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5.6.4 三角形的內(nèi)切圓（學(xué)案帶答案）
列清單·劃重點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)1 三角形的內(nèi)切圓
與三角形三條邊都相切的圓能且只能作出一個(gè)，這個(gè)圓叫做三角形的________.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做該三角形的__________，它是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形各邊的距離相等.
注意
作三角形兩個(gè)內(nèi)角的平分線即可確定出內(nèi)心.
知識(shí)點(diǎn)2 利用尺規(guī)作三角形的內(nèi)切圓
已知△ABC，求做一個(gè)圓，使它與△ABC 的各邊相切.
做法:(1)作∠B,∠C 的平分線BE 和CF,交點(diǎn)為I.
(2)過(guò)點(diǎn)I作ID⊥BC,垂足是點(diǎn) D.
(3)以點(diǎn)I為圓心，以ID為半徑作⊙I.
⊙I 就是所求做的圓.
知識(shí)點(diǎn)3 三角形的內(nèi)切圓與外接圓的比較
三角形的外接圓
圖形
圓心O的名稱 △ABC的內(nèi)心 △ABC的外心
△ABC的名稱 ⊙O的外切三角形 ⊙O的內(nèi)接三角形
圓心O的確定 三角形兩條角平分線的交點(diǎn) 三角形兩邊垂直平分線的交點(diǎn)
“心”的性質(zhì) 到三角形的三條邊的距離相等 到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等
“心”的位置 一定在三角形內(nèi)部 在三角形內(nèi)(銳角三角形)；在斜邊中點(diǎn)處(直角三角形)；在三角形外(鈍角三角形)
角度關(guān)系 ∠BOC=90°+∠BAC ∠BOC=2∠BAC
拓展
(1)如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為 a，b，c，它的內(nèi)切圓的半徑為r，則三角形的面積
(2)直角三角形內(nèi)切圓半徑 其中a，b是直角邊，c是斜邊.
明考點(diǎn)·識(shí)方法
考點(diǎn)1 與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的問(wèn)題
典例1 如圖，點(diǎn)I是 的內(nèi)心，若 則∠C等于 ( )
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
思路導(dǎo)析 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA= 50°,根據(jù)內(nèi)心的概念得到∠CAB+根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.
變式 一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為8，內(nèi)切圓半徑為1，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)等于___________.
典例2 已知:△ABC.
(1)尺規(guī)作圖：用直尺和圓規(guī)作出△ABC 內(nèi)切圓的圓心O；(只保留作圖痕跡，不寫作法和證明)
(2)如果△ABC的周長(zhǎng)為14 cm,內(nèi)切圓的半徑為1.3c m,求△ABC 的面積.
思路導(dǎo)析 (1)作出兩個(gè)角的角平分線即可，其交點(diǎn)即為點(diǎn)O；
(2)利用割補(bǔ)法,連接OA,OB,OC,作OD⊥AB,這樣將△ABC分成三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形分別以 的三邊為底，高為內(nèi)切圓的半徑，提取公因式后可將周長(zhǎng)代入，進(jìn)而求出三角形的面積.
變式 如圖所示，有一塊直角三角形的木板余料，木匠師傅要在此余料上鋸出一塊圓形的木板制作凳面，要想使鋸出的凳面的面積最大.
(1)請(qǐng)你試著用尺規(guī)畫出此圓；(保留作圖痕跡，不寫作法和證明)
(2)若此 Rt△ABC 的直角邊分別為 30 cm和 40 cm，試求此圓凳面的面積.
考點(diǎn)2 三角形的內(nèi)切圓與外接圓綜合
典例3 如圖,點(diǎn)I 是△ABC的內(nèi)心,AI 的延長(zhǎng)線交邊 BC 于點(diǎn) D,交△ABC 的外接圓于點(diǎn)E.
(1)求證:IE=BE;
(2)若IE=4,AE=8,求DE的長(zhǎng);
(3)若IE=6,DE=x,AE=y,求y與x的關(guān)系.
思路導(dǎo)析 (1)連接 IB，只需證明 根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心是三角形的角平分線的交點(diǎn)以及圓周角定理的推論即可證明；
(2)IE的長(zhǎng)，即為 BE 的長(zhǎng)，則可以把要求的線段和已知的線段構(gòu)造到兩個(gè)相似三角形中，進(jìn)行求解；(3)由 推出由此可得結(jié)論.
變式 如圖,點(diǎn)O是 外接圓的圓心，點(diǎn)I 是 的內(nèi)心，連接OB，IA.若 ,則∠OBC的度數(shù)為( )
當(dāng)堂測(cè)·夯基礎(chǔ)
1.如圖，在 中，⊙O 是的內(nèi)切圓，連接BO并延長(zhǎng)與AC 交于點(diǎn) D，則 的度數(shù)為 ( )
2.若一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為 則其內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為 ( )
D.1,2
3. 如圖, 在△ABC 中,∠C= 90°, AC = 4,BC=3,I 為△ABC 的內(nèi)心,ID∥AC,IE∥BC,則△IDE的周長(zhǎng)為 ( )
A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4
第3題圖 第4題圖
4.如圖,△ABC,AC=3,BC=4,∠C=90°,⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，與三邊的切點(diǎn)分別為 D，E，F(xiàn)，則⊙O的面積為_(kāi)___________(結(jié)果保留π).
5.如圖, ⊙O 是△ABC的外接圓,點(diǎn) E 是△ABC 的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線交BC 于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn) D,連接 BD,BE.
(1)求證:DB=DE;
(2)若AE=3,DF=4,求 DB的長(zhǎng).
參考答案
【列清單·劃重點(diǎn)】
知識(shí)點(diǎn) 1 內(nèi)切圓 內(nèi)心
【明考點(diǎn)·識(shí)方法】
典例1 D
變式18 解析:如圖所示,連接OD,OE,OF,AO,BO,則AC,
設(shè) 則 易證
同理得
∴四邊形OECF 為正方形，
∴這個(gè)三角形周長(zhǎng)為 18.
典例2 解：(1)如圖1所示，O為所求作的點(diǎn)；
(2)如圖 2 所示,連接OA,OB,OC,作AB,
∵內(nèi)切圓的半徑為1.3cm，
的周長(zhǎng)為14 cm,
則
故 的面積為
變式 解：(1)如圖所示，即為所求作的圓；
(2)過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,垂足分別為點(diǎn)D,E,F.
設(shè)⊙O的半徑為r cm,則OD=OE=OF= rcm.
解得r=10,
即此圓凳面的面積為
典例 3 解:(1)證明:連接IB.
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心,∴ ∠BAD = ∠CAD,∠ABI=∠IBD.
∴ ∠BIE = ∠BAD +∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE,∴BE=IE;
(2)在△BED和△AEB中,∠EBD = ∠CAD = ∠BAD,∠BED =∠AEB.
∴△BED∽△AEB,
∵IE=4,∴BE=4,
又∵AE=8,
(3)∵△BED∽△AEB,
∵IE=BE=6,DE=x,AE=y,
變式 C
【當(dāng)堂測(cè)·夯基礎(chǔ)】
1. B 2. D 3. B 4.π
5.解:(1)證明:∵點(diǎn) E 是△ABC的內(nèi)心,∴AE 平分∠BAC,BE 平分∠ABC,
∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE,
又∵∠CAD 與∠CBD 所對(duì)弧為 DC,∴∠CAD=∠CBD=∠BAD.
∵∠BED=∠ABE+∠BAD,∠DBE=∠CBE+∠CBD,∴∠BED=∠DBE,故DB=DE;
(2)∵∠D=∠D,∠DBF=∠CAD=∠BAD,∴△ABD∽△BFD,
∵DF=4,AE=3,設(shè)EF=x,由(1)可得 DB=DE=4+x,
解得(不符題意，舍去)，
則 DB=4+x=4+2=6.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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