資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.1直線的相交七大題型（一課一講）
（內容:相交線、垂線及其應用）
【浙教版】
題型一：利用對頂角、領補角的定義判斷圖象
【經典例題1-1】下面四個圖形中，與是對頂角的為（ ）
A． B．
C． D．
【經典例題1-2】下列各圖中，∠1和∠2都是鄰補角的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-1】如圖，與是對頂角的為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-2】下面的四個圖形中，與是對頂角的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】下列圖形中，與互為鄰補角的是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：根據對頂角、鄰補角的性質求角度
【經典例題2】如圖，點O在直線上，已知，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】如圖，直線與相交于點B，，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】如圖，已知是直線上一點，，平分，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】如圖，點在直線上，射線平分，若°，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-4】如圖，已知直線相交于點平分，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-5】如圖，點、、在一條直線上，且，如果平分，那么圖中
【變式訓練2-6】如圖，點O在直線上，平分，，，設，利用方程的思想，求得 ．
題型三：畫垂線（作圖題）
【經典例題3】如圖，平面上有三個點．
(1)選擇恰當的工具按要求畫圖．
①畫直線；
②畫射線；
③畫線段；
④延長線段到使得；
⑤過點作的垂線分別交于點．
(2)通過觀察或測量寫出線段與線段的數量關系．
【變式訓練3-1】下列各圖中，過直線外的點畫直線的垂線，三角尺操作正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-2】已知，平面內三個點，，不在同一條直線上．
(1)按要求畫圖，保留畫圖痕跡；
①畫線段，畫射線，畫直線；
②延長線段到點，使得；
③過點畫直線，垂足為；④連接．
(2)觀察你畫出的圖形，寫出一個圖形中正確的結論．
【變式訓練3-3】如圖，平面上有四個點A、B、C、D，按照要求作圖：
(1)畫出線段．
(2)畫出直線．
(3)在直線上面出與點B距離最短的點E并說明這樣畫的理由．
【變式訓練3-4】如圖所示的正方形網格，所有小正方形的邊長都為，、、都在格點上．
(1)利用網格作圖：過點畫直線的垂線，垂足為點；
(2)線段的長度是點______到直線_______的距離；
(3)比較大小：______（填＞、＜或＝），理由：______．
【變式訓練3-5】根據下列要求畫圖：
(1)連接，畫直線，畫射線；
(2)在直線上找到一點C，使線段是點B與直線上各點的所有線段中長度最短的線段．
題型四：垂線段最短的應用
【經典例題4】如圖，在正方形網格中畫有一段筆直的鐵路及道口、和村莊、．小強從道口到公路，他選擇的路線為公路，其理由為（ ）
A．兩點確定一條直線
B．兩點之間，線段最短
C．垂線段最短
D．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
【變式訓練4-1】下列生活實例中，①用兩顆釘子就能在墻上固定一根木條；②從地到地架設電線，沿著線段架設會節省材料費用；③測量運動員的跳遠成績；④小狗看到食物，會徑直奔向食物．能用“兩點之間線段最短”解釋的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【變式訓練4-2】如圖，點P是直線a外的一點，點在直線a上，且，垂足為點，則下列正確的語句是（ ）
A．線段的長是點P到直線a的距離 B．三條線段中，最短
C．線段的長是點A到直線的距離 D．線段的長是點C到直線的距離
【變式訓練4-3】觀察圖形，點到直線的距離是線段 的長．
【變式訓練4-4】如圖，直線表示一段河道，點表示村莊，現要從河向村莊引水，圖中有四種方案，其中沿線段路線開挖的水渠長最短，理由是 ．
【變式訓練4-5】如圖，A，B是兩個村莊，中間有一條河，現準備在河上造一座橋，使得通過橋到兩村的距離和最短．（假定河的兩岸是平行線，橋要與河岸垂直）
題型五：利用點到直線的距離求線段長度
【經典例題5】如圖，四點在直線上，點在直線外，，若，則點到直線的距離是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-1】如圖，三角形中，，垂足為點P，則的長可能是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
【變式訓練5-2】如圖，在△ABC中，過點C作于點D，M是邊上的一個動點，連接．若，則線段的長的最小值是 ．
【變式訓練5-3】在△ABC中，，點D是邊上的動點（除點外），則線段的取值范圍是 ．
【變式訓練5-4】如圖，點在直線外的一點，點，在直線上，，于，若，則線段上到點的距離為整數的點有 個．
【變式訓練5-5】如圖，在三角形中，，，點A到邊的距離為4．若M是邊上的一個動點，則線段的長度的最小值是 ．
題型六：直線的相交綜合（解答題）
【經典例題6】如圖，直線與相交于點，．
(1)如果，那么根據________，可得________；
(2)如果，求的度數．
【變式訓練6-1】如圖，已知直線、相交于點，，點為垂足，平分．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數．
【變式訓練6-2】如圖，已知直線、相交于點O，于點O，是內的一條射線．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數．
【變式訓練6-3】如圖，直線、相交于點，，．
(1)求的度數；
(2)若，求的度數．
【變式訓練6-4】如圖，已知直線、相交于點，．
(1)若，求的度數．
(2)若，平分，求的度數．
【變式訓練6-5】如圖，直線和相交于點O，把分成兩部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
題型七：直線相交綜合之角平分線問題（壓軸題）
【經典例題7】如圖，點在直線上，點、與點、分別在直線兩側，且，．
(1)如圖1，若平分，平分，過點作射線，求的度數；
(2)如圖2，若在內部作一條射線，若：：，，試判斷與的數量關系．
【變式訓練7-1】已知：如圖，直線與直線交點O，，平分．
(1)如圖1，求證：平分；
(2)如圖2，，在直線的下方，若平分，平分，，求的度數．
【變式訓練7-2】如圖1，是直線上的一點，，平分．

(1)若，求的度數；
(2)將圖1中的繞頂點順時針旋轉至圖2的位置．
①探究和的度數之間的關系，并說明理由；
②在的內部有一條射線，內部有一條射線，且，試確定與的度數之間的關系，并說明理由．
【變式訓練7-3】直線相交于點于點，作射線，且在的內部．
(1)當點在直線的同側；
①如圖1，若，求的度數；
②如圖2，若平分，請判斷是否平分，并說明理由；
(2)若，請直接寫出與之間的數量關系．
【變式訓練7-4】如圖，點O為直線AB上一點，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度數；
(2)作射線OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度數；
(3)在（2）的條件下，作∠FOH＝90°，使射線OH在∠BOE的內部，且∠DOF＝3∠BOH，直接寫出∠AOH的度數．
【變式訓練7-5】直線相交于點O，于點O，作射線，且在的內部．
(1)①當在如圖1所示位置時，若，求的度數；
②當在如圖2所示位置時，若平分，證明：平分；
(2)若，請直接寫出與之間的數量關系．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.1直線的相交七大題型（一課一講）
（內容:相交線、垂線及其應用）
【浙教版】
題型一：利用對頂角、領補角的定義判斷圖象
【經典例題1-1】下面四個圖形中，與是對頂角的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：A、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；
B、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；
C、符合對頂角的定義，故本選項符合題意；
D、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；
故選：C．
【經典例題1-2】下列各圖中，∠1和∠2都是鄰補角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：A．不是兩條直線相交組成的角，故A不符合題意；
B．不是兩條直線相交組成的角，故B不符合題意．
C．另一邊沒有互為反向延長線，不是鄰補角，故C不符合題意；
D．是鄰補角，故D符合題意；
故選∶D．
【變式訓練1-1】如圖，與是對頂角的為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：根據對頂角的定義可知：只有選項C是對頂角，其它都不是．
故選C．
【變式訓練1-2】下面的四個圖形中，與是對頂角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：由對頂角的定義可知，四個圖形中，只有C選項中的圖形中的與是對頂角，
故選：C．
【變式訓練1-3】下列圖形中，與互為鄰補角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
解：與互為鄰補角的是 ，
故選C．
題型二：根據對頂角、鄰補角的性質求角度
【經典例題2】如圖，點O在直線上，已知，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴，
∵點O在直線上，
∴，
故選：C．
【變式訓練2-1】如圖，直線與相交于點B，，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵，
∴，
∴．
故選：C．
【變式訓練2-2】如圖，已知是直線上一點，，平分，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，
，
平分，
，
故選：C．
【變式訓練2-3】如圖，點在直線上，射線平分，若°，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】∵平分，
∴，
∴
．
故選：C．
【變式訓練2-4】如圖，已知直線相交于點平分，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：，平分，
，
．
故選：B．
【變式訓練2-5】如圖，點、、在一條直線上，且，如果平分，那么圖中
【答案】
【詳解】解：∵平分，，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式訓練2-6】如圖，點O在直線上，平分，，，設，利用方程的思想，求得 ．
【答案】20
【詳解】解：設，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案為：20．
題型三：畫垂線（作圖題）
【經典例題3】如圖，平面上有三個點．
(1)選擇恰當的工具按要求畫圖．
①畫直線；
②畫射線；
③畫線段；
④延長線段到使得；
⑤過點作的垂線分別交于點．
(2)通過觀察或測量寫出線段與線段的數量關系．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）解：如圖，①直線即為所求；
②射線即為所求；
③線段即為所求；
④線段即為所求，
⑤垂線、即為所求，
；
（2）解：測量得，，
故．
【變式訓練3-1】下列各圖中，過直線外的點畫直線的垂線，三角尺操作正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：根據分析可得C的畫法正確；
故選：C．
【變式訓練3-2】已知，平面內三個點，，不在同一條直線上．
(1)按要求畫圖，保留畫圖痕跡；
①畫線段，畫射線，畫直線；
②延長線段到點，使得；
③過點畫直線，垂足為；④連接．
(2)觀察你畫出的圖形，寫出一個圖形中正確的結論．
【答案】(1)見解析(2)見解析（答案不唯一）
【詳解】（1）解：如圖所示，線段，射線，直線，線段、，，即為所求
（2）解：觀察圖形發現：．
【變式訓練3-3】如圖，平面上有四個點A、B、C、D，按照要求作圖：
(1)畫出線段．
(2)畫出直線．
(3)在直線上面出與點B距離最短的點E并說明這樣畫的理由．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析，垂線段最短
【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求，
（2）解：如圖，直線即為所求；
（3）解：如圖，點E即為所求，
理由是垂線段最短．
【變式訓練3-4】如圖所示的正方形網格，所有小正方形的邊長都為，、、都在格點上．
(1)利用網格作圖：過點畫直線的垂線，垂足為點；
(2)線段的長度是點______到直線_______的距離；
(3)比較大小：______（填＞、＜或＝），理由：______．
【答案】(1)見解析(2) (3) 垂線段最短
【詳解】（1）
（2）線段的長度是點到直線的距離．
故答案為：
（3），理由：垂線段最短．
故答案為： 垂線段最短
【變式訓練3-5】根據下列要求畫圖：
(1)連接，畫直線，畫射線；
(2)在直線上找到一點C，使線段是點B與直線上各點的所有線段中長度最短的線段．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：如圖所示，過點B作于C，點C即為所求．
題型四：垂線段最短的應用
【經典例題4】如圖，在正方形網格中畫有一段筆直的鐵路及道口、和村莊、．小強從道口到公路，他選擇的路線為公路，其理由為（ ）
A．兩點確定一條直線
B．兩點之間，線段最短
C．垂線段最短
D．同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
【答案】C
【詳解】解：他選擇的路線為公路，其理由為垂線段最短．
故選C．
【變式訓練4-1】下列生活實例中，①用兩顆釘子就能在墻上固定一根木條；②從地到地架設電線，沿著線段架設會節省材料費用；③測量運動員的跳遠成績；④小狗看到食物，會徑直奔向食物．能用“兩點之間線段最短”解釋的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【詳解】解：①用兩顆釘子就能在墻上固定一根木條，可用“兩點確定一條直線”來解釋；
②從地到地架設電線，沿著線段架設會節省材料費用可用“兩點之間線段最短”來解釋；
③測量運動員的跳遠成績，可用“垂線段最短”來解釋；
④小狗看到食物，會徑直奔向食物，可用“兩點之間，線段最短”來解釋；
其中可用“兩點之間，線段最短”來解釋的現象有②④．
故選：D．
【變式訓練4-2】如圖，點P是直線a外的一點，點在直線a上，且，垂足為點，則下列正確的語句是（ ）
A．線段的長是點P到直線a的距離 B．三條線段中，最短
C．線段的長是點A到直線的距離 D．線段的長是點C到直線的距離
【答案】B
【詳解】A．線段的長是點到的距離，原說法錯誤，故此選項不符合題意；
B．三條線段中，依據垂線段最短可知最短，原說法正確，故此選項符合題意；
C．線段的長是點A到直線的距離，原說法錯誤，故此選項不符合題意；
D．線段的長是點C到直線的距離，原說法錯誤，故此選項不符合題意．
故選：B．
【變式訓練4-3】觀察圖形，點到直線的距離是線段 的長．
【答案】/
【詳解】解：依題意，結合圖形，得出線段是垂線段，
∴點到直線的距離是線段的長，
故答案為：．
【變式訓練4-4】如圖，直線表示一段河道，點表示村莊，現要從河向村莊引水，圖中有四種方案，其中沿線段路線開挖的水渠長最短，理由是 ．
【答案】垂線段最短
【詳解】解：沿線段路線開挖的水渠長最短，理由是垂線段最短．
故答案為：垂線段最短．
【變式訓練4-5】如圖，A，B是兩個村莊，中間有一條河，現準備在河上造一座橋，使得通過橋到兩村的距離和最短．（假定河的兩岸是平行線，橋要與河岸垂直）
【答案】見解析
【詳解】解：根據垂線段最短，得出是河的寬時，最短，即直線a（或直線b），
只要最短就行，
即過B作河岸b的垂線，垂足為H，在直線上取點，使等于河寬．連接交河的a邊岸于M，作垂直于河岸交b邊的岸于N點，所以，即為所求的橋．
題型五：利用點到直線的距離求線段長度
【經典例題5】如圖，四點在直線上，點在直線外，，若，則點到直線的距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】如圖所示：
∵直線外一點到這條直線的垂線段最短，，
∴點M到直線l的距離是垂線段的長度，為，
故選：A．
【變式訓練5-1】如圖，三角形中，，垂足為點P，則的長可能是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【詳解】解：∵，
∴，即：；
∴的長可能是6；
故選A．
【變式訓練5-2】如圖，在△ABC中，過點C作于點D，M是邊上的一個動點，連接．若，則線段的長的最小值是 ．
【答案】6
【詳解】解：∵，且，
根據“垂線段最短”可知，當點M與點D重合時，最短，
所以，的最小值為的長，
所以，的最小值為6，
故答案為：6．
【變式訓練5-3】在△ABC中，，點D是邊上的動點（除點外），則線段的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：由垂線段最短可知，當時，的長度最小，如下圖∶
∵
∴，
∴，
∴，
當點D與點A重合時，取的最大值為4，
∴的取值范圍為：．
故答案為：．
【變式訓練5-4】如圖，點在直線外的一點，點，在直線上，，于，若，則線段上到點的距離為整數的點有 個．
【答案】6
【詳解】解：設點E在上，
∵，，，
∴，
∵為整數，
∴，
∴上有3個點到點的距離為整數，
同理可得：上有3個點到點的距離為整數，
∴線段上到點的距離為整數的點有6個，
故答案為：6．
【變式訓練5-5】如圖，在三角形中，，，點A到邊的距離為4．若M是邊上的一個動點，則線段的長度的最小值是 ．
【答案】
【詳解】解：∵垂線段最短，
∴當時，最短，
∵，，點A到邊的距離為4，
∴，
∴．
故答案為：．
題型六：直線的相交綜合（解答題）
【經典例題6】如圖，直線與相交于點，．
(1)如果，那么根據________，可得________；
(2)如果，求的度數．
【答案】(1)對頂角相等，；(2)．
【詳解】（1）解：∵，
∴（對頂角相等），
故答案為：對頂角相等，；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【變式訓練6-1】如圖，已知直線、相交于點，，點為垂足，平分．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：平分，，
，
，
，
；
（2）解：由于，可設，，
平分，
，
，
，
，
，
即的度數為．
【變式訓練6-2】如圖，已知直線、相交于點O，于點O，是內的一條射線．
(1)若，求的度數；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解： ，
．
，
，
．
（2）解：，
．
，
，
，
．
【變式訓練6-3】如圖，直線、相交于點，，．
(1)求的度數；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
【變式訓練6-4】如圖，已知直線、相交于點，．
(1)若，求的度數．
(2)若，平分，求的度數．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：∵，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【變式訓練6-5】如圖，直線和相交于點O，把分成兩部分，且，平分．
(1)若，求．
(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）由對頂角相等，得，
由把分成兩部分且，得，
由鄰補角，得；
（2）平分，
．
由鄰補角，得，
即，
解得．
∴，，
∴．
題型七：直線相交綜合之角平分線問題（壓軸題）
【經典例題7】如圖，點在直線上，點、與點、分別在直線兩側，且，．
(1)如圖1，若平分，平分，過點作射線，求的度數；
(2)如圖2，若在內部作一條射線，若：：，，試判斷與的數量關系．
【答案】(1)或(2)或
【詳解】（1）平分，
，
，
．
當在下方時，
平分，，
，
，
，
，
．
當在上方時，
平分，，
，
，
，
，，
；
（2）設，則，
，
，
，
，
，
．
當在的下方時，同理可得
，
，
，
，
，
．
綜上所述：或
【變式訓練7-1】已知：如圖，直線與直線交點O，，平分．
(1)如圖1，求證：平分；
(2)如圖2，，在直線的下方，若平分，平分，，求的度數．
【答案】(1)見詳解(2)
【詳解】（1），
平分，
，
，
，
，
平分．
（2）平分，平分，
，
，
，
，
，
由（1）知
，
∴．
【變式訓練7-2】如圖1，是直線上的一點，，平分．

(1)若，求的度數；
(2)將圖1中的繞頂點順時針旋轉至圖2的位置．
①探究和的度數之間的關系，并說明理由；
②在的內部有一條射線，內部有一條射線，且，試確定與的度數之間的關系，并說明理由．
【答案】(1)(2)①，理由見解析；②
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
平分，
；
（2）解：①，
理由如下：
根據題意可得：，
，
，
平分，
，
，
；
②畫出圖如圖所示：
，
則，，
，
整理得：，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練7-3】直線相交于點于點，作射線，且在的內部．
(1)當點在直線的同側；
①如圖1，若，求的度數；
②如圖2，若平分，請判斷是否平分，并說明理由；
(2)若，請直接寫出與之間的數量關系．
【答案】(1)①；②平分，理由見解析
(2)或
【詳解】（1）解：①∵于點，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度數為；
②平分，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分．
（2）當點在直線的同側時，如圖，
記，則，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，；
當點和點在直線的異側時，如圖，
記，則，
∵，
∴，
∴①，
∴②，
得，．
綜上可知，或．
【變式訓練7-4】如圖，點O為直線AB上一點，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC．
(1)求∠AOD的度數；
(2)作射線OE，使∠BOE＝∠COE，求∠COE的度數；
(3)在（2）的條件下，作∠FOH＝90°，使射線OH在∠BOE的內部，且∠DOF＝3∠BOH，直接寫出∠AOH的度數．
【答案】(1)70°(2)24°或120°(3)175°或170°或140°
【詳解】（1）解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC＝70°；
（2）解：①如圖1，當射線OE在AB上方時，∠BOE＝∠COE，
∵∠BOE＋∠COE＝∠BOC，
∴∠COE＋∠COE＝40°，
∴∠COE＝24°；
②如圖2，當射線OE在AB下方時，∠BOE＝∠COE，
∵∠COE﹣∠BOE＝∠BOC，
∴∠COE﹣∠COE＝40°，
∴∠COE＝120°；
綜上所述：∠COE的度數為24°或120°；
（3）解：①如圖3，當射線OE在AB上方，OF在AB上方時，
作∠FOH＝90°，使射線OH在∠BOE的內部，∠DOF＝3∠BOH，
設∠BOH＝x°，則∠DOF＝3x°，∠FOC＝∠COD﹣∠DOF＝70°﹣3x°，
∵∠AOH＝∠AOD＋∠DOF＋∠FOH＝70°＋3x°＋90°＝160°＋3x°，
∠EOH＝∠BOC﹣∠COE﹣∠BOH＝40°﹣24°﹣x°＝16°﹣x°，
∴∠FOH＝∠FOC＋∠COE＋∠EOH＝70°﹣3x°＋24°＋16°﹣x°＝90°，
∴x°＝5°，
∴∠AOH＝160°＋3x°＝175°；
②如圖4，當射線OE在AB上方，OF在AB下方時，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝80°，
∵∠COB＝40°，
∵80°＞40°，
∴x°＝80°不符合題意舍去；
③如圖5，當射線OE在AB下方，OF在AB上方時，
∵∠AOF＝∠DOF＋∠AOD＝3x°＋70°，
∠BOF＝∠FOH﹣∠BOH＝90°﹣x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°＋70°＋90°﹣x°＝180°，
解得x°＝10°，
∴∠AOH＝180°﹣∠BOH＝180°﹣x°＝170°；
④如圖6，當射線OE在AB下方，OF在AB下方時，
∵∠AOF＝∠DOF﹣∠AOD＝3x°﹣70°，
∠BOF＝∠FOH＋∠BOH＝90°＋x°，
∠AOF＋∠BOF＝180°，
∴3x°﹣70°＋90°＋x°＝180°，
解得x°＝40°，
∴∠AOH＝∠AOF＋∠FOH＝50°＋90°＝140°，
綜上所述：∠AOH的度數為175°或170°或140°．
【變式訓練7-5】直線相交于點O，于點O，作射線，且在的內部．
(1)①當在如圖1所示位置時，若，求的度數；
②當在如圖2所示位置時，若平分，證明：平分；
(2)若，請直接寫出與之間的數量關系．
【答案】(1)①的度數為；②見解析；
(2)或．
【詳解】（1）解：①∵于點O，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴的度數為；
②∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解：設，則，
當點E，F在直線的同側時，如圖：
，
∴，①
，②
令①×3+②×2可得：，
當點E，F在直線的異側時，如圖：
，
∴，①
，②
令②×2-①可得：，
綜上所述：或．

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