資源簡介

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5.6.3 切線的判定（學案帶答案）
列清單·劃重點
知識點1 切線的判定定理
1.切線的判定定理：過半徑外端且_____________于這條半徑的直線是圓的切線.
2.數學符號語言：如圖，OA 是⊙O的半徑，OA⊥于點A,則 是⊙O的切線.
注意
如圖所示，一條直線若滿足兩個條件：(1)經過半徑OA 的外端點A；(2)垂直于這條半徑OA，則這條直線是⊙O的切線.
知識點2 利用切線的判定定理證明直線與圓相切的方法
1.如果已知直線經過圓上一點，那么連接這點和圓心，證明所作半徑與這條直線垂直.
簡記為：已知點在圓上，連半徑(或作直徑)，證垂直.
2.如果已知條件中不知道直線與圓是否有公共點，那么過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長度等于半徑的長.
簡記為：未知點(點的位置不確定)在圓上，作垂線，證半徑.
明考點·識方法
考點1 已知直線經過圓上一點，證圓的切線
典例1 如圖,AB為⊙O的直徑,如果圓上的點 D 恰使∠ADC=∠B,求證：直線CD與⊙O相切.
思路導析 連接OD，由等腰三角形的性質和圓周角定理的推論得出 則再由切線的判定即可得出結論.
變式 如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦， 連接AC,OD.
(1)求證:
(2)連接DB,過點 C作 交 DB 的延長線于點 E,延長 DO,交 AC 于點 F.若F 為AC 的中點,求證:直線 CE 為⊙O 的切線.
考點2 未知直線上的點在圓上，證圓的切線
典例2 如圖所示，OC平分 點 D 是OC上的任意一點,⊙D 與OA 相切于點 E.求證:OB 與⊙D 相切.
思路導析 由于不知道 OB 與⊙D 的交點，故應過點 D 作OB 的垂線，證垂線段的長等于半徑.
變式 如圖， 內接于⊙O,AB 是⊙O的直徑, 點E在AB延長線上， 過點 E 作 AC,交 AC 的延長線于點 D.求證:DE 是O的切線.
考點3 切線的性質與判定的綜合運用
典例3 如圖,AB 為⊙O的直徑,E為⊙O上一點,點 C為 的中點，過點 C 作 交 AE 的延長線于點 D,延長 DC 交AB 的延長線于點 F.
(1)求證:CD是⊙O的切線；
(2)若 DE=1,DC=2,求⊙O的半徑長.
思路導析 (1)連接 OC,證明OC⊥DF 即可;
(2)連接CE，BC，由勾股定理求出CE，由題意知BC=CE,再由△ACD∽△ABC與勾股定理,求出AB的長.即可求出⊙O的半徑.
變式1 如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,AB為⊙O的直徑,AD=CD,過點 D的直線交 BA 的延長線于點 M，交 BC的延長線于點 N,且∠ADM=∠DAC.
(1)求證:MN是⊙O的切線;
(2)求證:
變式2 如圖,AB 是⊙O的直徑,點 C是⊙O上的一點,點 P 是 BA 延長線上的一點，連接AC，
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若 求證:AC=AP;
(3)若 CD⊥AB 于 D,PA=4,BD=6,求AD 的長.
當堂測·夯基礎
1.如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是 ( )
A.點(0,3) B.點(1,3) C.點(6,0) D.點(6,1)
第1題圖 第2題圖
2.如圖,∠ABC=70°,O為射線BC 上一點，以點O為圓心，OB長為半徑做⊙O，要使射線 BA 與⊙O相切，應將射線繞點 B 按順時針方向旋轉 ( )
A.35°或70° B.40°或100° C.40°或90° D.50°或110°
3.如圖, 是⊙O的內接三角形，下列選項中，能使過點A 的直線EF 與⊙O相切于點 A 的條件是 ( )
D.AC是⊙O的直徑
第3題圖 第4題圖
4.如圖,線段 AB 是O的直徑,⊙O交線段 BC 于點 D,且D是 BC 中點,DE⊥AC 于點 E,連接AD，則下列結論正確的個數是 ( )
①CE·CA=CD·CB ②∠EDA=∠B ③ ④DE是⊙O的切線
A. 2個 B.3個 C.4個 D.5個
5.如圖,半圓O的直徑 DE =12 cm,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠ABC =30°,BC=12 cm.半圓O 以 2cm /s的速度從左向右運動，當圓心O運動到點 B時停止，點D，E始終在直線BC 上.設運動時間為 t(s)，運動開始時，半圓O 在的左側，當 ________時，Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切.
6.如圖所示，已知直線 PA 交⊙O 于A,B 兩點,AE 是⊙O的直徑,C 為⊙O 上一點,且 AC 平分過點C作 垂足為點 D.
(1)求證:CD為⊙O 的切線;
(2)若 ⊙O的直徑為10，求AB 的長度.
7.如圖,BE 是⊙O 的直徑,點 A 在⊙O上,點 C 在BE 的延長線上,AD平分 交⊙O于點 D,連結 DE.
(1)求證:CA 是⊙O的切線;
(2)當 4時,求 DE的長.
參考答案
【列清單·劃重點】
知識點 1 1.垂直
【明考點·識方法】
典例1 證明：如圖，連接OD，
∵AB 為⊙O的直徑,
即
∵OD是⊙O的半徑,∴直線CD與⊙O相切.
變式 證明:(1)如圖1,連接OC.
∵AB 是⊙O的直徑,AB⊥CD,∴∠COB=∠DOB,
∵∠COB=2∠A,∴∠BOD=2∠A;
(2)如圖2所示,
∵F為AC 的中點,∴DF⊥AC,∴ ∠FDC+∠FCD =90°,
∵CD⊥AB,∴ ∠CAB + ∠ACD =90°,∴∠CAB=∠CDF,
∵OC=OD,∴∠OCD=∠CDF,
又 ∴∠CAB=∠CDB,∴∠OCD=∠CDB,∴OC∥DE,
∵CE⊥DE,∴OC⊥CE,
∵OC為⊙O的半徑,∴直線CE為⊙O的切線.
典例2 證明：如圖所示，過點 D 作 DF⊥OB于點 F,連接 DE.
∵OA 與⊙D 相切于點 E,∴DE⊥AO.
又∵OC 平分∠AOB,DF⊥∴DE=DF,∴點 F 在⊙D上.
又∵DF⊥OB,∴OB 與⊙D 相切.
變式 證明:過點 O作OF⊥DE于點F,
∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB = 90°,∠A =60°,∴∠ABC=30°,
∵ED⊥AC,∴∠D=90°=∠ACB,∴∠E=∠ABC=30°,
∵BE=OB, ∴OF=OB,即OF 是⊙O的半徑,
又∵OF⊥BD,∴DE 是⊙O的切線.
典例3 解:(1)證明:連接OC,
∵點C為 的中點，∴EC=BC,∴∠EAC=∠BAC,
∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,∴∠EAC=∠OCA,∴AE∥OC,
∵CD⊥AE,∴OC⊥DF,
又∵OC為⊙O的半徑,∴CD是⊙O的切線;
(2)連接CE,BC.
∵在 Rt△CDE中,CD=2,DE=1,
∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADC,
∵∠DAC=∠BAC,∴△ADC∽△ACB,
設AC=2x,則
在 Rt△ABC中,有
即 解得 (負值已舍)，
∴⊙O的半徑長為
變式1 證明:(1)連接OD,OC,如圖,
∵AD=CD,OC=OA,∴OD 垂直平分AC,
∵∠ADM=∠DAC,∴AC∥MN,∴OD⊥MN,即 MN是⊙O的切線;
(2)連接BD,如圖,
∵AB是⊙O的直徑,∴∠ADB=∠ACB=90°,
∴∠ABD=∠ACD,
∵AC∥MN,∴∠ACB=∠MNB=90°,∠CDN=∠ACD,
∴∠CDN=∠ABD,∠ADB=∠MNB,∴△ABD∽△CDN, 即AD·CD=AB·CN,
又∵AD=CD,
變式 2 解:(1)證明:如圖,連接OC,
∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠BCO+∠OCA=90°,
∵OB=OC,∴∠B=∠BCO,
∵∠PCA=∠B,∴∠PCA=∠BCO,∴∠PCA+∠OCA=90°,∴OC⊥PC,
∵OC 是⊙O的半徑,∴PC是⊙O的切線;
(2)證明: ∴∠B=30°,∴∠PCA=∠B=30°,
由(1)知∠ACB=90°,∴∠CAB=60°,∴∠P=∠CAB-∠PCA=30°,
∴∠PCA=∠P=30°,∴AC=AP;
(3)設AD=x,
在 Rt△ACB中,CD⊥AB,∴△BCD∽△CAD,
∵∠P=∠P,∠PCA=∠B,∴△PAC∽△PCB,
∴PC =PA·PB=4(6+4+x)=4(10+x),
在 Rt△PCD中，由勾股定理得 即
整理得 解得 (舍去),故AD=2.
【當堂測·夯基礎】
1. B 2. B 3. A 4. C
5.1 s,4 s,7 s 解析:①當圓心O運動到點E 與點C 重合時，
∵AC⊥OE,OC=OE=6 cm,此時AC與半圓O 所在的圓相切，點O運動了2cm ,所求運動時間為t=2÷2=1(s);
②當圓心O運動到點 D 與點C 重合時，此時OC=6 cm,點O運動的距離為8+6=14(cm),所求運動時間為t=14÷2=7(s);
③當半圓O所在圓在直線AB 左側且與其相切時,如圖1,過 C點作 CF⊥AB,交 AB于F點；
∵∠ABC=30°,BC=12 cm,∴CF=6 cm,∴O與C重合,
即當 O 點 運 動到 C 點 時,半圓 O 與△ABC的邊AB 相切;
此時點O運動了 8cm ，所求運動時間為t=8÷2=4(s),
④當半圓O所在圓在直線AB 右側且與其相切時，如圖 2，切點為點 Q，連接OQ，
因為圓心O運動到點 B 時停止，所以此種情況不符合題意，舍去.
綜上所述，當t的值為1s或4s 或7s時，Rt△ABC的一邊所在直線與半圓O 所在的圓相切.
6.解:(1)證明:連接OC.
∵OC=OA,∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠PAE,∴∠DAC=∠OAC,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC.
∵CD⊥PA,∴CD⊥OC,∵OC為⊙O半徑,∴CD是⊙O的切線;
(2)過O作OM⊥AB于點 M,即∠OMA=90°,AM=BM,
∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°,∴四邊形 DMOC 是矩形,∴OC=DM,OM=CD.
∵⊙O直徑為10,∴AO=5,∴OC=AO=5,∴DM=5,∴AM=5-DA,
∵DC+DA=6,∴OM=CD=6-DA,
∵在 Rt△AMO中,∠AMO=90°,根據勾股定理得
∴DA=2或DA=9(舍去),∴AM=5-2=3,∴AB=2AM=6.
7.解:(1)證明:連接OA,
∵BE 是⊙O的直徑,∴∠BAE=90°,∴∠BAO+∠OAE=90°,
∵OA=OB,∴∠ABC=∠BAO,
∵∠EAC=∠ABC,∴∠CAE=∠BAO,∴∠CAE+∠OAE=90°,∴∠OAC=90°,
∵OA 是⊙O的半徑,∴CA 是⊙O的切線;
(2)∵∠EAC=∠ABC,∠C=∠C,∴△ABC∽△EAC,
∴BC=16,∴BE=BC-CE=12,
連接BD,
∵AD平分∠BAE,∴∠BAD=∠EAD,∴BD=DE,∴BD=DE,
∵BE是⊙O的直徑,∴∠BDE=90°,
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