資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題2.2.4 解一元二次方程（四）八大題型（一課一講）
（內(nèi)容：因式分解法+換元法及其應(yīng)用）
【浙教版】
題型一：因式分解概念的應(yīng)用
【經(jīng)典例題1】關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為2和，則分解因式（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】整式與整式的積為，則一元二次方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式訓(xùn)練1-2】用因式分解法解方程，將等號(hào)左邊分解后有一個(gè)因式是，另外一個(gè)因式是，則p的值為（ ）
A． B．1 C． D．5
【變式訓(xùn)練1-3】已知一元二次方程的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根和p分別為（ ）
A．3，4 B．3， C．， D．，4
【變式訓(xùn)練1-4】若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，則a的值為 ．
【變式訓(xùn)練1-5】用因式分解法解方程，若將左邊分解后有一個(gè)因式是，則的值是 ．
題型二：用因式分解解一元二次方程
【經(jīng)典例題2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>(1)； (2)．
【變式訓(xùn)練2-1】用適當(dāng)方法解下列方程：
(1)； (2)．
【變式訓(xùn)練2-2】解方程：
(1) (2)
【變式訓(xùn)練2-3】解方程：
【變式訓(xùn)練2-4】解方程：
(1)； (2)．
【變式訓(xùn)練2-5】解方程：．
題型三：因式分解中整體帶入法的應(yīng)用
【經(jīng)典例題3】若實(shí)數(shù)滿足，則 ．
【變式訓(xùn)練3-1】如果，那么 ．
【變式訓(xùn)練3-2】若，則的值是 ．
【變式訓(xùn)練3-3】若，則 ．
【變式訓(xùn)練3-4】已知，則 ．
【變式訓(xùn)練3-5】若為實(shí)數(shù)，且，則 ．
題型四：因式分解的應(yīng)用之三角形內(nèi)問(wèn)題
【經(jīng)典例題4】已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是8和6，第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)根，則該三角形的面積是（ ）
A．24 B．24或 C．48 D．48或
【變式訓(xùn)練4-1】如果△ABC一邊長(zhǎng)是5，另兩邊分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么△ABC是 三角形．
【變式訓(xùn)練4-2】三角形兩邊的長(zhǎng)分別是4和6，第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的周長(zhǎng)是 ．
【變式訓(xùn)練4-3】已知三角形中兩邊邊長(zhǎng)值分別是的兩根，設(shè)其剩下的邊邊長(zhǎng)值為，則的取值范圍是 ．
【變式訓(xùn)練4-4】已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是4和3，第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是 ．
【變式訓(xùn)練4-5】已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是一個(gè)三角形兩邊的長(zhǎng)，那么這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)可能是5嗎？為什么？
題型五：因式分解中定義新運(yùn)算問(wèn)題
【經(jīng)典例題5】定義運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，有，例如，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C．且 D．且
【變式訓(xùn)練5-1】對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算“”：，如．若，則實(shí)數(shù)的值是 ．
【變式訓(xùn)練5-2】定義：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．則有下列四個(gè)結(jié)論：
①如果是的倒方程的解，則；
②如果，那么這兩個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③如果一元二次方程無(wú)解，則它的倒方程也無(wú)解；
④如果一元二次方程與它的倒方程有相同的根，那么這個(gè)根一定是．
其中正確的結(jié)論是 ．（填序號(hào)）
【變式訓(xùn)練5-3】對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：，例如：，若，則x的值為 ．
【變式訓(xùn)練5-4】新定義：關(guān)于x的一元二次方程如果有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的一元二次方程為“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．則代數(shù)式的值為 ．
【變式訓(xùn)練5-5】 定義：如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1 ，x2，那么以這兩個(gè)根的倒數(shù)，為根的一元二次方程稱為原方程的倒根方程．
應(yīng)用：
(1)通過(guò)計(jì)算，判斷方程②是不是方程①的倒根方程：
①，
②，
(2)請(qǐng)求出一元二次方程的倒根方程．
題型六：換元法求另一個(gè)方程的解
【經(jīng)典例題6】若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為，則方程必有一根為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-1】若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【變式訓(xùn)練6-2】若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根2024，則方程必有一個(gè)根為（ ）
A．2026 B．2024 C．2023 D．2025
【變式訓(xùn)練6-3】已知方程的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式訓(xùn)練6-4】關(guān)于x的方程（m，h，k均為常數(shù)，）的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式訓(xùn)練6-5】已知關(guān)于的方程的解是，均為常數(shù)，且，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．無(wú)法求解
題型七：用換元法化簡(jiǎn)方程
【經(jīng)典例題7】用換元法解方程時(shí)，設(shè)，則原方程可化為關(guān)于的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練7-1】在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于y的整式方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練7-2】用換元法解方程時(shí)，設(shè)，則原方程化為的整式方程為（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練7-3】用換元法解方程時(shí)，如果設(shè)，那么原方程可化為（ ）
A． B．
C． D．．
【變式訓(xùn)練7-4】在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于y的整式方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練7-5】在分式方程=5中，設(shè)=y，可得到關(guān)于y的整式方程為（ ）
A．y2+5y+5=0 B．y2-5y+5=0
C．y2+5y+1=0 D．y2-5y+1=0
題型八：換元法的綜合應(yīng)用
【經(jīng)典例題8】材料：為解方程，可設(shè)，于是原方程可化為，解得，．當(dāng)時(shí)，不合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，解得，，故原方程的根為：，．
請(qǐng)你參照材料給出的解題方法，解下列方程：
(1)；
(2)．
【變式訓(xùn)練8-1】解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：
設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)棰伲獾茫?br/>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
原方程有四個(gè)根：．
(1)①中填寫的方程是_______，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．
(2)已知實(shí)數(shù)滿足，求的值；
(3)解方程：．
【變式訓(xùn)練8-2】閱讀并填空：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，原方程化為_(kāi)_____①
解得______．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
原方程的解為．
在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了“降次”和“整體”的數(shù)學(xué)思想．
請(qǐng)你利用上述材料中的方法解方程：．
【變式訓(xùn)練8-3】閱讀下列材料：
已知實(shí)數(shù)、滿足，試求的值．
解：設(shè)，則原方程可化為，即；
解得．
，
．
上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替(即換元)，則能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．根據(jù)以上閱讀材料為內(nèi)容，解決下列問(wèn)題：
(1)若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為，直接寫出這四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)為 ．
(2)已知實(shí)數(shù)、滿足，求的值．
(3)解方程．
【變式訓(xùn)練8-4】閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，將原方程化為，①
解得：．
當(dāng)時(shí)，，∴，∴，
當(dāng)時(shí)，，∴，∴，
∴原方程的解為
解答問(wèn)題：
(1)在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用法達(dá)到了的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；
(2)利用上述材料中的方法解方程：．
【變式訓(xùn)練8-5】【閱讀思考】利用均值換元法解一類一元二次方程：
．
第一步：原方程可變形為：；
第二步：令；
第三步：第一步的方程可變形為；
第四步：……；
根據(jù)的值可以求出，．
【方法總結(jié)】求第一步方程等號(hào)左邊兩個(gè)多項(xiàng)式的平均值，從而換元得到較為簡(jiǎn)單的一元一次方程，因此，這種方法稱為均值換元法，我們?cè)诮鉀Q形如（其中，，，是常數(shù)，且）的方程時(shí)可以利用均值換元法求解．
(1)利用均值換元法解方程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是_________；
A．分類討論思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．整體代換思想 D．類比思想
(2)完成材料中第三步以后求值的過(guò)程；
(3)利用均值換元法解方程：．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
專題2.2.4 解一元二次方程（四）八大題型（一課一講）
（內(nèi)容：因式分解法+換元法及其應(yīng)用）
【浙教版】
題型一：因式分解概念的應(yīng)用
【經(jīng)典例題1】關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為2和，則分解因式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為2和，
∴分解因式為，
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-1】整式與整式的積為，則一元二次方程的根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【詳解】解：∵整式與整式的積為，
∴，
∴，
∴一元二次方程為，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-2】用因式分解法解方程，將等號(hào)左邊分解后有一個(gè)因式是，另外一個(gè)因式是，則p的值為（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】B
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
解得：．
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-3】已知一元二次方程的一個(gè)根為1，則另一個(gè)根和p分別為（ ）
A．3，4 B．3， C．， D．，4
【答案】B
【詳解】解：∵一元二次方程的一個(gè)根為1，
把代入方程得，，
解得，
∴，
因式分解得，，
∴或，
∴，，
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-4】若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，則a的值為 ．
【答案】2或6
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
解得：或6．
故答案為：2或6．
【變式訓(xùn)練1-5】用因式分解法解方程，若將左邊分解后有一個(gè)因式是，則的值是 ．
【答案】
【詳解】解：，若將左邊分解后有一個(gè)因式是，
設(shè)另一個(gè)因式為，
的常數(shù)項(xiàng)是，
，
，
，
，
．
故答案為： ．
題型二：用因式分解解一元二次方程
【經(jīng)典例題2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br/>(1)； (2)．
【答案】(1)，(2)，
【詳解】（1）解：，
∴或．
解得，．
（2）解：，
，
，
∴或．
解得，．
【變式訓(xùn)練2-1】用適當(dāng)方法解下列方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：∵
∴
∴或
∴；
（2）解：∵
∴
∴
∴或
∴．
【變式訓(xùn)練2-2】解方程：
(1) (2)
【答案】(1)，(2)，
【詳解】（1）解：，
，
或，
解得：，；
（2）解：，
，
，
或，
解得：，．
【變式訓(xùn)練2-3】解方程：
【答案】，
【詳解】解：，
，
，
或，
，．
【變式訓(xùn)練2-4】解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)，．(2)，
【詳解】（1）解：
，
或，
∴，；
（2），
右邊因式分解得：，
移項(xiàng)得：，
因式分解得：，
或，
，．
【變式訓(xùn)練2-5】解方程：．
【答案】
【詳解】解：，
∴，
∴或，
解得：．
題型三：因式分解中整體帶入法的應(yīng)用
【經(jīng)典例題3】若實(shí)數(shù)滿足，則 ．
【答案】
【詳解】解：設(shè)，則方程可變?yōu)椋?br/>，
解得：，，
當(dāng)，則，
整理得：，
，
此方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)，則
，
，
此方程有不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練3-1】如果，那么 ．
【答案】/0.5
【詳解】解：令，
則原方程可化為，
整理得，，
或
解得或m，
∴或（無(wú)意義，舍去），
故答案為：．
【變式訓(xùn)練3-2】若，則的值是 ．
【答案】或1
【詳解】解：令，則原方程變?yōu)椋?br/>，
，
或．
故答案為：或1．
【變式訓(xùn)練3-3】若，則 ．
【答案】4
【詳解】解：設(shè)，
∴，
因式分解，得，
∴．
∵，
∴．
故答案為：4．
【變式訓(xùn)練3-4】已知，則 ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴或，
∴或，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練3-5】若為實(shí)數(shù)，且，則 ．
【答案】
【詳解】解：設(shè)，
∴，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
故答案為：．
題型四：因式分解的應(yīng)用之三角形內(nèi)問(wèn)題
【經(jīng)典例題4】已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是8和6，第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)根，則該三角形的面積是（ ）
A．24 B．24或 C．48 D．48或
【答案】B
【詳解】解：，
，
∴或，
當(dāng)時(shí)，該三角形為以6為腰，8為底的等腰三角形，
∴底邊上的高，
∴面積；
當(dāng)時(shí)，，該三角形為以6和8為直角邊，10為斜邊的直角三角形，
∴面積，
∴面積或．
故選：B．
【變式訓(xùn)練4-1】如果△ABC一邊長(zhǎng)是5，另兩邊分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么△ABC是 三角形．
【答案】等腰
【詳解】解：，
，
，
，
∵三角形△ABC的兩邊分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
三角形的兩邊分別是：5，2，
又∵△ABC的一邊長(zhǎng)為5，
是等腰三角形，
故答案為：等腰．
【變式訓(xùn)練4-2】三角形兩邊的長(zhǎng)分別是4和6，第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的周長(zhǎng)是 ．
【答案】
【詳解】解：，
，
∴或，
解得，或，
由構(gòu)成三角形的三邊關(guān)系可知，第三邊的長(zhǎng)為6，
∴，
∴該三角形的周長(zhǎng)是，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-3】已知三角形中兩邊邊長(zhǎng)值分別是的兩根，設(shè)其剩下的邊邊長(zhǎng)值為，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】解：，
，
則或，
解得，，
則該三角形第三邊的取值范圍是，即，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-4】已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是4和3，第三邊的長(zhǎng)是一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則該三角形的面積是 ．
【答案】或6/6或
【詳解】解：，
因式分解得，
解得或，
三角形兩邊的長(zhǎng)分別是4和3，
第三邊取值范圍為：，即，
第三邊長(zhǎng)度為3或5．
分兩種情況：
當(dāng)這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，3，4，即為等腰三角形，
如圖，△ABC中，，，作于點(diǎn)D，
，
，
；
當(dāng)這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，
，
這個(gè)三角形是直角三角形，且直角邊的邊長(zhǎng)為3和4，
這個(gè)三角形的面積為，
綜上可知，這個(gè)三角形的面積為或6，
故答案為：或6．
【變式訓(xùn)練4-5】已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根恰好是一個(gè)三角形兩邊的長(zhǎng)，那么這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)可能是5嗎？為什么？
【答案】(1)且(2)這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)不可能是5，理由見(jiàn)解析
【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
∴，
又∵二次項(xiàng)系數(shù)不為0，
∴，
綜上所述，且；
（2）解：這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)不可能是5，理由如下：
當(dāng)時(shí)，原方程為，
∴，
解得或，
∴這個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為1，3，
∴第三邊的長(zhǎng)，
∴這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)不可能是5．
題型五：因式分解中定義新運(yùn)算問(wèn)題
【經(jīng)典例題5】定義運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，有，例如，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【詳解】解：，
根據(jù)新定義，得：，
整理，得：，
關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
且，
解得：且，
即的取值范圍為且，
故選：．
【變式訓(xùn)練5-1】對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算“”：，如．若，則實(shí)數(shù)的值是 ．
【答案】4
【詳解】解：∵，
∴，整理得，，
∴，
解得，，
∴實(shí)數(shù)的值是，
故答案為： ．
【變式訓(xùn)練5-2】定義：一元二次方程是一元二次方程的倒方程．則有下列四個(gè)結(jié)論：
①如果是的倒方程的解，則；
②如果，那么這兩個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③如果一元二次方程無(wú)解，則它的倒方程也無(wú)解；
④如果一元二次方程與它的倒方程有相同的根，那么這個(gè)根一定是．
其中正確的結(jié)論是 ．（填序號(hào)）
【答案】①②③
【詳解】解：①∵的倒方程是，
又∵是的倒方程的解，
∴，
解得：，故結(jié)論①正確；
②一元二次方程是一元二次方程的倒方程，
∵，
∴，
∴這兩個(gè)方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故結(jié)論②正確；
③∵一元二次方程無(wú)解，
∴，
∴，
∵一元二次方程的倒方程是，
又∵，
∴它的倒方程也無(wú)解，故結(jié)論③正確；
④∵一元二次方程與它的倒方程有相同的根，
∴
解得：，
∴這個(gè)根一定是，故結(jié)論④錯(cuò)誤，
綜上所述，正確的結(jié)論是①②③．
故答案為：①②③．
【變式訓(xùn)練5-3】對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：，例如：，若，則x的值為 ．
【答案】或
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，，
故答案為：或．
【變式訓(xùn)練5-4】新定義：關(guān)于x的一元二次方程如果有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的一元二次方程為“倍根方程”，如方程是“倍根方程”；若是“倍根方程”．則代數(shù)式的值為 ．
【答案】或
【詳解】解：，
解得：，
∵方程為“倍根方程”．
∴或者，
當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
故答案為： 或．
【變式訓(xùn)練5-5】 定義：如果關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1 ，x2，那么以這兩個(gè)根的倒數(shù)，為根的一元二次方程稱為原方程的倒根方程．
應(yīng)用：
(1)通過(guò)計(jì)算，判斷方程②是不是方程①的倒根方程：
①，
②，
(2)請(qǐng)求出一元二次方程的倒根方程．
【答案】(1)方程②是方程①的倒根方程(2)
【詳解】（1）解：①，
，
，
，
②，
，
，
．
∴方程②是方程①的倒根方程；
（2）解：，
，
，
，
∴，，
∴方程的倒根方程為，
整理得：．
題型六：換元法求另一個(gè)方程的解
【經(jīng)典例題6】若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)根為，則方程必有一根為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：可化為：
關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，
把看作是整體未知數(shù)，則
即有一根為．
故選D．
【變式訓(xùn)練6-1】若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【詳解】解：，整理，得：，
∵關(guān)于x的一元二次方程有一根為，
∴方程必有一根為，即：，
故選B．
【變式訓(xùn)練6-2】若關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根2024，則方程必有一個(gè)根為（ ）
A．2026 B．2024 C．2023 D．2025
【答案】A
【詳解】解：∵，
∴，
∵一元二次方程有一個(gè)根2024，
∴必有一根為，
解得：；
故選：A．
【變式訓(xùn)練6-3】已知方程的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【詳解】解：令，
即，
∵方程的解是，，
∴，，
∴或，
解得，，
故選：A．
【變式訓(xùn)練6-4】關(guān)于x的方程（m，h，k均為常數(shù)，）的解是，，則方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【詳解】解：∵方程（m，h，k均為常數(shù)，）的解是，，
令，
∴對(duì)于關(guān)于的一元二次方程的解為，，
即或，
即，，
∴關(guān)于的一元二次方程的解是，．
故選：C．
【變式訓(xùn)練6-5】已知關(guān)于的方程的解是，均為常數(shù)，且，那么方程的解是（ ）
A． B．
C． D．無(wú)法求解
【答案】B
【詳解】解：∵，是方程的解，
∴令，，滿足方程，即．
∴，，
∴方程的解是，，
故選：B
題型七：用換元法化簡(jiǎn)方程
【經(jīng)典例題7】用換元法解方程時(shí)，設(shè)，則原方程可化為關(guān)于的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：，
設(shè)，則原方程化為：，
，
，
故選：．
【變式訓(xùn)練7-1】在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于y的整式方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴，
原分式方程可化為：，
方程兩邊同時(shí)乘以得：，
即：
故選：C
【變式訓(xùn)練7-2】用換元法解方程時(shí)，設(shè)，則原方程化為的整式方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
去分母，得，
移項(xiàng)，得，
故選：B．
【變式訓(xùn)練7-3】用換元法解方程時(shí)，如果設(shè)，那么原方程可化為（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】A
【詳解】解：設(shè)，原方程轉(zhuǎn)化為，
方程兩邊乘以y得，．
故選：A．
【變式訓(xùn)練7-4】在分式方程中，設(shè)，可得到關(guān)于y的整式方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：設(shè)，則原方程可變形為，
即；
故選：D.
【變式訓(xùn)練7-5】在分式方程=5中，設(shè)=y，可得到關(guān)于y的整式方程為（ ）
A．y2+5y+5=0 B．y2-5y+5=0
C．y2+5y+1=0 D．y2-5y+1=0
【答案】D
【詳解】設(shè)=y，則，分式方程=5可變?yōu)閥+=5，
去分母，得y2+1=5y，
整理，得y2-5y+1=0.
題型八：換元法的綜合應(yīng)用
【經(jīng)典例題8】材料：為解方程，可設(shè)，于是原方程可化為，解得，．當(dāng)時(shí)，不合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，解得，，故原方程的根為：，．
請(qǐng)你參照材料給出的解題方法，解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)原方程的根為；(2)故原方程的根為．
【詳解】（1）解：設(shè)，原方程可化為，
解得,
當(dāng)時(shí)，,即,
∵，
∴方程無(wú)解，
當(dāng)時(shí)，,即,
解得，,
故原方程的根為；
（2）解：設(shè),原方程可化為，即,
解得,
當(dāng)時(shí)，,
解得,經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
當(dāng),時(shí)，,
解得,經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，
故原方程的根為．
【變式訓(xùn)練8-1】解方程，這是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：
設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)棰伲獾茫?br/>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
原方程有四個(gè)根：．
(1)①中填寫的方程是_______，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．
(2)已知實(shí)數(shù)滿足，求的值；
(3)解方程：．
【答案】(1)(2)5(3)
【詳解】（1）解：設(shè)，
那么，
于是方程可變?yōu)椋?br/>故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
設(shè)，
則，
解得，
∴或，
∴或（實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義，舍去），
故的值為5．
（3）解：設(shè)，則可化為，
解得，
∴，
∴（無(wú)實(shí)數(shù)根），
或，
∴，
解得．
【變式訓(xùn)練8-2】閱讀并填空：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，原方程化為_(kāi)_____①
解得______．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
原方程的解為．
在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了“降次”和“整體”的數(shù)學(xué)思想．
請(qǐng)你利用上述材料中的方法解方程：．
【答案】；或；
【詳解】解：設(shè)，原方程化為①，
∴，
解得或．
當(dāng)時(shí)，，
∴，
；
當(dāng)時(shí)，，
∴，
；
原方程的解為．
設(shè)，則原方程可化為，
∴，
∴或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，，
∴，
．
【變式訓(xùn)練8-3】閱讀下列材料：
已知實(shí)數(shù)、滿足，試求的值．
解：設(shè)，則原方程可化為，即；
解得．
，
．
上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運(yùn)算中，若把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替(即換元)，則能使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．根據(jù)以上閱讀材料為內(nèi)容，解決下列問(wèn)題：
(1)若四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積為，直接寫出這四個(gè)連續(xù)的正整數(shù)為 ．
(2)已知實(shí)數(shù)、滿足，求的值．
(3)解方程．
【答案】(1)，，，(2)(3)
【詳解】（1）解：設(shè)最小數(shù)為，則，
即：，
設(shè)，則，
，，
為正整數(shù)，
，
，舍去，
這四個(gè)整數(shù)為，，，．
故答案為：，，，．
（2）設(shè)．
，
，
，
，
，
；
（3），
，
設(shè)，則，
，
或，
，，
或，
∴．
【變式訓(xùn)練8-4】閱讀材料：為解方程，我們可以將視為一個(gè)整體，然后設(shè)，將原方程化為，①
解得：．
當(dāng)時(shí)，，∴，∴，
當(dāng)時(shí)，，∴，∴，
∴原方程的解為
解答問(wèn)題：
(1)在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用法達(dá)到了的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；
(2)利用上述材料中的方法解方程：．
【答案】(1)換元，降次，轉(zhuǎn)化；(2)
【詳解】（1）解：將設(shè)為，利用的是換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，
故答案是：換元，降次，轉(zhuǎn)化；
（2）解：令，則，
，
或．
解得：，
當(dāng)時(shí)，，即，解得：，
當(dāng)時(shí)，，即，
，
∴此方程實(shí)數(shù)根；
綜上：方程的解是．
【變式訓(xùn)練8-5】【閱讀思考】利用均值換元法解一類一元二次方程：
．
第一步：原方程可變形為：；
第二步：令；
第三步：第一步的方程可變形為；
第四步：……；
根據(jù)的值可以求出，．
【方法總結(jié)】求第一步方程等號(hào)左邊兩個(gè)多項(xiàng)式的平均值，從而換元得到較為簡(jiǎn)單的一元一次方程，因此，這種方法稱為均值換元法，我們?cè)诮鉀Q形如（其中，，，是常數(shù)，且）的方程時(shí)可以利用均值換元法求解．
(1)利用均值換元法解方程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是_________；
A．分類討論思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．整體代換思想 D．類比思想
(2)完成材料中第三步以后求值的過(guò)程；
(3)利用均值換元法解方程：．
【答案】(1)C(2)見(jiàn)解析(3)，
【詳解】（1）解：依題意，利用均值換元法解方程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是整體代換思想；
故選：C；
（2）解：∵，
∴，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
原方程的解為，；
（3）解：原方程變形為，
令，
原方程可化為，
，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
原方程的解為，．

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