資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
5.6.2 切線的性質（學案帶答案）
列清單·劃重點
知識點 切線的性質定理
1.圓的切線垂直于___________的半徑.
2.數學符號語言：如圖，直線 AB 切⊙O 于點P,則AB⊥OP.
注意
遇到切線時，常添加過切點的半徑(連接圓心和切點)，利用切線的性質定理可得到直角或直角三角形.
明考點·識方法
考點 切線性質定理的應用
典例 如圖,AB 為⊙O 的直徑,直線 CD 與⊙O 相切于點 C，連接AC, 若 ∠ACD = 50°, 則∠BAC的度數為 ( )
30° B. 40° C. 50° D. 60°
思路導析 連接OC，先根據圓的切線的性質可得∠OCD=90°,從而可得∠OCA=40°,再根據等腰三角形的性質即可求解.
變式1 如圖，在平面直角坐標系中，點P 在第一象限,⊙P 與x軸,y軸都相切，且經過矩形 AOBC 的頂點C,與 BC 相交于點 D.若⊙P 的半徑為5,點 A 的坐標是(0,8).則點 D 的坐標是____________.
變式2 如圖,AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點 C作⊙O的切線CD,交 AB 的延長線于點 D,過點 A 作于點E.
(1)若 求 的度數；
(2)若 求CE的長.
當堂測·夯基礎
1.如圖，為知道一個光盤的面積，小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出 AB=6cm，則這張光盤(包含圓孔)的面積為 ( )
第1題圖 第2題圖
2.如圖,AB 是⊙O的直徑,點 D 在AB 的延長線上,DC切⊙O于點 C，若 則AC等于 ( )
A. 6 B. 4 D. 3
3.如圖, 在△ABC中,點 O 是 邊AB 上一點，以點 O為圓心，以OA 為半徑作圓,⊙O 恰好與 BC 相切于點 D,連接AD.若AD 平分 則線段AC的長是 ( )
2 B.
第3題圖 第4題圖
4.如圖, 在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3.⊙C 的半徑為1,點 P 是 AB 邊上的動點，過點 P 作⊙C的一條切線 PD，點D 為切點，則線段PD長的最小值為_________.
5.如圖,AB 與⊙O相切于點B,CD 是⊙O 的直徑, BC交OA 于點 E.
(1)求證:AB=AE;
(2)請用一個等式表示出∠A 與∠C之間的數量關系，并證明；
(3)若⊙O的半徑為5, 求線段 AE 的長.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點 過切點
【明考點·識方法】
典例 B 解析：如圖，連接OC.
∵直線 CD與⊙O相切,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,
∵∠ACD=50°,∴∠OCA=40°,
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA=40°.
變式1 (9,2)
變式2 解:(1)∵AE⊥CD 于點 E,∴∠AEC=90°,
∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°;
(2)∵CD是⊙O的切線,OC是⊙O的半徑,∴∠OCD=90°.
在 Rt△OCD中,∵OC=OB=2,BD=1,∴OD=OB+BD=3,
∵∠OCD=∠AEC=90°,∴OC∥AE, 即
【當堂測·夯基礎】
1. D 2. C 3. C
解析：連接DC，PC，如圖所示：
∵PD 為⊙C 的一條切線，
∵DC為半徑是定值，∴當 PC 最小時,PD取得最小值，
由垂線段最短可知，當 時,PC最小，
解得
5.解:(1)證明:設∠C=α,
∵OC=OB,∴∠OBC=∠C=α,
∵AB 與⊙O相切于點 B,∴OB⊥AB,∴∠ABE=90°-∠OBC=90°-α,
∵OA⊥CD,∴∠CEO=90°-∠C=90°-α,∴∠AEB=∠CEO=90°-α,
∴∠ABE=∠AEB=90°-α,∴AB=AE;
(2)∠A 與∠C之間的數量關系是:∠A=2∠C,證明:
由(1)可知∠C=α,∠ABE=∠AEB=90°-α,
∴∠A = 180°-(∠ABE+∠AEB)=180°-2(90°-α)=2α,∴∠A=2∠C;
(3)連接 BD,如圖所示:
∵CD是⊙O的直徑,∴∠CBD=90°,
∵⊙O的半徑為5,∴CD=10,
在 Rt△CBD中,CD=
由勾股定理得
∵OA⊥CD,∴∠COE=∠CBD=90°,
又∵∠C=∠C,∴△COE∽△CBD,∴OE:BD=OC: BC,
即
設AE=x,則 由(1)的結論得AB=AE=x,
在 Rt△OAB 中,由勾股定理得
即 解得
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