNF+∠FNG=∠JEM+∠JME.
∵∠JEM=∠MNF,
∴∠JME=∠FNG. ①
∵∠EMG=90°,∴∠JME+∠JMG=90°. ②
∵NM=NG,∴∠NMG=∠NGM. ③
由①②③,得∠FNG+∠NGM=90°,則FN⊥MG.
∴FN∥EM.∴∠MEF=∠EFN.
∴EF=MN=5.

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