資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
5.5.1 確定圓的條件（學案帶答案）
列清單·劃重點
知識點1 確定圓的條件
1.經過一點可以作出_________個圓；
2.經過兩點可以作出_________個圓，其圓心在這兩點連線的_________上；
3.經過不在同一條直線上的三點，確定_______個圓；
4.經過在同一直線上的三點，__________(填“能”或“不能”)作出圓.
如圖所示，A，B，C 三點不在同一直線上，則過A，B，C三點可以確定______個圓，圓心是線段 AB，線段BC，線段 AC中任意兩條線段的________.
知識點2 利用尺規過不在同一直線上的三個點作圓
做法 圖示
(1)連接AB,BC.
(2)分別作線段AB,BC的垂直平分線DE和FG,DE與FG相交于點O.
(3)以點O為圓心，以OB為半徑作圓.⊙O就是所要求做的圓.
知識點3 三角形的外接圓
1.經過三角形各頂點的圓叫做三角形_____________.
2.外接圓的圓心是三角形三邊_________的交點，叫做三角形的__________.
3.這個三角形叫做這個圓的____________.
如圖,⊙O是△ABC 的外接圓,圓心O是△ABC 的____________,△ABC 是⊙O的一個__________.
注意
(1)銳角三角形的外心在三角形內；直角三角形的外心為斜邊中點；鈍角三角形的外心在三角形外.
(2)任意三角形有且只有一個外接圓；任意一個圓可以有無數個內接三角形.
(3)三角形的外心到三角形各頂點的距離相等.
(4)直角三角形的外心是斜邊的中點，外接圓的直徑即為斜邊邊長.
明考點·識方法
考點1 確定圓的條件
典例1 小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了，帶如圖所示的玻璃碎片到商店配與原來大小一樣的圓形玻璃，以下是工作人員排亂的操作步驟：
①連接AB 和BC
②在玻璃碎片上任意找不在同一直線上的三點 A,B,C
③以點O 為圓心，OA 為半徑作⊙O
④分別作出AB 和BC 的垂直平分線，并且相交于點O
正確的操作步驟是 ( )
A.②①③④ B.②①④③ C.①②④③ D.①④②③
思路導析 本題考查了確定圓的條件：經過不在同一條直線上的三點，確定一個圓.這塊玻璃碎片的圓心是線段AB 和線段BC 垂直平分線的交點，∴正確的操作步驟是②①④③.
變式 如圖,點 A,B,C,D均在直線上，點P 在直線l 外，則經過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數為 ( )
A. 3個 B. 4個 C. 5個 D. 6個
考點2 三角形的外接圓
典例2 如圖，⊙O是等邊△ABC 的外接圓,若 AB=3,則⊙O的半徑是 ( )
A. C. D.
思路導析 作直徑AD，連接CD，利用等邊三角形的性質得到 由圓周角定理的推論得到∠ACD=90°,∠D=∠B=60°,然后利用特殊角的三角函數值求解.
變式 如圖,△ABC 是⊙O的內接三角形,若OA∥CB,∠ACB=25°,則∠CAB=_______.
當堂測·夯基礎
1.如圖,△ABC 內接于⊙O,若 則∠A等于 ( )
A. 67° B. 62° C. 57° D. 72°
2.如圖, 內接于⊙O，CD 是⊙O 的直徑,連接 BD, 則 的度數是 ( )
A. 41° B. 45° C. 49°
3.如圖，在平面直角坐標系 xOy中,點 A,B,C的橫、縱坐標都為整數，過這三個點作一條圓弧，則此圓的圓心坐標是__________.
4.如圖,⊙O是 的外接圓,連接 OA 交 BC于點 D.
(1)求證: 與 互余；
(2)若 求⊙O的半徑.
5.如圖1, 內接于⊙O,D 為 BC 上一點,連接 AD,AO,
(1)如圖1,求證:
(2)如圖2,延長AD交⊙O于點 H,連接CH,若 求⊙O的半徑.
6.如圖, 是⊙O的內接三角形，AB 為⊙O 的直徑，CD 平分∠ACB,交⊙O 于點 D,連接AD,點 E在弦CD 上,且 連接AE.
(1)求證:
(2)若 求AE的長.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點 1 1.無數 2.無數 垂直平分線 3. 1 4. 不能 1 垂直平分線的交點
知識點3 1.外接圓 2.垂直平分線 外心 3.內接三角形 外心 內接三角形
【明考點·識方法】
典例1 B
變式 D
典例 2 C 解析：作直徑AD,連接CD,如圖所示.
為等邊三角形，
∵AD為⊙O的直徑,
變式
【當堂測·夯基礎】
1. A 2. C 3.(2,1)
4.解:(1)證明:延長 AD 交圓O于點 E,連接CE,
∵AE是直徑,
即 與 互余；
(2)∵∠B=∠E,∠ADB=∠CDE,∴△ADB∽△CDE,
由AD=6,BD=10,CD=8,得
∴⊙O的半徑為
5.解:(1)證明:延長 AO交⊙O于點 E,連接 CE,如圖1,
則∠ACE=90°,∴∠CAE + ∠AEC =90°,
∴∠ABC=∠AEC,
∵∠BAD=∠CAO,即∠BAD=∠CAE,∴∠ABC+∠BAD=90°,∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC;
(2)延長 AO 交⊙O 于點 F,連接 FB,如圖2,
∵AF為⊙O的直徑,∴∠ABF=90°,
∵∠BAD=∠CAO,∴∠BAD+∠HAF=∠CAO+∠HAF,即∠BAF=∠CAH,
∴BF=CH=6,
∵AB=10,BF=6,∠ABF=90°,
則 即⊙O的半徑為
6.解:(1)證明:∵ED=AD,∴∠DEA=∠DAE,∴∠DCA+∠CAE=∠DAB+∠BAE,
∵CD平分∠ACB,∴∠DCA=∠DCB,
由圓周角定理得∠DAB=∠DCB,∴∠DAB=∠DCA,∴∠BAE=∠CAE;
(2)如圖,連接BD,
∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=∠ADB=90°,
∵CD平分∠ACB
由圓周角定理得∠ADC=∠ABC=60°,
∵ED=AD,∴△EAD為等邊三角形，
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