資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.2.1 解一元二次方程（一）五大題型（一課一講）
（內容：直接開平方法及其應用）
【浙教版】
題型一：直接開平方法解一元二次方程的條件
【經典例題1】若關于的方程可以用直接開平方法求解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵關于x的方程可以用直接開平方法求解，
∴，∴
【變式訓練1-1】若關于的方程有實數根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵關于的方程有實數根，
∴，解得：
【變式訓練1-2】若一元二次方程的兩個根是與，則m的值是（ ）
A．4 B．2 C．與a、b有關 D．沒法確定
【答案】B
【詳解】解：∵，∴，∴，
∵一元二次方程的兩個根是與，∴，
解得．
【變式訓練1-3】若m是關于x的方程的某個根，且，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：原方程變形得：，
解得：，
∵方程的某個根在，
∴或，
解得：或，∴；
【變式訓練1-4】如果關于的方程沒有實數根，那么實數的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：由題意知，，
∵關于的方程沒有實數根，∴，即
【變式訓練1-5】已知一元二次方程，若方程有解，則必須（ ）
A． B． 同號 C． 的整數倍 D． 異號
【答案】D
【詳解】解：，則，
∵，∴，
∵，，∴為異號
題型二：利用直接開平方法解一元二次方程
【經典例題2】解方程：．
【答案】
【詳解】解：移項得：，
開平方得：，
則或，
解得：．
【變式訓練2-1】用適當的方法解方程：．
【答案】，．
【詳解】解：
或
∴，．
【變式訓練2-2】按要求解下列方程
(1)（直接開平方法）． (2)．
【答案】(1) (2)，
【詳解】（1）解：∵，∴，，
∴；
（2）解：，∴，∴，
∴，．
【變式訓練2-3】解關于x的方程：
【答案】
【詳解】解：
∴，
當時，等式不成立；
當時，，
∴．
【變式訓練2-4】解方程：；
【答案】)
【詳解】解：
∴或
解得：
【變式訓練2-5】解方程
(1)； (2)；
【答案】(1)；(2)．
【詳解】（1）解： ，
，
（2）解：，
，
，
或，
．
題型三：已知方程的解求參數的值
【經典例題3】關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（　?。?br/>A． B． C．或 D．
【答案】C
【詳解】解：把代入方程，得，
解得
【變式訓練3-1】若一元二次方程的兩根分別是和，則的值為（ ）
A．16 B． C．25 D．或25
【答案】B
【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根分別是與，
且，
∴，
解得：，
即方程的根是：，，
∴
【變式訓練3-2】已知3是一元二次方程的一個根，則另一根是 ．
【答案】
【詳解】解：根據題意，3是一元二次方程的一個根，
∴將代入方程，
可得，解得，
∴該方程為，
解該方程，可得，，
∴該方程的另一根是．
【變式訓練3-3】若是關于的方程的根，則關于的方程的根是 ．
【答案】，
【詳解】解：將代入方程，
可得，
解得，
將代入關于的方程，
可得，
解得，．
【變式訓練3-4】定義：若，則稱m與n是關于2的和諧數．
（1）與 是關于2的和諧數．（用含x的代數式表示）
（2）若關于2的和諧數是，則x的值為 ．
【答案】 或
【詳解】解：（1）設與n是關于2的和諧數，則
，
解得，
故答案為：；
（2）由題意得：
，
∴
題型四：已知一個方程解求另一個特殊方程的解
【經典例題4】已知關于x的方程（a，b，m均為常數，且）的兩個解是，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴則方程的解是
故選：D
【變式訓練4-1】若關于的方程（，，均為常數，）的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【詳解】解：解方程（，，均為常數，），
得：，
關于的方程（，，均為常數，）的解是，，
，，
方程的解為，
，
【變式訓練4-2】關于x的方程（m，h，k均為常數，m≠0）的解是，則方程的解是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：（m，h，k均為常數，m≠0），
解得，
而關于x的方程（m，h，k均為常數，m≠0）的解是，
所以，
方程的解為，
所以 ．
【變式訓練4-3】若關于x的方程（h，k均為常數）的解是，，則關于y的方程的解是 ．
【答案】，
【詳解】解：關于的方程，均為常數）的解是，，
的解是或，即，．
故答案為：，．
【變式訓練4-4】若關于x的方程的解是，（a，m，b均為常數，），則方程的解是
【答案】，
【詳解】解：，
移項得，，
直接開平方得，，
∴；
，
移項得，，
直接開平方得，，
∴，
∵關于x的方程的解是，，
∴方程的解是：，，
故答案為：，．
【變式訓練4-5】關于x的方程的解是，（a、k、b均為常數，）
問題：（1）關于x的方程的根是 ；
（2）關于x的方程的根為 ．
【答案】 ， ，
（2）仿照（1）計算即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
∵方程的解是，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
故答案為：，．
（2）∵，
∴，
∵方程的解是，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
故答案為：，．
題型五：直接開平方中的定義新運算
【經典例題5】現定義運算“”：對于任意實數、，都有，如，若，則實數的值為（ ）
A．4或 B．7或 C．19或 D．
【答案】D
【詳解】解：由新定義可知，，
∴
∴，
故選：D．
【變式訓練5-1】定義[x]表示不超過實數x的最大整數，如，，，則方程的解有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【詳解】解： ，
，
時, 解得 ；
時，解得 或 (舍)；
時， 解得 或(舍)；
時，方程無解；
綜上所述：方程的解為：或 或
【變式訓練5-2】根據絕對值定義：可將表示為，故化簡可得，，或四種不同結果，給出下列說法：
①化簡一共有8種不同的結果；
②化簡一共有8種不同的結果；
③若，（為正整數），則當時，．
以上說法中正確的個數為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】C
【詳解】解：①的結果有兩種，的結果有兩種，的結果有兩種，
的結果共有種，故①說法正確；
當時，
；
當時，
；
當時，
當時，；
的結果共有4種情況，故②說法錯誤；
③
解得，或（舍去）
故③說法正確，
∴正確的說法有2個，
故選：C
【變式訓練5-3】定義為二階行列式．規定它的運算法則為，那么當二階行列式時， ．
【答案】
【詳解】解：∵，，
∴，
整理得：，解得：
【變式訓練5-4】對任意實數a，b，定義一種新運算：，例如：，若，則x的值為 ．
【答案】或
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，，
故答案為：或．
【變式訓練5-5】定義新運算：；例如：，．若，則x的值為 ．
【答案】或
【詳解】∵，∴當時，，解得或（不合題意，舍去）；當時，，解得；由上可得，x的值為或．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.2.1 解一元二次方程（一）五大題型（一課一講）
（內容：直接開平方法及其應用）
【浙教版】
題型一：直接開平方法解一元二次方程的條件
【經典例題1】若關于的方程可以用直接開平方法求解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】若關于的方程有實數根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】若一元二次方程的兩個根是與，則m的值是（ ）
A．4 B．2 C．與a、b有關 D．沒法確定
【變式訓練1-3】若m是關于x的方程的某個根，且，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-4】如果關于的方程沒有實數根，那么實數的取值范圍是 ．
【變式訓練1-5】已知一元二次方程，若方程有解，則必須（ ）
A． B． 同號 C． 的整數倍 D． 異號
題型二：利用直接開平方法解一元二次方程
【經典例題2】解方程：．
【變式訓練2-1】用適當的方法解方程：．
【變式訓練2-2】按要求解下列方程
(1)（直接開平方法）． (2)．
【變式訓練2-3】解關于x的方程：
【變式訓練2-4】解方程：；
【變式訓練2-5】解方程
(1)； (2)；
題型三：已知方程的解求參數的值
【經典例題3】關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（　　）
A． B． C．或 D．
【變式訓練3-1】若一元二次方程的兩根分別是和，則的值為（ ）
A．16 B． C．25 D．或25
【變式訓練3-2】已知3是一元二次方程的一個根，則另一根是 ．
【變式訓練3-3】若是關于的方程的根，則關于的方程的根是 ．
【變式訓練3-4】定義：若，則稱m與n是關于2的和諧數．
（1）與 是關于2的和諧數．（用含x的代數式表示）
（2）若關于2的和諧數是，則x的值為 ．
題型四：已知一個方程解求另一個特殊方程的解
【經典例題4】已知關于x的方程（a，b，m均為常數，且）的兩個解是，則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】若關于的方程（，，均為常數，）的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式訓練4-2】關于x的方程（m，h，k均為常數，m≠0）的解是，則方程的解是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【變式訓練4-3】若關于x的方程（h，k均為常數）的解是，，則關于y的方程的解是 ．
【變式訓練4-4】若關于x的方程的解是，（a，m，b均為常數，），則方程的解是
【變式訓練4-5】關于x的方程的解是，（a、k、b均為常數，）
問題：（1）關于x的方程的根是 ；
（2）關于x的方程的根為 ．
題型五：直接開平方中的定義新運算
【經典例題5】現定義運算“”：對于任意實數、，都有，如，若，則實數的值為（ ）
A．4或 B．7或 C．19或 D．
【變式訓練5-1】定義[x]表示不超過實數x的最大整數，如，，，則方程的解有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練5-2】根據絕對值定義：可將表示為，故化簡可得，，或四種不同結果，給出下列說法：
①化簡一共有8種不同的結果；
②化簡一共有8種不同的結果；
③若，（為正整數），則當時，．
以上說法中正確的個數為（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式訓練5-3】定義為二階行列式．規定它的運算法則為，那么當二階行列式時， ．
【變式訓練5-4】對任意實數a，b，定義一種新運算：，例如：，若，則x的值為 ．
【變式訓練5-5】定義新運算：；例如：，．若，則x的值為 ．

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