資源簡介

2025高考數(shù)學考二輪專題復習-第二講-復數(shù)-專項訓練
一：考情分析
命題解讀 考向 考查統(tǒng)計
高考對復數(shù)的考查，重點是復數(shù)的運算、概念、復數(shù)的模、復數(shù)的幾何意義等，難度較低. 共軛復數(shù)、復數(shù)的除法運算 2022·新高考Ⅰ卷，2 2023·新高考Ⅰ卷，2 2024新高考Ⅰ卷，2
復數(shù)的乘法運算 2022·新高考Ⅱ卷，2
復數(shù)的幾何意義 2023新高考Ⅱ卷，1
復數(shù)的模 2024·新高考Ⅱ卷，1
二：2024高考命題分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查復數(shù)的運算，但是需要一些運算技巧，否則有些計算量。Ⅱ卷考查復數(shù)的模的計算，屬于基礎考查。復數(shù)考查應關注：（1）復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義．（2）復數(shù)的四則運算。預計2025年高考還是主要考查復數(shù)的概念、復數(shù)的運算、復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義、復數(shù)的模。
三：試題精講
1．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
高考真題練
1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知，則（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2022新高考Ⅱ卷·2）（ ）
A． B． C． D．
4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在復平面內(nèi)，對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
知識點總結(jié)
一、復數(shù)的概念
（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當時，．
（2）形如的數(shù)叫復數(shù)，記作．
①復數(shù)與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共軛復數(shù)．
②兩個復數(shù)相等（兩復數(shù)對應同一點）
③復數(shù)的模：復數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．
二、復數(shù)的加、減、乘、除的運算法則
1、復數(shù)運算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復數(shù)．
（3）．
實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復數(shù)．
注意：復數(shù)加、減法的幾何意義
以復數(shù)分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數(shù)所對應的向量．對應的向量是．
2、復數(shù)的幾何意義
（1）復數(shù)對應平面內(nèi)的點；
（2）復數(shù)對應平面向量；
（3）復平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復數(shù)．
（4）復數(shù)的模表示復平面內(nèi)的點到原點的距離．
三、實系數(shù)一元二次方程
1、實系數(shù)一元二次方程中的為根的判別式，那么
（1）方程有兩個不相等的實根；
（2）方程有兩個相等的實根；
（3）方程有兩個共軛虛根，
求解復數(shù)集上的方程的方法：
①設化歸為實數(shù)方程來解決．
②把看成一個未知數(shù)（而不是實部和虛部兩個未知數(shù)），用復數(shù)的性質(zhì)來變形．
③對二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
2、實系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系（韋達定理）
（1）當時，方程的兩個實根滿足韋達定理
，。
（2）當時，方程的兩個共軛虛數(shù)根、，則
，
。
綜上所述，無論方程的判別式的符號如何，韋達定理都成立，于是韋達定理能被推廣到復數(shù)根的情況，即實系數(shù)一元二次方程（、、且）的兩個根與系數(shù)滿足關系
，
名校模擬練
一、單選題
1．（2024·安徽蕪湖·三模）已知復數(shù)滿足，且是復數(shù)的共軛復數(shù)，則的值是（ ）
A． B．3 C．5 D．9
2．（2024·北京·三模）已知復數(shù)，則在復平面上對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·河南·三模）已知關于的方程的一個根為，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2024·河南·三模）已知為虛數(shù)單位，（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山東德州·三模）已知復數(shù)滿足：，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·重慶·三模）已知（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的共軛復數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·河南鄭州·三模）復數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川遂寧·三模）若復數(shù)（其中，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2024·江蘇南通·三模）已知為復數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件
10．（2024·山東濰坊·三模）設復數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·黑龍江·三模）若，則的虛部為（ ）
A． B．1 C．3 D．
12．（2024·貴州畢節(jié)·三模）若復數(shù)z滿足，則（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
二、多選題
13．（2024·湖北荊州·三模）已知復數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若為純虛數(shù)，則
B．若為實數(shù)，則
C．若在復平面內(nèi)對應的點在直線上，則
D．在復平面內(nèi)對應的點不可能在第三象限
14．（2024·河北衡水·三模）復數(shù)，其中，設在復平面內(nèi)的對應點為，則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．對任意，點均在第一象限 D．存在，使得點在第二象限
15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
16．（2024·福建福州·三模）已知復數(shù)滿足：，，則（ ）
A．的最小值是1 B．的最大值是2
C．的最大值是3 D．的最大值是4
三、填空題
17．（2024·山西臨汾·三模）已知復數(shù)滿足：，則 ．
18．（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為 .
19．（2024·河南南陽·三模）若，則
20．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知復數(shù)滿足，若在復平面內(nèi)對應的點不在第一象限，則
參考答案與詳細解析
一：考情分析
命題解讀 考向 考查統(tǒng)計
高考對復數(shù)的考查，重點是復數(shù)的運算、概念、復數(shù)的模、復數(shù)的幾何意義等，難度較低. 共軛復數(shù)、復數(shù)的除法運算 2022·新高考Ⅰ卷，2 2023·新高考Ⅰ卷，2 2024新高考Ⅰ卷，2
復數(shù)的乘法運算 2022·新高考Ⅱ卷，2
復數(shù)的幾何意義 2023新高考Ⅱ卷，1
復數(shù)的模 2024·新高考Ⅱ卷，1
二：2024高考命題分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查復數(shù)的運算，但是需要一些運算技巧，否則有些計算量。Ⅱ卷考查復數(shù)的模的計算，屬于基礎考查。復數(shù)考查應關注：（1）復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義．（2）復數(shù)的四則運算。預計2025年高考還是主要考查復數(shù)的概念、復數(shù)的運算、復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義、復數(shù)的模。
三：試題精講
1．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由復數(shù)四則運算法則直接運算即可求解.
【詳解】因為，所以.
故選：C.
2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由復數(shù)模的計算公式直接計算即可.
【詳解】若，則.
故選：C.
高考真題練
1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用復數(shù)的除法可求，從而可求.
【詳解】由題設有，故，故，
故選：D
2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算求出，再由共軛復數(shù)的概念得到，從而解出．
【詳解】因為，所以，即．
故選：A．
3．（2022新高考Ⅱ卷·2）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用復數(shù)的乘法可求.
【詳解】，
故選：D.
4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在復平面內(nèi)，對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法結(jié)合復數(shù)的幾何意義分析判斷.
【詳解】因為，
則所求復數(shù)對應的點為，位于第一象限.
故選：A.
知識點總結(jié)
一、復數(shù)的概念
（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當時，．
（2）形如的數(shù)叫復數(shù)，記作．
①復數(shù)與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復數(shù)互為共軛復數(shù)．
②兩個復數(shù)相等（兩復數(shù)對應同一點）
③復數(shù)的模：復數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．
二、復數(shù)的加、減、乘、除的運算法則
1、復數(shù)運算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復數(shù)．
（3）．
實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復數(shù)．
注意：復數(shù)加、減法的幾何意義
以復數(shù)分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數(shù)所對應的向量．對應的向量是．
2、復數(shù)的幾何意義
（1）復數(shù)對應平面內(nèi)的點；
（2）復數(shù)對應平面向量；
（3）復平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復數(shù)．
（4）復數(shù)的模表示復平面內(nèi)的點到原點的距離．
三、實系數(shù)一元二次方程
1、實系數(shù)一元二次方程中的為根的判別式，那么
（1）方程有兩個不相等的實根；
（2）方程有兩個相等的實根；
（3）方程有兩個共軛虛根，
求解復數(shù)集上的方程的方法：
①設化歸為實數(shù)方程來解決．
②把看成一個未知數(shù)（而不是實部和虛部兩個未知數(shù)），用復數(shù)的性質(zhì)來變形．
③對二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．
2、實系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系（韋達定理）
（1）當時，方程的兩個實根滿足韋達定理
，。
（2）當時，方程的兩個共軛虛數(shù)根、，則
，
。
綜上所述，無論方程的判別式的符號如何，韋達定理都成立，于是韋達定理能被推廣到復數(shù)根的情況，即實系數(shù)一元二次方程（、、且）的兩個根與系數(shù)滿足關系
，
名校模擬練
一、單選題
1．（2024·安徽蕪湖·三模）已知復數(shù)滿足，且是復數(shù)的共軛復數(shù)，則的值是（ ）
A． B．3 C．5 D．9
【答案】C
【分析】先化簡復數(shù)，再求出，最后得解.
【詳解】，
，
.
故選：C
2．（2024·北京·三模）已知復數(shù)，則在復平面上對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算法則及共軛復數(shù)的定義得到，即可求出結(jié)果.
【詳解】由，得到，
所以，其對應點為，
故選：C.
3．（2024·河南·三模）已知關于的方程的一個根為，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】解復數(shù)范圍內(nèi)方程可得及的值即可得解.
【詳解】由可得，
故，，即.
故選：C.
4．（2024·河南·三模）已知為虛數(shù)單位，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復數(shù)乘法、除法運算化簡即可.
【詳解】.
故選：D
5．（2024·山東德州·三模）已知復數(shù)滿足：，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，計算即可.
【詳解】由，可得，
所以，
故選：B.
6．（2024·重慶·三模）已知（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的共軛復數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用復數(shù)相等求出，再由共軛復數(shù)概念即可求解.
【詳解】因為，
所以，故，
所以復數(shù)的共軛復數(shù)為，
故選：A.
7．（2024·河南鄭州·三模）復數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出，根據(jù)為純虛數(shù)即可求解.
【詳解】，
因為為純虛數(shù)，所以，
所以.
故選：A.
8．（2024·四川遂寧·三模）若復數(shù)（其中，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用復數(shù)的除法求出，結(jié)合已知求出值即可得解.
【詳解】依題意，，
由為純虛數(shù)，得，解得，復數(shù)，
所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限．
故選：B
9．（2024·江蘇南通·三模）已知為復數(shù)，則“”是“”的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件
【答案】A
【分析】正向可得，則正向成立，反向利用待定系數(shù)法計算即可得或，則必要性不成立.
【詳解】若，則，則，故充分性成立；
若，設，則，，
則，或與不一定相等，則必要性不成立，
則“”是“”的充分非必要條件，
故選：A
10．（2024·山東濰坊·三模）設復數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得到，將四個選項代入檢驗，得到答案.
【詳解】由題意得，
A選項，當時，，不合題意，A錯誤；
B選項，當時，，不合要求，B錯誤；
C選項，當時，，故C正確；
D選項，當時，，D錯誤.
故選：C
11．（2024·黑龍江·三模）若，則的虛部為（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【分析】先利用乘法運算法則化簡復數(shù)，然后化簡得，即可求出其虛部.
【詳解】因為，所以，所以，
所以，則的虛部為.
故選：A
12．（2024·貴州畢節(jié)·三模）若復數(shù)z滿足，則（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】由復數(shù)的乘法和除法運算化簡即可求出，再由復數(shù)的模長公式求解即可.
【詳解】因為，則，
即，
故.
故選：B.
二、多選題
13．（2024·湖北荊州·三模）已知復數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若為純虛數(shù)，則
B．若為實數(shù)，則
C．若在復平面內(nèi)對應的點在直線上，則
D．在復平面內(nèi)對應的點不可能在第三象限
【答案】BD
【分析】首先得到復數(shù)的實部與虛部，再根據(jù)復數(shù)的類型求出參數(shù)的值，即可判斷A、B，根據(jù)復數(shù)的幾何意義判斷C、D.
【詳解】復數(shù)的實部為，虛部為，
復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，
對于A：若為純虛數(shù)，則，解得，故A錯誤；
對于B：若為實數(shù)，則，解得，則，故B正確；
對于C：若在復平面內(nèi)對應的點在直線上，
所以，解得或，故C錯誤；
對于D：令，即，不等式組無解，
所以在復平面內(nèi)對應的點不可能在第三象限，故D正確.
故選：BD.
14．（2024·河北衡水·三模）復數(shù)，其中，設在復平面內(nèi)的對應點為，則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．對任意，點均在第一象限 D．存在，使得點在第二象限
【答案】AC
【分析】當時，代入計算可判斷A、B；由判斷的實部和虛部范圍可判斷C、D.
【詳解】當時，，故，故選項正確；
，B選項錯誤；
當時，，，
故對任意，點均在第一象限，故C選項正確；
不存在，使得點在第二象限，D選項錯誤．
故選：AC．
15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BCD
【分析】利用共軛復數(shù)的定義可判定A、C，利用復數(shù)的乘法運算法則結(jié)合模長公式可判定B、D.
【詳解】對于A，由，得，則A錯誤.
對于B，因為，所以，解得或（舍去），則B正確.
對于C，設（，且），
則，所以，則C正確.
對于D，由，得.
設（，且），則，
，從而，則D正確.
故選：BCD
16．（2024·福建福州·三模）已知復數(shù)滿足：，，則（ ）
A．的最小值是1 B．的最大值是2
C．的最大值是3 D．的最大值是4
【答案】ABC
【分析】對于A，設，依題意可得，可知復數(shù)的對應點在以為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)復數(shù)幾何意義可判斷A；對于B，根據(jù)題意可得，表示復數(shù)的對應點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上，根據(jù)圖形和可判斷B；對于C，根據(jù)復數(shù)除法運算和復數(shù)模公式證明，結(jié)合圖形求得，然后可判斷C；對于D，根據(jù)復數(shù)減法的幾何意義可知，結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化為求的最值，根據(jù)點在橢圓上，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.
【詳解】設，
對于A，因為，所以，
所以，復數(shù)的對應點在以為圓心，1為半徑的圓上，
由圖可知，點到原點的最小距離為1，即的最小值是1，A正確；
對于B，因為，
所以，復數(shù)的對應點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上，
由橢圓幾何性質(zhì)可知，點到原點的最大距離為2，即的最大值為2，
又，所以的最大值是2，B正確；
對于C，因為，
所以
，
由圖可知，，所以當時，取得最大值3，C正確；

對于D，因為表示的距離，
所以的最大值為，設，則，即，
所以，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當時，取得最大值，D錯誤.

故選：ABC
三、填空題
17．（2024·山西臨汾·三模）已知復數(shù)滿足：，則 ．
【答案】/
【分析】利用復數(shù)的乘法運算直接求得，進而求得即可.
【詳解】由，得，所以.
故答案為：.
18．（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為 .
【答案】
【分析】求出復數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求解即可.
【詳解】，
因為是純虛數(shù)，
所以，得.
故答案為：
19．（2024·河南南陽·三模）若，則
【答案】/
【分析】由復數(shù)的乘除法運算法則及模長計算公式求解即可.
【詳解】，
所以，
故答案為：.
20．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知復數(shù)滿足，若在復平面內(nèi)對應的點不在第一象限，則 ．
【答案】
【分析】設，結(jié)合復數(shù)的運算以及共軛復數(shù)求，并結(jié)合復數(shù)的幾何意義取舍.
【詳解】設，則，
因為，則，
解得或，
又因為在復平面內(nèi)對應的點不在第一象限，可知，可知，
所以.
故答案為：

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