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新高考必會(huì)13類函數(shù)
1、一次函數(shù)
(1)一次函數(shù)的概念
形如函數(shù) 叫作一次函數(shù).其中x是自變量.
(2)一次函數(shù)的圖象
(3)一次函數(shù)的性質(zhì)
①定義域 ；
②單調(diào)性：當(dāng) 時(shí)，一次函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，一次函數(shù)在上單調(diào)遞減.
③與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：與y軸交點(diǎn)為 ；與x軸交點(diǎn)為
二次函數(shù)
①二次函數(shù)解析式的三種形式
(1)一般式：f(x)＝________________.
(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為________.
(3)零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).
②二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象(拋物線)
定義域 ________
值域
對(duì)稱軸 x＝________
頂點(diǎn)坐標(biāo) ________
奇偶性 當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)
單調(diào)性 在上是________函數(shù)；在上是________函數(shù) 在上是________函數(shù)；在上是________函數(shù)
反比例函數(shù)
(1)概念
一般地，如果兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以表示成 （為常數(shù)，≠0）的形式，那么稱是的反比例函數(shù).
(2)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.
(3)性質(zhì)：
單調(diào)性：當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而 .
當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而 .
奇偶性：反比例函數(shù)是 .
冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
當(dāng)x為自變量而α為非零實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)________叫作(α次)冪函數(shù).其中x是自變量，α是常數(shù).
(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在 上都有定義；
②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn) 和 ，且在 上單調(diào)遞增；
③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn) ，且在 上單調(diào)遞減.
指數(shù)函數(shù)
(1) 指數(shù)函數(shù)的概念
在冪的表達(dá)式au中，如果讓底數(shù)為常數(shù)而取指數(shù)為自變量x，則得到一類新的函數(shù)________ (x∈R),這叫作指數(shù)函數(shù)，其中a>0,且a≠1.
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1 0圖象
定義域 R
值域 ________
性質(zhì) 過定點(diǎn)________，即x＝0時(shí)，y＝1
當(dāng)x>0時(shí)，______； 當(dāng)x<0時(shí)，______ 當(dāng)x<0時(shí)，______； 當(dāng)x>0時(shí)，______
在(－∞，＋∞)上是________ 在(－∞，＋∞)上是________
y＝ax與y=的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
對(duì)數(shù)函數(shù)
(1)概念：函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，其中________是自變量，定義域是________.
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1 0圖象
性質(zhì) 定義域：________
值域：________
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)________
當(dāng)x>1時(shí)，y>0； 當(dāng)01時(shí)，y<0； 當(dāng)00
在(0，＋∞)上是____________ 在(0，＋∞)上是____________
三角函數(shù)
①用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，，(π，0)，________，(2π，0).
(2)余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，，______，，(2π，1).
②正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R __________
值域 __________ __________ R
最小正周期 __________ __________ __________
奇偶性 __________ __________ 奇函數(shù)
遞增區(qū)間 __________ __________ __________
遞減區(qū)間 __________ __________ 無
對(duì)稱中心 __________ __________
對(duì)稱軸方程 __________ __________ 無
常函數(shù)
(1)概念
常函數(shù)是指不論自變量如何變化，函數(shù)值都保持不變的函數(shù).一般形式為（為常數(shù)）.
(2)圖象
常函數(shù)的圖象是一條平行于軸的直線.當(dāng)時(shí)，這條直線在軸上的截距為.
(3)性質(zhì)
單調(diào)性：常函數(shù)沒有單調(diào)性，因?yàn)楹瘮?shù)值不隨自變量的變化而變化.既不是增函數(shù)也不是減函數(shù).
值域和定義域：定義域是全體實(shí)數(shù)，值域是單元素集合{}.
周期性：常函數(shù)是周期函數(shù)，它以任意實(shí)數(shù)為周期的周期函數(shù)，無最小正周期.
9、一次分式函數(shù)
(1)定義：我們把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函數(shù)稱為一次分式函數(shù).
(2)圖象
(3)性質(zhì)
①定義域： ；值域 ；
②對(duì)稱中心： ；
③漸近線方程：x＝－和y＝；
④單調(diào)性：當(dāng)ad＞bc時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(－∞，－)和上分別單調(diào)遞減；
當(dāng)ad＜bc時(shí)，函數(shù)在區(qū)間 和 上分別單調(diào)遞增.
10、對(duì)勾函數(shù)y＝ax＋(a＞0，b＞0)
(1)性質(zhì)
①奇偶性： ；
②單調(diào)性：
單增區(qū)間： ；
單減區(qū)間： ；
③漸近線：y＝ax和x＝0.
(2)圖象
11、飄帶函數(shù)y＝ax－(a＞0，b＞0)
(1)性質(zhì)
①奇偶性： ；
②單調(diào)性：在 上單調(diào)遞增；
③漸近線：x＝0.
(2)圖象
12、高斯函數(shù)y＝[x]
(1)定義：不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，這一規(guī)定最早為數(shù)學(xué)家高斯所使用，故函數(shù)y＝[x]稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù).
(2)性質(zhì)
①定義域： ；值域：
②不具有單調(diào)性、奇偶性、周期性.
(3)圖象
13、狄利克雷函數(shù)D(x)＝的性質(zhì)
(1)定義域 ；值域 .
(2)奇偶性： .
(3)周期性：以任意正有理數(shù)為其周期，無最小正周期.
(4)無法畫出函數(shù)的圖象，但其圖象客觀存在.
注：以上13類函數(shù)解析式要記熟,圖象要能隨手畫出,性質(zhì)要能隨口說出.
參考答案
1、一次函數(shù)
(1)一次函數(shù)的概念
形如函數(shù) 叫作一次函數(shù).其中x是自變量.
(2)一次函數(shù)的圖象
(3)一次函數(shù)的性質(zhì)
①定義域 R ；
②單調(diào)性：當(dāng) 時(shí)，一次函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng) 時(shí)，一次函數(shù)在上單調(diào)遞減.
③與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：與y軸交點(diǎn)為(0,),與x軸交點(diǎn)為（，0）
2、二次函數(shù)
①二次函數(shù)解析式的三種形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n).
(3)零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).
②二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù) y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象(拋物線)
定義域 R
值域
對(duì)稱軸 x＝
頂點(diǎn)坐標(biāo)
奇偶性 當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)
單調(diào)性 在上是減函數(shù)； 在上是增函數(shù) 在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)
3、反比例函數(shù)
(1)概念
一般地，如果兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以表示成（為常數(shù)，≠0）的形式，那么稱是的反比例函數(shù).
(2)反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.
>0 <0
性質(zhì)：
單調(diào)性：當(dāng)>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小.
當(dāng)<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大.
奇偶性：反比例函數(shù)是奇函數(shù).
4、冪函數(shù)
(1)冪函數(shù)的定義
當(dāng)x為自變量而α為非零實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y＝xα叫作(α次)冪函數(shù).其中x是自變量，α是常數(shù).
(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象
(3)冪函數(shù)的性質(zhì)
①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；
②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.
5、指數(shù)函數(shù)
(1) 指數(shù)函數(shù)的概念
在冪的表達(dá)式au中，如果讓底數(shù)為常數(shù)而取指數(shù)為自變量x，則得到一類新的函數(shù)y＝ax(x∈R),這叫作指數(shù)函數(shù)，其中a>0,且a≠1.
(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
性質(zhì) 過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1
當(dāng)x>0時(shí)，y>1； 當(dāng)x<0時(shí)，01； 當(dāng)x>0時(shí)，0在(－∞，＋∞)上是增函數(shù) 在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)
y＝ax與y＝的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
6、對(duì)數(shù)函數(shù)
(1)概念：函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
a>1 0圖象
性質(zhì) 定義域：(0，＋∞)
值域：R
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)
當(dāng)x>1時(shí)，y>0； 當(dāng)01時(shí)，y<0； 當(dāng)00
在(0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù)
7、三角函數(shù)
①用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖
(1)正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0，1)，，(π,－1)，，(2π，1).
②正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)
函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x
圖象
定義域 R R {x x≠kπ＋}
值域 [－1，1] [－1，1] R
最小正周期 2π 2π π
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)
遞增區(qū)間 [2kπ－π，2kπ]
遞減區(qū)間 [2kπ，2kπ＋π] 無
對(duì)稱中心 (kπ，0)
對(duì)稱軸方程 x＝kπ＋ x＝kπ 無
8、常函數(shù)
(1)概念
常函數(shù)是指不論自變量如何變化，函數(shù)值都保持不變的函數(shù).一般形式為（為常數(shù)）.圖象
(2)常函數(shù)的圖象是一條平行于軸的直線.當(dāng)時(shí)，這條直線在軸上的截距為.
(3)性質(zhì)
單調(diào)性：常函數(shù)沒有單調(diào)性，因?yàn)楹瘮?shù)值不隨自變量的變化而變化.既不是增函數(shù)也不是減函數(shù).
值域和定義域：定義域是全體實(shí)數(shù)，值域是單元素集合{}.
周期性：常函數(shù)是周期函數(shù)，它以任意實(shí)數(shù)為周期的周期函數(shù)，無最小正周期.
9、一次分式函數(shù)
(1)定義：我們把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函數(shù)稱為一次分式函數(shù).
(2)圖象
(3)性質(zhì)
①定義域：；值域；
②對(duì)稱中心：；
③漸近線方程：x＝－和y＝；
④單調(diào)性：當(dāng)ad＞bc時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(－∞，－)和上分別單調(diào)遞減；當(dāng)ad＜bc時(shí)，函數(shù)在區(qū)間(－∞，－)和(－，＋∞)上分別單調(diào)遞增.
10、對(duì)勾函數(shù)y＝ax＋(a＞0，b＞0)
(1)性質(zhì)
①奇偶性：奇函數(shù)；
②單調(diào)性：
單增區(qū)間：，；
單減區(qū)間：，；
③漸近線：y＝ax和x＝0.
(2)圖象
11、飄帶函數(shù)y＝ax－(a＞0，b＞0)
(1)性質(zhì)
①奇偶性：奇函數(shù)；
②單調(diào)性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③漸近線：x＝0.
(2)圖象
12、高斯函數(shù)y＝[x]
(1)定義：不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，這一規(guī)定最早為數(shù)學(xué)家高斯所使用，故函數(shù)y＝[x]稱為高斯函數(shù)，又稱取整函數(shù).
(2)性質(zhì)
①定義域：R；值域：Z.
②不具有單調(diào)性、奇偶性、周期性.
(3)圖象
13、狄利克雷函數(shù)D(x)＝的性質(zhì)
(1)定義域R；值域{0，1}.
(2)奇偶性：偶函數(shù).
(3)周期性：以任意正有理數(shù)為其周期，無最小正周期.
(4)無法畫出函數(shù)的圖象，但其圖象客觀存在.

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