資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.2.3 解一元二次方程（三）八大題型（一課一講）
（內容：公式法及其應用）
【浙教版】
題型一：用公式法解一元二次方程
【經典例題1】解一元二次方程．
【答案】
【詳解】解：原方程化為．
可得．
．
方程有兩個不等的實數根．有．
即．
【變式訓練1-1】解方程：．
【答案】
【詳解】解：，
，
，
，
解得．
【變式訓練1-2】解方程：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【詳解】（1）解：
∴
∴或
解得：
（2）解：
∵
∴
解得：
【變式訓練1-3】解方程：
(1) (2)
【答案】(1)(2)無解
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
則該方程無解．
【變式訓練1-4】用適當的方法解下列方程:
(1)； (2)；
【答案】(1)，(2)，
【詳解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，
，．
【變式訓練1-5】用適當的方法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：∵，
∴根判別式為：，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴左邊化成完全平方，得，
∴．
（3）解：∵，
∴提公因式分解因式，得，
∴，
∴．
（4）解：∵，
∴兩邊開平方，得，
∴，，
∴．
題型二：利用求根公式還原一元二次方程
【經典例題2】下列一元二次方程中，根是的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】因為一元二次方程的根是，所以A符合題意；
因為一元二次方程的根是，所以B不符合題意；
因為一元二次方程的根是，所以C不符合題意；
因為一元二次方程的根是，所以D不符合題意．
故選：A．
【變式訓練2-1】在用求根公式求一元二次方程的根時，小明正確地代入了，，得到x=，則他求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：由x=知：
，，．
所以該一元二次方程為：．
故選：A．
【變式訓練2-2】若是某個一元二次方程的根，則這個一元二次方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：由一元二次方程的求根公式，結合，可知：；
∴這個一元二次方程可以是；
故選D．
【變式訓練2-3】若用公式法解關于的一元二次方程的根為，則這個方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵的一元二次方程的根為
∴，，，
∴這個方程是，
故選：C．
【變式訓練2-4】關于的一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：的根是，
故選：A．
【變式訓練2-5】已知（），則式子的值是 ．
【答案】0
【詳解】解：由一元二次方程的求根公式可知：的其中一個解為，
故答案為：0．
【變式訓練2-6】一元二次方程，用求根公式求解時c的值是 ．
【答案】
【詳解】解：方程化為一般式為，
所以c的值為，
故答案為：．
題型三：利用根的判別式判斷根的情況
【經典例題3】方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．只有一個實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．有兩個相等的實數根
【答案】C
【詳解】解：∵
∴
∴方程有兩個不相等的實數根．
【變式訓練3-1】在平面直角坐標系中，直線不經過第四象限，則關于x的方程的實數根的情況為（ ）
A．沒有實數根 B．只有一個實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．有兩個相等的實數根
【答案】C
【詳解】解：直線不經過第四象限，
，
關于的方程
，
關于的方程有兩個不相等的實數根．
故選：C．
【變式訓練3-2】已知實數，在數軸上的位置如圖所示，則關于的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個實數根 D．沒有實數根
【答案】A
【詳解】解：根據數軸可得，，且，
則，
∵中，，
∴該方程有兩個不相等的實數根．
故選：A．
【變式訓練3-3】方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．兩個相等的實數根
C．兩個不相等的實數根 D．兩個根分別為一個正根，一個負根
【答案】B
【詳解】解：方程，整理為：，
∴，
∴方程有兩個相等的實數根，
故選：B．
【變式訓練3-4】下列一元二次方程中，沒有實數根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A. ，方程有兩個不相等的實數根；
B. ，方程有兩個不相等的實數根；
C. ，方程有兩個不相等的實數根；
D. ，方程沒有實數根；
故選：D．
【變式訓練3-5】已知關于x的方程，下列說法中正確的是（　　）
A．當時，方程無解 B．當時，方程有兩個不相等的實根
C．當時，方程有一個實根 D．當時，方程一定有兩個不相等的實根
【答案】B
【詳解】解：當時，方程為，
此方程為一元一次方程，且解為．
故選項不符合題意．
當時，方程為一元二次方程，
則．
當時，，
所以方程有兩個不相等的實根．
故選項符合題意．
當時，，
所以方程有兩個相等的實根．
故選項不符合題意．
當，但時，方程有兩個相等的實根，
故選項不符合題意．
故選：B．
題型四：根據一元二次方程的根的情況求參數的取值范圍
【經典例題4】關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】D
【詳解】解：由題意得，
解得且．
故選D．
【變式訓練4-1】若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則( )
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【詳解】∵方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得，
又，
，
且，
故選：D．
【變式訓練4-2】若關于x的方程有實數根，則k的的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】B
【詳解】解：當時，該方程為，是一元一次方程，
∴方程有一個實數根，
當時，方程為一元二次方程，
∵方程有實數根，
∴，
解得且，
綜上，的取值范圍是，
故選：．
【變式訓練4-3】已知關于的一元二次方程有實數根，則系數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，
∴，
解得：且，
故選：D．
【變式訓練4-4】已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
即，
∴，
∵要使該方程有意義，則，
∴，
綜上，k的取值范圍是．
故答案為：
【變式訓練4-5】關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則整數的最小值是 ．
【答案】2
【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
，且，
解得，且，則的最小整數值是2．
故答案為：
題型五：根據一元二次方程根的情況求代數式
【經典例題5】若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則（ ）
A．1 B． C．4 D．
【答案】B
【詳解】解：一元二次方程變形為一般式得，，
∵關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，
∴，
解得，，
故選：B．
【變式訓練5-1】若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則一次函數的圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【詳解】∵一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得，
∴一次函數的關系式為，
∴一次函數的圖象經過第一、三、四象限，
則不經過第二象限．
故選：B．
【變式訓練5-2】若關于的一元二次方程有實數根，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，
∴，
整理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案為：．
【變式訓練5-3】已知a，b為整數，且有兩個不相等的實數根，有兩個相等的實數根；沒有實數根，則 ．
【答案】5
【詳解】解：根據題意得，，
即①；
，
即②；
，
即③；
把②分別代入①③得，，
解不等式組得；，而a為整數，
所以，再代入②得，，
解得，
所以．
故答案為：5
【變式訓練5-4】已知關于x的方程，若等腰三角形的一邊長，另外兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，則這個三角形的周長為 ．
【答案】10.5或10
【詳解】等腰三角形的三邊為a，b，c，
當以a為底邊時，，
∴關于x的方程有兩個相等實數根，
∴，
即，
解得或，
當時，，解得，
則三角形的周長為；
當時，，解得，不符合題意，舍去．
當以a為腰時，或，
將代入原方程，得，
解得，
∴方程為，
解得，
所以這個三角形的周長是．
故答案為：10或10.5．
題型六：根的判別式與分式方程或不等式的結合
【經典例題6】若關于的不等式組有且只有3個整數解，且關于y的一元二次方程有兩個實數根，則符合條件的所有整數m的和為 ．
【答案】20
【詳解】解：，
由①得，
由②得．
∴原不等式組的解集為
方程組有且只有3個整數解，
∴可取5、4、3．
，
．
關于y的一元二次方程有兩個實數根，
且，
解得且，
且，
整數的取值為5，7，8
所有整數的和為．
故答案為：20．
【變式訓練6-1】若整數a使關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數解，且使關于y的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為 ．
【答案】1或5
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有兩個不相等的實數解，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
∵關于的分式方程的解為非負整數，
∴且，
解得：且，
∴且，
∵是整數，
∴或5，
故答案為：1或5．
【變式訓練6-2】已知關于y的分式方程有整數解，且關于x的一元二次方程有實數根的所有整數a的值之和為 ．
【答案】8
【詳解】解：去分母得，，
整理得，，
，
關于y的分式方程有整數解，
，，
或3或或5，
當時，，
解得，
但是分母，即，
，
或3或5，
關于x的一元二次方程有實數根，
，且，
解得，且，
或5，
所有整數a的值之和為．
故答案為：8．
【變式訓練6-3】若數使關于的不等式組有且只有四個整數解，且使關于的一元二次方程有實數根，則符合條件的所有整數的和為 ．
【答案】0
【詳解】解：，
解①得，，
解②得，，
；
不等式組有且僅有四個整數解，
，
解得：；
關于的一元二次方程有實數根，
，，
，；
為整數，且，
可以是，，，
則符合條件的所有整數的和為；
故答案為：0．
【變式訓練6-4】若a使得關于x的分式方程有整數解，且使得關于y的一元二次方程有實數根，則所有滿足條件的整數a的和為 ．
【答案】
【詳解】解：解方程得：，
∵a使得關于x的分式方程有整數解，且，
∴或或或或或或，
∵關于y的一元二次方程有實數根，
∴，，
解得：且，
∴或或，
∴所有滿足條件的整數a的和為，
故答案為：．
【變式訓練6-5】若關于x的一元二次方程有實數根，且關于y的分式方程有非負整數解，則滿足條件的所有整數a的積為 ．
【答案】
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數根，
∴，
∴且；
去分母得：，
解得，
∵關于y的分式方程有非負整數解，
∴是非負整數，且
∴且a是偶數，且，
∴且a是偶數，且，
綜上所述，且a是偶數，且，
∴或，
∴滿足條件的所有整數a的積為，
故答案為：．
題型七：根的判別式中定義新運算
【經典例題7】定義：如果一元二次方程滿足，那么稱這個方程為“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有兩個相等的實數根，則b的值為 ．
【答案】2
【詳解】解：∵是“奇妙方程”，
∴，
∵方程有兩個相等的實數根，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：2．
【變式訓練7-1】對實數，，定義運算“”為：．已知關于的方程，若該方程有兩個相等的實數根，則實數的值是 ：若該方程有兩個不等負根，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：，
，
又，
，
即，
若該方程有兩個相等的實數根，則，
由得：，
由得：或，
；
若該方程有兩個不等負根，則，
解得：．
故答案為：，．
【變式訓練7-2】對于實數定義一種新運算：，若關于的方程（為整數）有兩個相等的實數根，則的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
整理得，，
∵關于的方程有兩個相等的實數根，
∴，
解得，
故答案為：．
【變式訓練7-3】定義，如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“龍泉師一”方程．已知方程是“龍泉師一”方程，且有兩個相等的實數根，則下列結論：①②③④，正確的是 ．（填序號）
【答案】②
【詳解】解：方程有兩個相等實數根，且，
，，
將代入得：，
，
故答案為：②．
【變式訓練7-4】定義：在平面直角坐標系中，若點滿足，則稱點為“積和點”．例如：，就是“積和點”．若直線上所有的點中只有唯一一個“積和點”，則 ．
【答案】0或4
【詳解】解：設直線上所有的點中唯一一個“積和點”為點，依題意得：，
代入得：，
整理得：，
由點是唯一一個“積和點”可知：，解得：，．
故答案為：0或4．
【變式訓練7-5】定義新運算“”：對于任意實數，，都有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算．例如：．若關于的方程有兩個實數根，則實數的取值范圍是 ．
【答案】且
【詳解】解：∵，
∴，
整理可得，
又關于的方程有兩個實數根，
，
解得：且，
故答案為：且．
題型八：根的判別式綜合題型
【經典例題8】已知關于x的一元二次方程．
(1)若方程有一個解為0，求k的值；
(2)求證：方程有兩個不相等的實數根；
【答案】(1)0或(2)證明過程見詳解
【詳解】（1）解∶ 方程有一個根為0，
，即，解得∶，，
k的值為0或．
（2）證明∶，
方程有兩個不相等的實數根．
【變式訓練8-1】已知關于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個實數根；
(2)若該方程的一個實數根是，求的值及另一個實數根．
【答案】(1)見解析；(2)．
【詳解】（1）證明：，
該方程總有兩個實數根；
（2）解：將代入，
可得：，
解得：，
方程化為，
分解因式可得：，
解得，，
方程的另一個實數根為．
【變式訓練8-2】已知：關于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個實數根；
(2)若此方程的解均為整數，請你求出所有符合條件的整數的值，并求出此時方程的解．
【答案】(1)見解析(2)，方程的解為或．
【詳解】（1）證明：∵
∴方程總有兩個實數根；
（2）由（1）得，
∴，
∵此方程的解均為整數，
∴為奇數，
當時，，
當時，，解得，符合題意；
當時，，解得，符合題意；
∴，方程的解為或．
【變式訓練8-3】已知平行四邊形的兩邊的長是關于x的一元二次方程的兩個實數根．
(1)若的長為6，求m的值；
(2)m為何值時，平行四邊形是菱形？求出此時菱形的邊長．
【答案】(1)12(2)，平行四邊形是菱形，菱形的邊長是4
【詳解】（1）解：的長是關于的一元二次方程的兩個實數根，的長為6，
把代入，
得：，
解得：；
（2）解：平行四邊形是菱形，
，
方程有兩個相等的實數根，
，
，
此時方程為，
，
，即菱形的邊長為4；
答：，平行四邊形是菱形，菱形的邊長是4．
【變式訓練8-4】已知：關于的方程．
(1)求證：無論k取何值，方程總有實數根．
(2)若等腰三角形的一邊長，另兩邊長，恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
【答案】(1)見解析(2)5
【詳解】（1）證明：，
，即，
無論取任何實數值，方程總有實數根；
（2）解：當時，，則，
方程化為，解得，
的周長；
當或時，
把代入方程得，解得，
方程化為，解得，，
不符合三角形三邊的關系，此情況舍去，
的周長為5．
【變式訓練8-5】已知，，是△ABC三邊的邊長，且一元二次方程有兩個相等的實數根．試根據條件判斷△ABC是什么三角形，并說明理由．
【答案】△ABC是等腰三角形，，理由見解析
【詳解】解：△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵一元二次方程有兩個相等的實數根，
∴，
整理，得，
∵，
∴，
∴△ABC是等腰三角形．
【變式訓練8-6】已知，是關于的方程的兩個不相等的實數根．
(1)求的取值范圍．
(2)若，且，都是整數，請直接寫出符合條件的整數的值．
【答案】(1)(2)或
【詳解】（1）解：根據題意得，，
，
．
（2）解：，
，
是整數，
∴整數的值為，
當時，方程為，
解得：，符合題意．
當時，，此時方程解不為整數．
當時，方程為，此時方程解不為整數．
當時，方程為，
解得：，符合題意．
綜上所述，的值為2或5．中小學教育資源及組卷應用平臺
專題2.2.3 解一元二次方程（三）八大題型（一課一講）
（內容：公式法及其應用）
【浙教版】
題型一：用公式法解一元二次方程
【經典例題1】解一元二次方程．
【變式訓練1-1】解方程：．
【變式訓練1-2】解方程：
(1) (2)
【變式訓練1-3】解方程：
(1) (2)
【變式訓練1-4】用適當的方法解下列方程:
(1)； (2)；
【變式訓練1-5】用適當的方法解下列方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
題型二：利用求根公式還原一元二次方程
【經典例題2】下列一元二次方程中，根是的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-1】在用求根公式求一元二次方程的根時，小明正確地代入了，，得到x=，則他求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-2】若是某個一元二次方程的根，則這個一元二次方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-3】若用公式法解關于的一元二次方程的根為，則這個方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-4】關于的一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-5】已知（），則式子的值是 ．
【變式訓練2-6】一元二次方程，用求根公式求解時c的值是 ．
題型三：利用根的判別式判斷根的情況
【經典例題3】方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．只有一個實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．有兩個相等的實數根
【變式訓練3-1】在平面直角坐標系中，直線不經過第四象限，則關于x的方程的實數根的情況為（ ）
A．沒有實數根 B．只有一個實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．有兩個相等的實數根
【變式訓練3-2】已知實數，在數軸上的位置如圖所示，則關于的一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個實數根 D．沒有實數根
【變式訓練3-3】方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．兩個相等的實數根
C．兩個不相等的實數根 D．兩個根分別為一個正根，一個負根
【變式訓練3-4】下列一元二次方程中，沒有實數根的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-5】已知關于x的方程，下列說法中正確的是（　　）
A．當時，方程無解 B．當時，方程有兩個不相等的實根
C．當時，方程有一個實根 D．當時，方程一定有兩個不相等的實根
題型四：根據一元二次方程的根的情況求參數的取值范圍
【經典例題4】關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．且
【變式訓練4-1】若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則( )
A． B．且
C． D．且
【變式訓練4-2】若關于x的方程有實數根，則k的的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
【變式訓練4-3】已知關于的一元二次方程有實數根，則系數的取值范圍是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【變式訓練4-4】已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 ．
【變式訓練4-5】關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則整數的最小值是 ．
題型五：根據一元二次方程根的情況求代數式
【經典例題5】若關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，則（ ）
A．1 B． C．4 D．
【變式訓練5-1】若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則一次函數的圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式訓練5-2】若關于的一元二次方程有實數根，則的值為 ．
【變式訓練5-3】已知a，b為整數，且有兩個不相等的實數根，有兩個相等的實數根；沒有實數根，則 ．
【變式訓練5-4】已知關于x的方程，若等腰三角形的一邊長，另外兩邊長b，c恰好是這個方程的兩個根，則這個三角形的周長為 ．
題型六：根的判別式與分式方程或不等式的結合
【經典例題6】若關于的不等式組有且只有3個整數解，且關于y的一元二次方程有兩個實數根，則符合條件的所有整數m的和為 ．
【變式訓練6-1】若整數a使關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數解，且使關于y的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為 ．
【變式訓練6-2】已知關于y的分式方程有整數解，且關于x的一元二次方程有實數根的所有整數a的值之和為 ．
【變式訓練6-3】若數使關于的不等式組有且只有四個整數解，且使關于的一元二次方程有實數根，則符合條件的所有整數的和為 ．
【變式訓練6-4】若a使得關于x的分式方程有整數解，且使得關于y的一元二次方程有實數根，則所有滿足條件的整數a的和為 ．
【變式訓練6-5】若關于x的一元二次方程有實數根，且關于y的分式方程有非負整數解，則滿足條件的所有整數a的積為 ．
題型七：根的判別式中定義新運算
【經典例題7】定義：如果一元二次方程滿足，那么稱這個方程為“奇妙方程”．已知是“奇妙方程”，且有兩個相等的實數根，則b的值為 ．
【變式訓練7-1】對實數，，定義運算“”為：．已知關于的方程，若該方程有兩個相等的實數根，則實數的值是 ：若該方程有兩個不等負根，則實數的取值范圍是 ．
【變式訓練7-2】對于實數定義一種新運算：，若關于的方程（為整數）有兩個相等的實數根，則的值為 ．
【變式訓練7-3】定義，如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“龍泉師一”方程．已知方程是“龍泉師一”方程，且有兩個相等的實數根，則下列結論：①②③④，正確的是 ．（填序號）
【變式訓練7-4】定義：在平面直角坐標系中，若點滿足，則稱點為“積和點”．例如：，就是“積和點”．若直線上所有的點中只有唯一一個“積和點”，則 ．
【變式訓練7-5】定義新運算“”：對于任意實數，，都有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算．例如：．若關于的方程有兩個實數根，則實數的取值范圍是 ．
題型八：根的判別式綜合題型
【經典例題8】已知關于x的一元二次方程．
(1)若方程有一個解為0，求k的值；
(2)求證：方程有兩個不相等的實數根；
【變式訓練8-1】已知關于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個實數根；
(2)若該方程的一個實數根是，求的值及另一個實數根．
【變式訓練8-2】已知：關于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個實數根；
(2)若此方程的解均為整數，請你求出所有符合條件的整數的值，并求出此時方程的解．
【變式訓練8-3】已知平行四邊形的兩邊的長是關于x的一元二次方程的兩個實數根．
(1)若的長為6，求m的值；
(2)m為何值時，平行四邊形是菱形？求出此時菱形的邊長．
【變式訓練8-4】已知：關于的方程．
(1)求證：無論k取何值，方程總有實數根．
(2)若等腰三角形的一邊長，另兩邊長，恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．
【變式訓練8-5】已知，，是△ABC三邊的邊長，且一元二次方程有兩個相等的實數根．試根據條件判斷△ABC是什么三角形，并說明理由．
【變式訓練8-6】已知，是關于的方程的兩個不相等的實數根．
(1)求的取值范圍．
(2)若，且，都是整數，請直接寫出符合條件的整數的值．

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