資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題1.3平行線五大題型（一課一講）
（內容:平行線及其應用）
【浙教版】
題型一：平面內兩直線的位置關系
【經典例題1】、、為同一平面內的三條直線，若與不平行，與不平行，那么與（ ）
A．一定不平行 B．一定平行
C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
【答案】D
【詳解】根據題意可得圖形：
根據圖形可知：若與不平行，與不平行，則與可能相交或平行，
故選：D．
【變式訓練1-1】同一平面內，兩條不重合的直線的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【答案】C
【詳解】解：同一平面內，兩條不重合的直線的位置關系是相交或平行；
故選C．
【變式訓練1-2】在同一平面內有三條不同的直線，若，則a與b的位置關系為（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．無法確定
【答案】C
【詳解】在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行．
，
故選：C．
【變式訓練1-3】在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系可能是（　　）
A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能確定
【答案】A
【詳解】解：在同一平面內，兩條直線只有兩種位置關系：相交或平行，
故選：A．
【變式訓練1-4】下面語句中，正確的是（ ）
A．永不相交的兩條直線叫做平行線．
B．在同一平面內的兩條直線叫做互相平行．
C．在同一平面內，不相交的兩條直線互相平行．
D．直線A是平行線，直線B是平行線，直線A和直線B互相平行．
【答案】C
【詳解】解：A、在同一平面內，永不相交的兩條直線叫做平行線，則此項錯誤，不符合題意；
B、在同一平面內，不相交的兩條直線是平行線，則此項錯誤，不符合題意；
C、在同一平面內，不相交的兩條直線互相平行，則此項正確，符合題意；
D、平行是兩條直線之間的位置關系，故敘述不規范，則此項錯誤，不符合題意；
故選：C．
【變式訓練1-5】下列說法：①在同一平面內，若直線，，則；②在同一平面內，若直線，直線與相交，則直線與相交；③若直線與直線相交，直線與直線相交，則直線與直線相交；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行，其中說法正確的是 ．（填序號）
【答案】①②/②①
【詳解】解：①在同一平面內，若直線，，則；故此說法正確；
②在同一平面內，若直線，直線與相交，則直線與相交，故此說法正確；
③若直線與直線相交，直線與直線相交，則直線與直線也有可能平行，故此說法錯誤；
④過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行，故此說法錯誤．
∴說法正確的是①②．
故答案為：①②．
題型二：立體圖形中平行的棱
【經典例題2】如圖，在正方體中，下列各棱與棱平行的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：由圖可知，與棱平行的棱有，，，
故選D．
【變式訓練2-1】觀察如圖所示的長方體，用符號表示下列兩棱的位置關系： ， ， ， ．
你能在教室里找到這些位置關系的實例嗎？與同學們討論一下．
【答案】 ， ， ，
【詳解】解：由兩條直線平行和垂直的定義知：，，，
【點睛】本題考查兩條直線相交和垂直的定義，根據內容解題是關鍵．
【變式訓練2-2】如圖，是一個長方體，用符號表示下列兩棱的位置關系，A1B1 AB，AA1 AB．
【答案】 // ⊥
【詳解】A1B1和AB可以看作是一個長方形的兩條對邊,所以平行; AA1，AB可看做是一個長方形的兩條鄰邊，所以垂直.
故答案為∥，⊥.
【變式訓練2-3】如圖，在長方體中，與平行的棱是 ．
【答案】棱，棱，棱．
【詳解】在長方體中，與平行的棱是棱，棱，棱，
故答案為：棱，棱，棱．
【變式訓練2-4】觀察如圖所示的長方體，回答問題：
（1）與線段平行的線段是 ；
（2）與所在直線不相交，它們 平行線（填“是”或“不是”）．由此可知，在 內，兩條不相交的直線才是平行線．
【答案】 ，， 不是 同一平面
【詳解】解：（1）由平行線的定義可知，與線段平行的線段有，，，
故答案為：，，；
（2）由平行線的定義可得：與所在直線不相交，它們不是平行線，由此可知，在同一平面內，兩條不相交的直線才是平行線
故答案為：不是，同一平面．
【變式訓練2-5】（1）補全下面的圖形，使之成為長方體的直觀圖，并標出頂點的字母；
（2）圖中與棱平行的棱有　 　；
（3）圖中棱和面的位置關系是 　 ．
【答案】（1）見解析；（2）、、；（3）平行
【詳解】解：（1）如圖即為補全的圖形；
（2）圖中與棱AB平行的棱有CD、EF、GH；
故答案為：CD、EF、GH；
（3）圖中棱CG和面ABFE的位置關系是：平行．
故答案為：平行．
題型三：用直尺、三角板畫平行線
【經典例題3】在如圖所示的方格紙中，點、、均在格點上．
(1)畫線段，過點作的平行線；
(2)過點作的垂線，垂足為；
(3)若，則點到直線的距離為 ．
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)
【詳解】（1）解：線段，如圖所示；
（2）解：垂線段如圖所示；
（3）解：∵，，
∴點到直線的距離為；
故答案為：．
【變式訓練3-1】妡圖所示的正方形網格，小正方形的頂點稱為格點．點、、均在格點上，只用無刻度的直尺在給定的網絡中按要求畫圖，不要求寫作法．
(1)畫射線；
(2)過點畫的平行線（點在格點上）；
(3)在射線上取一點，畫線段．
【詳解】（1）解：如圖，射線即為所求；
（2）解：如圖，直線即為所求；
（3）解：如圖，線段即為所求．
【變式訓練3-2】如圖所示，在內有一點P．
(1)過P畫；
(2)過P畫．
【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求；
（2）如圖，直線即為所求；
【變式訓練3-3】如圖，F是直線上一點，按要求畫圖：
(1)過點F作直線的垂線段，垂足為E；
(2)過點W作直線的平行線，交線段于點M．
(3)過點A作線段的垂線，垂足為N；
【詳解】（1）
（2）
（3）
【變式訓練3-4】如圖，已知．
(1)過點畫，垂足為；
(2)過點畫，交于點．
【詳解】（1）如圖所示：
將三角板的一條直角邊與已知直線重合，沿著已知直線移動三角板，讓三角板的另一直角邊與直線外的已知點Q重合，沿著另一條直角邊畫經過已知點的直線交于點D，
∴即為所求；
（2）如圖所示：
用三角板的一條直角邊與已知直線重合，用直尺緊靠三角板另一條直角邊，沿著直尺平移三角板，使與已知直線重合的直角邊通過已知點Q，沿著這條直角邊畫一條直線與已知射線交于點E，
∴即為所求．
【變式訓練3-5】如圖，用三角尺或量角器畫圖：
(1)經過點A畫直線的平行線；
(2)經過點C畫直線的垂線；
(3)畫點C到直線的垂線段．
【詳解】（1）解：如圖，直線即為所求作的平行線；
（2）解：如圖，直線即為所求作的垂線；
（3）解：如圖，線段即為所求作的垂線段．
【變式訓練3-6】作圖題
(1)在圖①中，過點P作P到的垂線段，垂足為 ，（填“”“”或“”），理由是
(2)過點P作直線，，則三點共線，理由是
【答案】(1)，點到直線的距離，垂線段最短，作圖見解析
(2)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，作圖見解析
【詳解】（1）過點P作P到的垂線段，垂足為如圖：
，
理由是：點到直線的距離，垂線段最短；
（2）過點P作直線，，
理由是∶過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行．
題型四：平行線公理及其推論的應用
【經典例題4】下列說法中正確的是（ ）
A．不相交的兩條直線叫做平行線
B．相等的角是對頂角
C．過一點有且只有一條直線與已知直線平行
D．在平面中過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
【答案】D
【詳解】解：A 、在同一平面內，永不相交的兩條直線叫做平行線，故選項說法錯誤，不符合題意；
B、對頂角相等，但是相等的不一定是對頂角，故選項說法錯誤，不符合題意；
C、在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行， 故選項說法錯誤，不符合題意；
D、在平面中過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，選項說法正確，符合題意．
故選：D．
【變式訓練4-1】在數學課上，老師畫一條直線a，按如圖所示的方法，畫一條直線b與直線a平行，再向上推三角尺，畫一條直線c也與直線a平行，此時，發現直線b與直線c也平行，這就說明了（ ）
A．平行于同一條直線的兩直線平行
B．同旁內角相等，兩直線平行
C．兩直線平行，同位角相等
D．過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行
【答案】A
【詳解】解：∵，
∴，
∴這說明了平行于同一條直線的兩直線平行，
故選A．
【變式訓練4-2】已知同一平面內的三條直線a，b，c，下列命題中錯誤的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【詳解】解：因為平行于同一條直線的兩條直線互相平行，故選項A正確；
垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故選項B正確、D錯誤．
垂直于一條直線b的直線，必垂直于b的平行線a，故選項C正確；
故選：D．
【變式訓練4-3】已知直線l，在同一平面內，甲、乙、丙得到如下結論，下列判斷正確的是( )
甲：與直線l垂直的直線有且只有一條； 乙：經過一點，有且只有一條直線與直線l平行；
丙：若兩條直線 a，b都與直線l平行，則直線 a，b平行
A．甲對乙錯 B．甲錯乙對
C．甲對丙錯 D．乙錯丙對
【答案】D
【詳解】解：已知直線l，在同一平面內，
與直線l垂直的直線有無數條，故甲說法錯誤；
經過直線外一點，有且只有一條直線與直線l平行，故乙說法錯誤；
若兩條直線 a，b都與直線l平行，則直線 a，b平行，故丙說法正確；
故選：D．
【變式訓練4-4】生活情境·風車 如圖，當風車的一片葉子旋轉到與地面平行時，葉子所在的直線與地面 ，理由是 ．
【答案】 相交 同一平面，過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行
【詳解】解：∵與相交，，
∴不平行于，即與相交（同一平面，過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行）．
故答案為：相交；同一平面，過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行．
題型五：平行線與相交線中交點問題
【經典例題5】有8條不同的直線（、、、、、、、），其中，、、交于同一點，則這8條直線的交點個數最多有（　?。?br/>A．21個 B．22個 C．23個 D．24個
【答案】C
【詳解】解：如圖，∵，、、交于同一點，

∴這6條直線最多有個交點，
∵最多與前6條直線有6個交點，最多與前7條直線有7個交點，
∴這8條直線的交點個數最多為（個），
故選：C．
【變式訓練5-1】同一平面內，兩條不重合的直線的交點有 個．
【答案】0或1/1或0
【詳解】解：在同一平面內兩條不重合的直線的位置關系只有兩種，是平行和相交，
即兩條不重合的直線的交點有0或1個．
故答案為：0或1．
【變式訓練5-2】（1）平面上有3條直線，畫出它們可能的位置關系，并在旁邊寫上交點的個數；
（2）平面上有4條直線，它們的交點個數可能為______；
（3）平面上有6條直線，共有12個不同的交點，畫出它們所有可能的位置關系．
【答案】（1）見解析；交點的個數為0或1或2或3；（2）0或1或3或4或5或6個；（3）見解析
【詳解】解：（1）如圖，
交點的個數為0或1或2或3；
（2）如圖，
所以平面上有4條直線，它們的交點個數可能為0或1或3或4或5或6個；
故答案為：0或1或3或4或5或6個
（3）如圖，
【變式訓練5-3】在平面上有9條直線，無任何3條交于一點，則這9條直線的位置關系如何？才能使它們的交點恰好是26個，畫出所有可能的情況（要求用直尺畫正確）．
【答案】見解析
【詳解】解∶這9條直線的位置關系為∶兩兩相交或平行，
有兩種情況，分別如下∶
【變式訓練5-4】在同一平面內有5條互不重合的直線，共有6個不同的交點，畫出它們可能的位置關系．（畫出三種不同的示意圖，并指出其中互相平行的直線）
【詳解】①如圖所示，
，；
②如圖所示，
，；
③如圖所示，
，．
【變式訓練5-5】平面內有10條直線，無任何三線共點，要使它們恰好有31個交點，請你畫出示意圖．
【答案】見解析
【詳解】解：如圖所示．
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專題1.3平行線五大題型（一課一講）
（內容:平行線及其應用）
【浙教版】
題型一：平面內兩直線的位置關系
【經典例題1】、、為同一平面內的三條直線，若與不平行，與不平行，那么與（ ）
A．一定不平行 B．一定平行
C．一定互相垂直 D．可能相交或平行
【變式訓練1-1】同一平面內，兩條不重合的直線的位置關系是（ ）
A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直
【變式訓練1-2】在同一平面內有三條不同的直線，若，則a與b的位置關系為（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．無法確定
【變式訓練1-3】在同一平面內，不重合的兩條直線的位置關系可能是（　?。?br/>A．相交或平行 B．相交或垂直 C．平行或垂直 D．不能確定
【變式訓練1-4】下面語句中，正確的是（ ）
A．永不相交的兩條直線叫做平行線．
B．在同一平面內的兩條直線叫做互相平行．
C．在同一平面內，不相交的兩條直線互相平行．
D．直線A是平行線，直線B是平行線，直線A和直線B互相平行．
【變式訓練1-5】下列說法：①在同一平面內，若直線，，則；②在同一平面內，若直線，直線與相交，則直線與相交；③若直線與直線相交，直線與直線相交，則直線與直線相交；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行，其中說法正確的是 ．（填序號）
題型二：立體圖形中平行的棱
【經典例題2】如圖，在正方體中，下列各棱與棱平行的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式訓練2-1】觀察如圖所示的長方體，用符號表示下列兩棱的位置關系： ， ， ， ．
你能在教室里找到這些位置關系的實例嗎？與同學們討論一下．
【變式訓練2-2】如圖，是一個長方體，用符號表示下列兩棱的位置關系，A1B1 AB，AA1 AB．
【變式訓練2-3】如圖，在長方體中，與平行的棱是 ．
【變式訓練2-4】觀察如圖所示的長方體，回答問題：
（1）與線段平行的線段是 ；
（2）與所在直線不相交，它們 平行線（填“是”或“不是”）．由此可知，在 內，兩條不相交的直線才是平行線．
【變式訓練2-5】（1）補全下面的圖形，使之成為長方體的直觀圖，并標出頂點的字母；
（2）圖中與棱平行的棱有　 ??；
（3）圖中棱和面的位置關系是 　 ．
題型三：用直尺、三角板畫平行線
【經典例題3】在如圖所示的方格紙中，點、、均在格點上．
(1)畫線段，過點作的平行線；
(2)過點作的垂線，垂足為；
(3)若，則點到直線的距離為 ．
【變式訓練3-1】妡圖所示的正方形網格，小正方形的頂點稱為格點．點、、均在格點上，只用無刻度的直尺在給定的網絡中按要求畫圖，不要求寫作法．
(1)畫射線；
(2)過點畫的平行線（點在格點上）；
(3)在射線上取一點，畫線段．
【變式訓練3-2】如圖所示，在內有一點P．
(1)過P畫；
(2)過P畫．
【變式訓練3-3】如圖，F是直線上一點，按要求畫圖：
(1)過點F作直線的垂線段，垂足為E；
(2)過點W作直線的平行線，交線段于點M．
(3)過點A作線段的垂線，垂足為N；
【變式訓練3-4】如圖，已知．
(1)過點畫，垂足為；
(2)過點畫，交于點．
【變式訓練3-5】如圖，用三角尺或量角器畫圖：
(1)經過點A畫直線的平行線；
(2)經過點C畫直線的垂線；
(3)畫點C到直線的垂線段．
【變式訓練3-6】作圖題
(1)在圖①中，過點P作P到的垂線段，垂足為 ，（填“”“”或“”），理由是
(2)過點P作直線，，則三點共線，理由是
題型四：平行線公理及其推論的應用
【經典例題4】下列說法中正確的是（ ）
A．不相交的兩條直線叫做平行線
B．相等的角是對頂角
C．過一點有且只有一條直線與已知直線平行
D．在平面中過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
【變式訓練4-1】在數學課上，老師畫一條直線a，按如圖所示的方法，畫一條直線b與直線a平行，再向上推三角尺，畫一條直線c也與直線a平行，此時，發現直線b與直線c也平行，這就說明了（ ）
A．平行于同一條直線的兩直線平行
B．同旁內角相等，兩直線平行
C．兩直線平行，同位角相等
D．過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行
【變式訓練4-2】已知同一平面內的三條直線a，b，c，下列命題中錯誤的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【變式訓練4-3】已知直線l，在同一平面內，甲、乙、丙得到如下結論，下列判斷正確的是( )
甲：與直線l垂直的直線有且只有一條； 乙：經過一點，有且只有一條直線與直線l平行；
丙：若兩條直線 a，b都與直線l平行，則直線 a，b平行
A．甲對乙錯 B．甲錯乙對
C．甲對丙錯 D．乙錯丙對
【變式訓練4-4】生活情境·風車 如圖，當風車的一片葉子旋轉到與地面平行時，葉子所在的直線與地面 ，理由是 ．
題型五：平行線與相交線中交點問題
【經典例題5】有8條不同的直線（、、、、、、、），其中，、、交于同一點，則這8條直線的交點個數最多有（　?。?br/>A．21個 B．22個 C．23個 D．24個
【變式訓練5-1】同一平面內，兩條不重合的直線的交點有 個．
【變式訓練5-2】（1）平面上有3條直線，畫出它們可能的位置關系，并在旁邊寫上交點的個數；
（2）平面上有4條直線，它們的交點個數可能為______；
（3）平面上有6條直線，共有12個不同的交點，畫出它們所有可能的位置關系．
【變式訓練5-3】在平面上有9條直線，無任何3條交于一點，則這9條直線的位置關系如何？才能使它們的交點恰好是26個，畫出所有可能的情況（要求用直尺畫正確）．
【變式訓練5-4】在同一平面內有5條互不重合的直線，共有6個不同的交點，畫出它們可能的位置關系．（畫出三種不同的示意圖，并指出其中互相平行的直線）
【變式訓練5-5】平面內有10條直線，無任何三線共點，要使它們恰好有31個交點，請你畫出示意圖．
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