資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.2.2 解一元二次方程（二）八大題型（一課一講）
（內容：配方法及其應用）
【浙教版】
題型一：利用配方法進行變形
【經典例題1】用配方法解一元二次方程時，配方后正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】用配方法解方程，變形后的結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】將方程配方成的形式，下列配方結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（ ）
A．化為
B．化為
C．化為
D．化為
【變式訓練1-4】將方程化成的形式為 ．
【變式訓練1-5】若用配方法解方程，時，原方程可變形為 ．
題型二：利用配方法進行變形后求參數的值
【經典例題2】解一元二次方程，配方后得到，則p的值是（ ）
A．13 B．9 C．5 D．4
【變式訓練2-1】將一元二次方程配方成的形式，則a的值為（ ）
A． B． C．4 D．8
【變式訓練2-2】解關于x的一元二次方程 ，配方后得到 ，則 的值是（　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【變式訓練2-3】用配方法解方程，將方程化成的形式，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式訓練2-4】若關于x的一元二次方程配方后得到方程，則c的值為 ．
【變式訓練2-5】用配方法解方程，配方得到，則的值為 ．
題型三：用配方法解一元二次方程
【經典例題3】解方程：
(1)； (2)．
【變式訓練3-1】解方程：
(1) (2)
【變式訓練3-2】解方程：．
【變式訓練3-3】解下列方程
(1) (2)
【變式訓練3-4】解方程
(1)； (2)．
【變式訓練3-5】解方程：
(1)； (2)．
題型四：已知方程的根求解
【經典例題4】若一元二次方程的兩根為a，b，且，則的值為 ．
【變式訓練4-1】若方程的兩根為：，，則方程的兩根為 ．
【變式訓練4-2】已知△ABC的兩邊分別為和，第三邊是方程的一個根，則△ABC的面積為 ．
【變式訓練4-3】已知，，則 ．
【變式訓練4-4】已知方程可轉化為，則 ．
【變式訓練4-5】關于的方程，若通過配方得，則 ．
題型五：配方法中定義新運算問題
【經典例題5】現定義一種運算，例如．若，則的值（ ）
A．2或 B．或3 C．1或 D．或6
【變式訓練5-1】定義新運算：對于兩個不相等的實數a，b，我們規定符號表示a，b中的較大值，如：，；按照這個規定，若，求x的值，甲答：或．乙答：；丙答：，則正確的是（ ）
A．只有甲答得對 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【變式訓練5-2】定義新運算，對于兩個不相等的實根，我們規定符號表示中較小值，如．，，按照這樣的規定，若，則的值是（ ）
A．2或 B．或 C．2或 D．或
【變式訓練5-3】定義新運算：對于兩個不相等的實數，我們規定符號表示中的較大值，如：，．按照這個規定，若，則的值是（ ）
A．或 B．或7 C．或7 D．或
【變式訓練5-4】請仔細閱讀材料，并解答相應問題
定義，（a、b、m均為正有理數）都是無理數，若滿足①為有理數，②為有理數，則稱A、B兩數為姐妹數（如與，
，，
6，1為有理數，則、為姐妹數）
(1)已知是的兩個根，求的值，并通過以上方法判斷是否是一對姐妹數．
(2)在（1）條件下請繼續判斷、是否是一對姐妹數．
【變式訓練5-5】閱讀理解題：定義：如果一個數的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數i叫做虛數單位．那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數，復數一般表示為a＋bi（a，b為實數），a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加法，減法，乘法運算與整式的加法，減法，乘法運算類似．
例如：解方程x2＝﹣1，
解得：x1＝i，x2＝﹣i．
同樣我們也可以化簡2i；
讀完這段文字，請你解答以下問題：
(1)填空：i3＝　 　，i4＝　 　，i6＝　 　，i2020＝　 　；
(2)在復數范圍內解方程：（x﹣1）2＝﹣1
(3)在復數范圍內解方程：x2﹣4x＋8＝0
題型六：配方法的應用之比較大小
【經典例題6】若，，為實數，則與的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．的大小關系與的取值有關
【變式訓練6-1】設，，其中a為實數，則M與N的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【變式訓練6-2】已知，，當取任意實數時，則、的大小關系為（　　）
A．總有 B．可能 C．總有 D．不確定
【變式訓練6-3】已知，，下列結論正確的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．當時，為正數 D．當時，為負數
【變式訓練6-4】已知、是實數，，．則、的大小關系是（　　）
A． B． C．＜ D．＞
【變式訓練6-5】若m為實數，，，則比較P，Q的大小可得： ．
題型七：配方法的應用之最值問題
【經典例題7】已知代數式，無論取任何值，它的值一定是（ ）
A．正數 B．負數 C．非正數 D．非負數
【變式訓練7-1】分式可取的最小值為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．不存在
【變式訓練7-2】已知點的坐標為，則點到直線的距離最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【變式訓練7-3】若實數a，b，c滿足：，則c的最大值為 ．
【變式訓練7-4】已知實數，滿足，則代數式的最小值等于 ．
【變式訓練7-5】當實數 時，多項式有最 （大或小）值為 ．
題型八：配方法的應用之閱讀題型
【經典例題8】閱讀理解并解答：
【方法呈現】
（1）配方法在代數式求值、解方程、解決最值問題中都有著廣泛的應用．
例如：，
∵
．
則這個代數式的最小值為_______，這時相應的x的值是________．
【嘗試應用】
（2）求代數式的最小或最大值．
【拓展提高】
（3）已知a、b、c是△ABC的三邊長，滿足，求c的取值范圍．
【變式訓練8-1】閱讀材料：選取二次三項式中的前兩項，配成完全平方式的過程叫配方．例如：選取二次項和一次項配方：
；
請根據閱讀材料解決下列問題：
(1)【直接應用】，將代數式配方：______；
(2)【類比應用】已知，求的值；
(3)【知識拓展】求當，為何值時，代數式取得最小值，最小值為多少？
【變式訓練8-2】利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數式一些問題．觀察下列式子：
①，
．因此．代數式有最小值；
②．
．
因此，代數式有最大值4；
閱讀上述材料并完成下列問題：
(1)代數式的最小值為____________；代數式的最大值為____________．
(2)求代數式的最小值．
【變式訓練8-3】閱讀理解：求代數式的最小值．
解：因為，
所以當時，代數式有最小值，最小值是1．
仿照應用求值：
(1)求代數式的最小值；
(2)求代數式的最大值．
【變式訓練8-4】我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用，例如：試求二次三項式最小值．
解：，
，，
，即的最小值是1．
試利用“配方法”解決下列問題：
(1)已知，求的最大（或最小）值．
(2)比較代數式與的大小，并說明理由．
【變式訓練8-5】閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項式變形為的形式，然后由就可求出多項式的最小值．
例：求多項式的最小值．
解：．因為所以
當時，，因此有最小值，最小值為1，即的最小值為1．
通過閱讀，理解材料的解題思路，請解決以下問題：
(1)【理解探究】已知代數式，求A的最小值；
(2)【類比應用】比較代數式與的大小，并說明理由；
(3)【拓展升華】如圖，△ABC中，，，，點，分別是線段和上的動點，點從A點出發以的速度向點運動；同時點從點出發以的速度向點運動，當其中一點到達終點時，兩點同時停止運動．設運動的時間為，則當的值為多少時，的面積最大，最大值為多少？中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.2.2 解一元二次方程（二）八大題型（一課一講）
（內容：配方法及其應用）
【浙教版】
題型一：利用配方法進行變形
【經典例題1】用配方法解一元二次方程時，配方后正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：，
，
【變式訓練1-1】用配方法解方程，變形后的結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：
移項得：
配方，得：，即。
【變式訓練1-2】將方程配方成的形式，下列配方結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：，
二次項化系數為1得：，
移項得：，
配方得：，
整理得：
【變式訓練1-3】用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是（ ）
A．化為
B．化為
C．化為
D．化為
【答案】B
【詳解】解：、∵，
∴，∴，原選項正確，不符合題意；
、∵，∴，∴，原選項錯誤，符合題意；
、∵，∴，∴，原選項正確，不符合題意；
、∵，∴，∴，原選項正確，不符合題意；
【變式訓練1-4】將方程化成的形式為 ．
【答案】
【詳解】解：，
．
【變式訓練1-5】若用配方法解方程，時，原方程可變形為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，∴，∴，
∴，即
題型二：利用配方法進行變形后求參數的值
【經典例題2】解一元二次方程，配方后得到，則p的值是（ ）
A．13 B．9 C．5 D．4
【答案】A
【詳解】解：，
，
，
，．
【變式訓練2-1】將一元二次方程配方成的形式，則a的值為（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【詳解】解：
∴，
故選B．
【變式訓練2-2】解關于x的一元二次方程 ，配方后得到 ，則 的值是（　）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【詳解】解：，
移項，得，
配方，得，，
一元二次方程配方后得到方程，，
，，
故選：．
【變式訓練2-3】用配方法解方程，將方程化成的形式，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【詳解】解：，∴，
∴，∴，∴，．
【變式訓練2-4】若關于x的一元二次方程配方后得到方程，則c的值為 ．
【答案】1
【詳解】解：，
，
，
．
∵，∴，解得，
故答案為：1．
【變式訓練2-5】用配方法解方程，配方得到，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：，
，
，
，
又∵用配方法解方程，配方得到，
∴，∴的值為．
題型三：用配方法解一元二次方程
【經典例題3】解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，(2)，
【詳解】（1）解：移項，得．
配方，得，即．
∴．
∴，．
（2）解：，，．
．
∴．
∴，．
【變式訓練3-1】解方程：
(1) (2)
【答案】(1)， (2)，
【詳解】（1）解：
移項，得：，
方程左右同時加上，得：，
即，
變形得：，
∴，
∴，
解得：，；
（2）解：，
展開得：，
移項，得：，
即，
方程左右同時加上，
得：，
即，
變形得：，
∴，
∴，
解得：，．
【變式訓練3-2】解方程：．
【答案】，
【詳解】解：，
，
，
，
，
，
．
【變式訓練3-3】解下列方程
(1) (2)
【答案】(1)，；(2)，；
【詳解】（1）解：移項、配方得，
，
即，
兩邊開平方得，
，
∴，；
（2）解：移項、系數化為1得，
，
兩邊開平方得，
，
∴，．
【變式訓練3-4】解方程
(1)； (2)．
【答案】(1)，； (2)，
【小題1】解：，
，
，
，
，
；
【小題2】解：，
，
，
或，
．
【變式訓練3-5】解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)， (2)，．
【詳解】（1）解：，
移項，得：，
配方，得：，
即：，
開方，得，
解得：，；
（2）解：，
化簡，得：，
則，
解得：，．
題型四：已知方程的根求解
【經典例題4】若一元二次方程的兩根為a，b，且，則的值為 ．
【答案】0
【詳解】解：，
移項得：，
方程兩邊同除以4得：，
方程兩邊同加上得：，
配方得：，
開平方得：，
解得：，，
∵一元二次方程的兩根為a，b，且，
∴，，
∴．
故答案為：0．
【變式訓練4-1】若方程的兩根為：，，則方程的兩根為 ．
【答案】，
【詳解】解：，
【變式訓練4-2】已知△ABC的兩邊分別為和，第三邊是方程的一個根，則△ABC的面積為 ．
【答案】或
【詳解】解：解方程，
得：，，
的兩邊分別為和，
第三邊的邊長，
即第三邊的邊長，
第三邊的邊長為或．
①當時，
又，
此三角形是直角三角形，
這個三角形的面積是：；
②當時，
此三角形是等腰三角形，
如圖，設，，
過點作于點，
，
，
等腰三角形的面積為；
故答案為：或．
【變式訓練4-3】已知，，則 ．
【答案】．
【詳解】解：∵，∴，，
∵，
∴，即，
∴，
兩邊同時除以得，即，
配方得，即，
解得或，
∴或（舍去），
故答案為：．
【變式訓練4-4】已知方程可轉化為，則 ．
【答案】2
【詳解】解：由，
可得，
整理，得，
所以．
故答案為：2．
【變式訓練4-5】關于的方程，若通過配方得，則 ．
【答案】
【詳解】
即
∴
∴
依題意，
∴
∴
故答案為：．
題型五：配方法中定義新運算問題
【經典例題5】現定義一種運算，例如．若，則的值（ ）
A．2或 B．或3 C．1或 D．或6
【答案】B
【詳解】解：∵，
∴，即，
解得：或，
故選：B．
【變式訓練5-1】定義新運算：對于兩個不相等的實數a，b，我們規定符號表示a，b中的較大值，如：，；按照這個規定，若，求x的值，甲答：或．乙答：；丙答：，則正確的是（ ）
A．只有甲答得對 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整
【答案】A
【詳解】解：依題意，
當時，，則，
整理，得，即，
解得，（不合題意，舍去）；
當時，，則，
整理，得，
解得，（不合題意，舍去），
綜上，或，
故只有甲答得對，
故選：A
【變式訓練5-2】定義新運算，對于兩個不相等的實根，我們規定符號表示中較小值，如．，，按照這樣的規定，若，則的值是（ ）
A．2或 B．或 C．2或 D．或
【答案】B
【詳解】解：當即時，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
當即時，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
綜上所述，的值是或，
故選：B．
【變式訓練5-3】定義新運算：對于兩個不相等的實數，我們規定符號表示中的較大值，如：，．按照這個規定，若，則的值是（ ）
A．或 B．或7 C．或7 D．或
【答案】B
【詳解】解：由題意得：分兩種情況：
①，
，即，
，
解得：，
當時，，即，符合題意；
當時，，即，不符合題意；
；
②，
，即，
，
解得：，
當時，，即，不符合題意；
當時，，即，符合題意；
；
綜上，的值是或7，
故選：B．
【變式訓練5-4】請仔細閱讀材料，并解答相應問題
定義，（a、b、m均為正有理數）都是無理數，若滿足①為有理數，②為有理數，則稱A、B兩數為姐妹數（如與，
，，
6，1為有理數，則、為姐妹數）
(1)已知是的兩個根，求的值，并通過以上方法判斷是否是一對姐妹數．
(2)在（1）條件下請繼續判斷、是否是一對姐妹數．
【答案】(1)，，為姐妹數(2)，是一對姐妹數
【詳解】（1）解：
，
，
而4，都為有理數
∴為姐妹數；
（2），，
∵20，都為有理數，
∴，是一對姐妹數
【變式訓練5-5】閱讀理解題：定義：如果一個數的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數i叫做虛數單位．那么和我們所學的實數對應起來就叫做復數，復數一般表示為a＋bi（a，b為實數），a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加法，減法，乘法運算與整式的加法，減法，乘法運算類似．
例如：解方程x2＝﹣1，
解得：x1＝i，x2＝﹣i．
同樣我們也可以化簡2i；
讀完這段文字，請你解答以下問題：
(1)填空：i3＝　 　，i4＝　 　，i6＝　 　，i2020＝　 　；
(2)在復數范圍內解方程：（x﹣1）2＝﹣1
(3)在復數范圍內解方程：x2﹣4x＋8＝0
【答案】(1)﹣i，1，﹣1，1(2)x1＝1+i，x2＝1﹣i(3)x1＝2+2i，x2＝2﹣2i
【詳解】（1）解：i3＝i2×i＝﹣i；i4＝i2×i2＝1．i6＝（i2）3＝﹣1；i2020＝（i2）1010＝1；
故答案為﹣i，1，﹣1，1；
（2）解：∵（x﹣1）2＝﹣1，
∴（x﹣1）2＝i2，
∴x﹣1＝±i，
∴x1＝1+i，x2＝1﹣i．
（3）解：x2﹣4x+8＝0，x2﹣4x＝﹣8，（x﹣2）2＝4i2，
∴x﹣2＝±2i,
解得：x1＝2+2i，x2＝2﹣2i．
題型六：配方法的應用之比較大小
【經典例題6】若，，為實數，則與的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．的大小關系與的取值有關
【答案】A
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，∴，∴．
【變式訓練6-1】設，，其中a為實數，則M與N的大小關系是（ ）
A． B． C． D．不能確定
【答案】A
【詳解】解：根據題意，得，，
故．
∵，∴，∴，∴，
故選：A．
【變式訓練6-2】已知，，當取任意實數時，則、的大小關系為（　　）
A．總有 B．可能 C．總有 D．不確定
【答案】C
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，∴，∴，∴總有，
故選：C．
【變式訓練6-3】已知，，下列結論正確的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．當時，為正數 D．當時，為負數
【答案】B
【分析】解：∵，，
∴；
∴當時，有最小值；
當時，即：，
∴，
∴，
∴，即是非正數；
故選項錯誤，不符合題意，選項正確，符合題意；
故選B．
【變式訓練6-4】已知、是實數，，．則、的大小關系是（　　）
A． B． C．＜ D．＞
【答案】B
【詳解】解：，
，，
，
，
故選：B
【變式訓練6-5】若m為實數，，，則比較P，Q的大小可得： ．
【答案】
【詳解】解：
，
∵，∴，∴，∴，
故答案為：．
題型七：配方法的應用之最值問題
【經典例題7】已知代數式，無論取任何值，它的值一定是（ ）
A．正數 B．負數 C．非正數 D．非負數
【答案】B
【詳解】∵，
，
∴，則
故選：B．
【變式訓練7-1】分式可取的最小值為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．不存在
【答案】A
【詳解】解：由題意得：
，
若要求得的最小值，則需得出的最小值即可，
∵，
∴的最小值為1，
∴的最小值為4；
故選A．
【變式訓練7-2】已知點的坐標為，則點到直線的距離最小值為（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【詳解】解：點到直線的距離是，
當時，點到直線的最小值為1．
【變式訓練7-3】若實數a，b，c滿足：，則c的最大值為 ．
【答案】6
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，且當時等號成立，
∴，
∴，
∴c的最大值為6，
故答案為：6．
【變式訓練7-4】已知實數，滿足，則代數式的最小值等于 ．
【答案】2
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴代數式的最小值等于2；
故答案為：2．
【變式訓練7-5】當實數 時，多項式有最 （大或小）值為 ．
【答案】 小 0
【詳解】解：，
∴當實數時，多項式有最小值，最小值為0，
故答案為：，小，0．
題型八：配方法的應用之閱讀題型
【經典例題8】閱讀理解并解答：
【方法呈現】
（1）配方法在代數式求值、解方程、解決最值問題中都有著廣泛的應用．
例如：，
∵
．
則這個代數式的最小值為_______，這時相應的x的值是________．
【嘗試應用】
（2）求代數式的最小或最大值．
【拓展提高】
（3）已知a、b、c是△ABC的三邊長，滿足，求c的取值范圍．
【答案】（1）2，（2）；（3）
【詳解】解：（1）∵代數式
∴代數式的最小值是，這時相應的的值是；
（2）
∵∴，∴代數式有最小值；
（3）∵a，，是的三邊長，滿足，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴．
【變式訓練8-1】閱讀材料：選取二次三項式中的前兩項，配成完全平方式的過程叫配方．例如：選取二次項和一次項配方：
；
請根據閱讀材料解決下列問題：
(1)【直接應用】，將代數式配方：______；
(2)【類比應用】已知，求的值；
(3)【知識拓展】求當，為何值時，代數式取得最小值，最小值為多少？
【答案】(1)(2)(3)16
【詳解】（1）解：依題意，，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴配方得：，
即，
，，
故．
（3）解：依題意，
，
，
，時，
即當，時，則，
即取得最小值，最小值為16．
【變式訓練8-2】利用我們學過的完全平方公式及不等式知識能解決代數式一些問題．觀察下列式子：
①，
．因此．代數式有最小值；
②．
．
因此，代數式有最大值4；
閱讀上述材料并完成下列問題：
(1)代數式的最小值為____________；代數式的最大值為____________．
(2)求代數式的最小值．
【答案】(1)，(2)
【詳解】（1）解：∵，，
故答案為：，；
（2）∵，
∴代數式的最小值為．
【變式訓練8-3】閱讀理解：求代數式的最小值．
解：因為，
所以當時，代數式有最小值，最小值是1．
仿照應用求值：
(1)求代數式的最小值；
(2)求代數式的最大值．
【答案】(1)6(2)19
【詳解】（1）解：，
∵，
∴，
∴當時，代數式有最小值，最小值是6；
（2）解：由題意可得，
，
∵，
∴，
∴當時，代數式有最大值，最大值為．
【變式訓練8-4】我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其他重要應用，例如：試求二次三項式最小值．
解：，
，，
，即的最小值是1．
試利用“配方法”解決下列問題：
(1)已知，求的最大（或最小）值．
(2)比較代數式與的大小，并說明理由．
【答案】(1)；(2)
【詳解】（1）解：，
，
，
，
，
，
，
，
有最大值，最大值是；
（2）解：，
理由如下：
，
，
，
，
，
．
【變式訓練8-5】閱讀下列材料：利用完全平方公式，將多項式變形為的形式，然后由就可求出多項式的最小值．
例：求多項式的最小值．
解：．因為所以
當時，，因此有最小值，最小值為1，即的最小值為1．
通過閱讀，理解材料的解題思路，請解決以下問題：
(1)【理解探究】已知代數式，求A的最小值；
(2)【類比應用】比較代數式與的大小，并說明理由；
(3)【拓展升華】如圖，中，，，，點，分別是線段和上的動點，點從A點出發以的速度向點運動；同時點從點出發以的速度向點運動，當其中一點到達終點時，兩點同時停止運動．設運動的時間為，則當的值為多少時，的面積最大，最大值為多少？
【答案】(1)(2)，理由見解析
(3)當t的值為2時，的面積最大，最大值為．
【詳解】（1）解：∵ ，
∵，
∴，
∴當時，有最小值，最小值為，即A的最小值為．
（2）解：，理由如下：
∵，
∵，
∴，
∴
（3）解：由題意得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴當時，有最大值，最大值為4．即：當t的值為2時，的面積最大，最大值為．

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