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第四章
運動和力的關系
4.3 牛頓第二定律
目錄
一、上節回溯
三、小結
四、練習
二、知識講解
一、上節回溯
實驗：探究加速度與力、質量的關系
加速度與力和質量的關系
實驗探究
加速度與所受的作用力成正比
加速度與物體質量成反比
設計實驗
實驗操作
實驗數據分析
加速度、力、質量的測量
平衡摩擦力的方法
減小系統誤差的方法
建立坐標系，繪制和分析 a-F 圖像
建立坐標系，繪制和分析 a-1/m 圖像
　　通過上節課的實驗，你能大致描述一下物體的加速度與力、質量的定量關系嗎？
問題引入
a / (m·s-2)
F / N
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0
0.15
0.30
0.45
0.60
0.75
a / (m·s-2)
/(kg-1)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
二、知識講解——牛頓第二定律的表達式
　　通過上節課的實驗，我們可以總結出一般規律：物體的加速度的大小跟它受到的作用力成正比，跟它的質量成反比，加速度的方向跟作用力方向相同。這就是牛頓第二定律。
運動和力的定量關系
　　牛頓第二定律可表述為：a ∝
　　寫成等式：F＝kma
二、知識講解——牛頓第二定律的表達式
1．牛頓第二定律是動力學的核心，也是連接力與運動關系的橋梁；
2．揭示了運動和力的關系，為設計運動和控制運動提供理論基礎。
牛頓第二定律
二、知識講解——牛頓第二定律的表達式
牛頓第二定律深層理解
性質 深層理解
同體關系 F、m、a 都是對同一物體而言的
瞬時關系 加速度與合力是瞬時對應關系，同時產生，同時變化，同時消失
矢量關系 F＝kma 是一個矢量式。物體的加速度方向由它所受的合力方向決定，且總與合力方向相同
獨立關系 作用在物體上的每一個力都產生加速度，物體的實際加速度是這些加速度的矢量和
相對關系 加速度 a 是相對于地面的（或相對于地面靜止和勻速運動的物體），即相對于慣性參考系的。
二、知識講解——牛頓第二定律的表達式
　　F＝kma ，這個比例系數 k 取多少合適呢？如何才能讓這個比例系數最簡單？1 N 的力到底有多大？牛頓當年是如何定義單位力的？
思考
二、知識講解——力的單位
　　在國際制單位中，力的單位為牛頓，“牛頓”這個單位是根據牛頓第二定律來定義的。
力的單位
　　在 F＝kma 中，比例系數 k 的數值取決于 F、m、a 的單位選取，牛頓把這個比例系數取 1 ，定義質量 1 kg 的物體在某個力的作用下獲得 1 m/s2 的加速度，我們把這個力叫作“一個單位”的力，即：
F＝ma＝1 kg·m/s2
　　所以，力的單位為千克米每二次方秒，后人為了紀念牛頓，把它稱作“牛頓”，用符號“N”表示。
二、知識講解——力的單位
　　在質量單位選取千克（kg），加速度單位選取米每二次方秒（m/s2），力的單位取牛頓（N）是時，牛頓第二定律可以表述為：
F＝ma
力的單位
二、知識講解——力的單位
注意：F 是因，ma 是果，不能把 ma 看作是力，它是力的作用效果
例題 1
　　在平直路面上，質量為 1100 kg 的汽車在進行研發的測試，當速度達到 100 km/h 時取消動力，經過 70 s 停了下來。假定試車過程中汽車受到的阻力不變。汽車受到的阻力是多少？重新起步加速時牽引力為 2000 N，產生的加速度是多少？
分析　如圖 4.3-2，取消動力后，汽車在平直路面上只受阻力的作用。由于阻力不變，根據牛頓第二定律，汽車在平直路面上運動的加速度將保持不變。由加速度可以求出汽車受到的阻力。
圖 4.3-2
二、知識講解——力的單位
分析　如圖 4.3-3，重新起步后，汽車在平直路面上受到牽引力和阻力。由于二者大小都不變，所以汽車的加速度恒定不變。根據牛頓第二定律可以求出汽車運動時的加速度。
圖 4.3-3
解　以汽車為研究對象。設汽車運動方向為 x 軸正方向，建立一維坐標系。取消動力后，汽車做勻減速直線運動。初速度為 v0＝100 km/h＝27.8 m/s ，末速度為零，滑行時間 t＝70 s 。
　　根據勻變速直線運動速度與時間的關系式，加速度為 a1＝＝－
二、知識講解——力的單位
　　汽車受到的阻力為：
F阻＝ma1＝－＝－＝－437 N
　　汽車受到的阻力是 437 N ，方向與運動方向相反。
　　重新起步后，汽車所受的合力為
F合＝2000 N－437 N＝1563 N
　　由牛頓第二定律可以的到汽車的加速度：a2＝＝－＝1.42 m/s2
　　重新起步產生的加速度是 1.42 m/s2，方向與運動方向相同。
二、知識講解——力的單位
例題 2
　　某同學在列車車廂的頂部用細線懸掛一個小球，在列車以某一加速度漸漸啟動的過程中，細線就會偏過一定角度并相對車廂保持靜止，通過測定偏角的大小就能確定列車的加速度。在某次測定中，懸線與豎直方向的夾角為 θ ，求列車的加速度。
分析　列車在加速行駛的過程中，小球始終與列車保持相對靜止狀態，所以小球的加速度與列車的加速度相同。
　　對小球進行受力分析，根據力的合成法則求解合力。再根據牛頓第二定律，求出小球的加速度，從而獲得車的加速度。
圖 4.3-4
二、知識講解——力的單位
解　方法一　選擇小球為研究對象。設小球的質量為 m ，小球在豎直平面內受到重力 mg、繩的拉力 FT（圖 4.3-5）。在這兩個力的作用下，小球產生水平方向的加速度 a 。這表明，FT 與 mg 的合力方向水平向右，且
F＝mg tan θ
根據牛頓第二定律，小球具有的加速度為
a＝＝g tan θ
θ
FT
F
G
O
圖 4.3-5
二、知識講解——力的單位
方法二　小球在水平方向上做勻加速直線運動，在豎直方向上處于平衡狀態。建立如圖所示的直角坐標系。將小球所受的拉力 FT 分解為水平方向的 Fx 和豎直方向的 Fy 。
　　在豎直方向有 Fy－mg＝0，Fy＝FT cos θ
FT cos θ＝mg
　　在水平方向有 Fx＝FT sin θ
FT sin θ＝ma
　　聯立求得 a＝g tan θ
　　列車的加速度與小球相同，大小為 g tan θ ，方向水平向右。
圖 4.3-6
θ
FT
Fx
G
O
Fy
x
y
二、知識講解——力的單位
1．依據題意選取研究對象；
2．對研究對象進行受力分析和運動情況分析；
3．選取正方向，建立坐標系；
4．列牛頓第二定律方程，進行求解。
運用牛頓第二定律解題步驟
二、知識講解——力的單位
利用動力學的方法測質量
科學漫步
　　閱讀 92 頁科學漫步欄目下的內容，思考用動力學的方法測量一個物體的質量，例如一個小型航天器的質量，需要進行哪些測量，測量數據應該怎樣處理？方法要盡可能簡單、可行。
二、知識講解——力的單位
　　1966年曾在地球的上空完成了以牛頓第二定律為基礎的測定質量的實驗。實驗時，用雙子星號宇宙飛船 m1 去接觸正在軌道上運行的火箭組 m2（后者的發動機已熄火）。接觸以后，開動雙子星號飛船的推進器，使飛船和火箭組共同加速。推進器的平均推力 F 等于 895 N，推進器開動時間為 7 s 。測出飛船和火箭組的速度變化是 0.91 m/s。雙子星號宇宙飛船的質量是已知的，m1＝3400 kg，根據上述數據嘗試從動力學的視角，求解火箭組的質量 m2 。
科學漫步
二、知識講解——力的單位
三、小結
1．牛頓第二定律
2．力的單位
四、練習
1．從牛頓第二定律知道，無論多小的力都可以使物體產生加速度，可是我們用力提一個很重的箱子，卻提不動它。這跟牛頓第二定律有沒有矛盾？應該怎么解釋這個現象？
答：沒有矛盾。牛頓第二定律 F＝ma 中的 F 指的是物體所受的合力，而不是一個力。我們用力提一個放在地面上很重的箱子時，箱子受到的力總共有三個：豎直向下的重力 G ，手對箱子向上的作用力 F1 ，以及地面向上的支持力 F2 。如果 F1 < G ，只是支持力 F2 減小，這三個力的合力 F＝0 ，故箱子的加速度為零，箱子仍然保持靜止。
2．光滑水平桌面上有一個質量為 2 kg 的物體，它在水平方向上受到互成 90° 角的兩個力的作用，這兩個力的大小都是 14 N 。這個物體加速度的大小是多少？沿什么方向？
答：根據平行四邊形定則，這兩個力的合力為 F＝2×14×cos 45° N＝19.8 N ，
加速度 a＝＝9.9 m/s2 。加速度方向與合力方向相同，沿兩個力角平分線方向。
四、練習
3．（多選）（2020北京人大附中高一上期末）如圖所示，質量為 m 的小球置于傾角為 θ 的斜面上，被一個豎直擋板擋住。現用一個水平力 F 拉斜面，使斜面在水平面上做加速度為 a 的勻加速直線運動，重力加速度為 g ，忽略一切摩擦，以下說法正確的是（ ）
A．斜面對小球的彈力大小為
B．斜面和豎直擋板對小球彈力的合力大小為 ma
C．若增大加速度 a ，斜面對小球的彈力一定增大
D．若增大加速度 a ，豎直擋板對小球的彈力一定增大
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四、練習
4．如圖所示，一輛裝滿石塊的貨車在平直道路上以加速度 a 向前加速運動。貨箱中石塊 B 的質量為 m，求石塊 B 的周圍與它接觸的物體對石塊 B 作用力的合力。
答：在水平方向上，石塊 B 與車具有相同的加速度 a ，設其在水平方向上受到的力為 Fx，根據牛頓第二定律，Fx＝ma 。在豎直方向上，石塊 B 的重力 mg 與其他石塊的支持力 Fy 平衡，所以 Fy＝mg 。則石塊 B 受到的合力 F＝＝m 。設該力的方向與水平方向夾角為 α ，則 tan α＝＝ 。
四、練習
謝謝

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