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第2招 三角形，有直角，常引斜邊上的高
在題目給出的條件中，當涉及直角三角形的信息時，常要過直角頂點引斜邊上的高，凸顯直角邊在斜邊上的射影.這是因為直角三角形斜邊上的高蘊含信息豐富,如圖 2-1 所示,在 Rt△ABC 中,若∠ACB=90°,CD⊥AB,則有Rt△ABC∽Rt△CBD∽Rt△ACD,AC·BC=CD·AB, AB.因此，一旦作出了直角三角形斜邊上的高這條輔助線，這些性質均可靈活使用.這招輔助線我們可將它表述為：
三角形，有直角，常引斜邊上的高.
直角三角形的這一輔助線引出的結論： AD·BD,AC =AB·AD,BC =AB·BD,就是我們常見的直角三角形射影定理.
為了方便，我們將 即直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項簡述為：高乘高，兩個射影乘得到.
將 ，即直角三角形的兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項簡述為：邊乘邊，對應射影乘斜邊.
直角三角形斜邊上中線也是常用的輔助線，它是該三角形外接圓的半徑，它不僅等于其斜邊的一半，而且還隱藏著兩個等腰三角形.直角三角形的這些性質給我們研究直角三角形的問題增添了活力.為了把握好這一輔助線及其運用，我們可將它表述為：
三角形，有直角，斜邊中線藏妙招.
例1 (1)【問題情境】
射影定理: 如圖2-1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,如果CD⊥AB,垂足為D,那么有:①CD =AD·BD;②AC =AB·AD;③ BC =AB·BD.
請你證明射影定理中的結論③，即.
(2)【結論運用】請直接使用射影定理解決下列問題.
如圖2-2所示，正方形ABCD的邊長為6，O是對角線BD 的中點,點E在CD上,過點C作CF⊥BE,垂足為F,連接OF,
①求證:△BOF∽△BED;
②若 求OF 的長.
解析 (1) 證明:在圖2-1中,∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°.
又∠CBD=∠ABC,∴Rt△CBD∽Rt△ABC.
(2)①證明:如圖2-3所示,連接OC.
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BCD=90°,BC=CD.
∵O是BD的中點,∴OC⊥BD.(三線合一常用到)
故CO為Rt△BCD斜邊BD 上的高. (※)
(三角形，有直角，常引斜邊上的高)
(邊乘邊，對應射影乘斜邊)
∵CF⊥BE,即CF 為 Rt△BCE斜邊BE 上的高.
.(邊乘邊，對應射影乘斜邊)
∴BO·BD=BF·BE,即
∵∠OBF=∠EBD,∴△BOF∽△BED.
②在Rt△BCE中,
在 Rt△OBC中,
∵△BOF∽△BED,∴BE=BOE,即
點評 本題主要考查了直角三角形中的射影定理、勾股定理、正方形的基本性質等,綜合性強.第(1)問,先證 Rt△CBD∽Rt△ABC是解題的必經之路.第(2)問，先構建Rt△CBD斜邊上的高OC，再用射影定理分析是解題的常規思路.若要使求解避開射影定理的敘述，則應在(※)處先簡述一下：先證明△BOC∽△BCD，再用相似比分析.
例2 如圖2-4所示,在 Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,將△ABC繞點A 按逆時針方向旋轉，得到 Rt△ADE.
(1) 點 F 為BC 與DE 的交點,連接AF,求證:FA平分∠DFC.
(2) 對任意的△ABC，此結論是否成立 (不須證明)
(3) 在如圖2-5所示的鈍角三角形中，若. 30°,P為線段AB 的中點,G是線段 BC 上的動點,在△ABC 繞點A 按逆時針方向旋轉的過程中，點G對應的點是G ，直接寫出線段 PG 的最大值與最小值.
解析 (1) 證明:過點A作AM⊥BC,垂足為M,作AN⊥DE,垂足為 N.
(三角形，有直角，常引斜邊上的高)
如圖2-6所示,根據旋轉性質,得 Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AM=AN.(對應邊上的高相等)
∴AF為∠DFC的平分線.
(2) 對任意的三角形ABC結論依然成立.
(3)線段
① 如圖2-7所示,過點 A作AF⊥BC,垂足為 F.
因為△ABC 為鈍角三角形，所以點 F在線段BC 上.
在 Rt△ACF中,
∵AB=8,P 為線段AB 的中點,∴AP=4.
顯然當點G在BC 上運動到AG 與BC 垂直時，即點 F 與點G 重合時，AG取最小值3
此時點G的對應點G1在DE上，且AG1也取最小值
再繞點A 轉動△ADE,易知,當A,P,G1三點共線,即AG ⊥DE時,PG1取得最小，
② 如圖2-8所示，當點 G在BC 上移動至與點C 重合時，AG取最大值6
再繞點 A 旋轉△ADE,易知,當A,P,G1三點共線，即點 G1在線段 BA 的延長線上時，PG1最大，
所以線段 PG1 的最大值為( 最小值為
點評 本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質以及含30°角的直角三角形，考查數形結合思想方法的運用.綜合題，是檢測學生綜合運用知識分析問題、解決問題的好題.第(1)問，先作出直角三角形斜邊上高的輔助線，再用角平分線性質分析是解題的基本思路.第(2)問是第(1)問思路的拓展.第(3)問關鍵在于能否結合圖形探究，并恰當地進行分類討論，并對每一種情形，分別作平移、旋轉兩步探究.
例3 如圖2-9所示,在△ABC中,已知∠ACB=90°,CD為AB 邊上的高線,DE⊥AC,垂足為 E.
(1)若AD=BC,求證:DE=BD.
(2)若G是DE 的中點,延長AG交BC 于點F.求證:F是BC 的中點.
(3)在(2)的條件下,延長CG交AB 于點H,使AH=BH,當AC=4時,求 DE 的長.
解析 (1) 證明 ∵∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°,如圖2-11所示.
∵CD為AB 邊上的高線,∴∠BDC=90°.
∴∠1+∠B=90°.∴∠BAC=∠1.
∵DE⊥AC,∴∠DEA=∠CDB=90°.
在△ADE和△CBD中,
∴△ADE≌△CBD(AAS).
∴DE=BD.
(2) 證明 ∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.
∵DE⊥AC ,∴DE∥BC.
∵G是DE 的中點,∴DG=GE,則 BF=FC.
∴F是BC 的中點.
(3) 連接 HF,過點 H 作 HM⊥AC,垂足為M,連接DM,如圖2-12所示.(三角形,有直角,斜邊中線藏妙招)
∵HM⊥AC,BC⊥AC,∴HM∥BC.
∵AH=BH,
∴H為AB 的中點,且M為AC 邊的中點.
∵CD⊥AB,∴△ADC是直角三角形.
故 DM為Rt△ADC斜邊AC 上的中線,
∵F是BC中點,∴HF∥AC,且
又
在Rt△EDM中,
點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定與性質、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上中線性質、勾股定理等知識，綜合性強.第(1)(2)兩問較基本.第(3)問有一定難度，解題關鍵在于構建Rt△ADC的斜邊上中線 DM，并綜合利用平行線的性質與相似三角形的性質進行分析.
跟蹤訓練
1. 如圖所示,在△ABC中,∠BCA=90°,AM是BC 邊的中線,在中線AM上是否存在一點N，使得∠1=∠2 若存在，請找出這個點 N的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由.
2. 如圖所示,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,在AB 邊上是否存在一點E，使得等式 成立 若存在，請找出這個點；若不存在，請說明理由.
3. 如圖所示,已知在正方形ABCD中,O為AB 的中點,E為AD 上一點，且 求證：
4. 如圖所示,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為 D, 垂足為E.
(1)求證:AB·AC=BC·AD.
(2)在AC邊上是否存在一點F,使得AD =BC·CF·BE 成立 若存在，試找出這個點的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由.
答案
1. 存在，此時點 N是點C 在AM 上的投影.
證明 過點 C作CN⊥AM,垂足為 N,則MN為MC 在AM 上的投影.
由射影定理，得
又由題意知，
又在△BMN與△AMB中,∠BMN=∠AMB,
∴△BMN∽△AMB.∴∠1=∠2.
故在中線AM上存在一點N，使得∠1=∠2，且該點為點C在AM 上的投影.
2. 解法1 在邊 AB上存在點E，使得 成立.探究如下：
過點A作AD⊥BC,垂足為D,又過點 D作DE∥AC交AB 于點E,如圖所示,則有∠BAD+∠B=∠B+∠C=90°,
∴∠BAD=∠C.
∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△ADB∽△CDA.
7
①
又 ②
由①②,得 成立.
所以所作的點 E是所要找的點.
解法2 在邊 AB上存在點E，使得 成立.
探究如下：
因為 AB為直角三角形直角邊，由AB 可想到射影定理.
于是,過點 A作AD⊥BC,垂足為 D,則有.
同理可得
從而可得，點E必滿足：
由平行線截線段成比例的性質知D，E兩點的連線必滿足DE∥AC.
于是,過點 D作DE∥AC交AB于點E,則點E為所求.
3. 證法1 如圖所示,連接OE,OC.
又∠A=∠B=90°,
∴△EAO∽△OBC.∴∠AEO=∠BOC.
又∠AEO+∠AOE=90°,
∴∠AOE+∠BOC=90°.∴∠EOC=90°.
在 Rt△EOC中,∵OK⊥EC,即OK 為 Rt△EOC斜邊上的高,
(射影定理).
證法2 設AB=BC=4a,連接OE,OC,如圖所示.
由題意知,AE=a,OA=OB=2a,ED=3a.
是直角三角形.
又 (射影定理).
4. (1) 證明:在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,
(2)存在,因為式子AD =BC·CF·BE中的字母E,F具有對稱性,
所以由點E為點D 在邊AB 上的投影，可猜測點 F為點D 在AC邊上的投影.
理由如下：過點 D作DF⊥AC，垂足為 F.(常引斜邊上的高)
在Rt△ADB中,DE⊥AB,
由射影定理，得.
同理在 Rt△ADC中,
又在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,
又由(1)知,AB·AC=BC·AD,

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