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2024--2025學年度八年級數學下冊學案
6.3正方形的性質與判斷（2）
【學習目標】
掌握正方形的判定方法，并會用它們進行有關的論證和計算.
【知識梳理】
正方形的判定方法
（1）_____________________________________的菱形是正方形.
（2）_____________________________________的矩形是正方形.
（3）_____________________________________的菱形是正方形（從對角線來說）.
（4）_____________________________________的矩形是正方形（從對角線來說）.
【典型例題】
知識點一.正方形的判定
1.如圖，在矩形中，點E，F分別在邊上，，且，與相交于點G．求證：矩形為正方形
(
1題圖
)
2.已知：如圖，在中，，平分，，，垂足分別為E、F，求證：四邊形是正方形．
(
2
題圖
)
【鞏固訓練】
1.如圖,將長方形紙片折疊,使點A落在BC上的點F處,折痕為BE,若沿EF剪下,則折疊部分是一個正方形,其數學原理是(　 )
A.鄰邊相等的矩形是正方形
B.對角線相等的菱形是正方形
C.兩個全等的直角三角形構成正方形
D.軸對稱圖形是正方形
2.如圖，正方形ABCD的邊長為8，在各邊上順次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，則四邊形EFGH的面積是（　　）
A．30 B．34 C．36 D．40
3. 小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中選兩個作為補充條件，使 ABCD為正方形（如圖），現有下列四種選法，你認為其中錯誤的是（　　）
A、①② B、②③ C、①③ D、②④
(
3題圖
) (
1題圖
) (
2題圖
)
4.如圖，中，，外角平分線交于點A，過點A分別作直線的垂線，B，D為垂足．求證：四邊形是正方形．
(
4
題圖
)
(
5
題圖
)5.如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，點P、Q分別是AB、AC上的一動點，且滿足BP=AQ，D是BC的中點．
（1）求證：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）當點P運動到什么位置時，四邊形APDQ是正方形，并說明理由．
6.3正方形的性質與判斷（2）
【知識梳理】
1.有一個角是直角 有一組鄰邊相等
對角線相等 對角線互相垂直
【典型例題】
1. ∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四邊形是矩形，
∴四邊形是正方形
2. ∵，，，
∴四邊形是矩形．
又∵平分，，，
∴，
∴四邊形是正方形．
【典型例題】
1.A 2.B 3.B
4.證明：作于G，如圖，
則，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵外角平分線交于點A，
∴，
∴，
∴四邊形是正方形．
5. （1）證明：連接AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中點
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B，
在△BPD和△AQD中，
BD＝AD
∠DBP＝∠DAQ
BP＝AQ，
∴△BPD≌△AQD（SAS），
∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP，
∵∠BDP＋∠ADP＝90°
∴∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴△PDQ為等腰直角三角形；
（2）解：當P點運動到AB的中點時，四邊形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC中點，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
當P為AB的中點時，DP⊥AB，即∠APD＝90°，
又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，
∴四邊形APDQ為矩形，
又∵DP＝AP＝12AB，
∴矩形APDQ為正方形（鄰邊相等的矩形為正方形）．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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