資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題1.5平行線的性質(zhì)十大題型（一課一講）
（內(nèi)容:平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用）
【浙教版】
題型一：根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)求角度
【經(jīng)典例題1】如圖所示，，長方形的頂點(diǎn)B在直線m上，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，已知，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，，連接，平分交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-3】生活情境·路線圖如圖所示是一條街道的路線圖，若，且，那么當(dāng)?shù)扔冢? ）時(shí)，．
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，直線，，且頂點(diǎn)F在直線上，交直線于點(diǎn)H，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，，平分，平分，，求（ ）
A． B． C． D．
題型二：根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明
【經(jīng)典例題2】如圖，交于點(diǎn)F，點(diǎn)C在的延長線上，．

(1)若，求的度數(shù)．
(2)若，求證：．
【變式訓(xùn)練2-1】已知，E、F分別為，上一點(diǎn)，P，H分別在，上，，．
(1)如圖1，求證：平分；
(2)如圖2，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)M，作的平分線交于點(diǎn)N，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在四邊形中，平分，交于點(diǎn)G，交的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為延長線上一點(diǎn)，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，已知：△ABC中，D、E、F、G分別在、和上，連接、和，，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并證明；
(2)若，，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，，點(diǎn)E是直線上的一點(diǎn)，，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)連結(jié)，若，，則是否平分？請說明理由．
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，直線、被直線所截，分別交、于點(diǎn)、，平分交于點(diǎn)，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，連接．平分交于點(diǎn)，，求的度數(shù)．
題型三：根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)填空
【經(jīng)典例題3】把下面解答過程中的理由或推理過程補(bǔ)充完整．
如圖，，，．
（1）試說明；
（2）推導(dǎo)證明與的位置關(guān)系．
解：（1）∵（已知）
________（________）
又（已知）
________（________）
（________）
（2）∵（已知）
∴________（________）
又∵（已知）
∴________________（等量代換）
∴________
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，已知，，垂足分別為、，．試說明：，在下列解答中，在橫線填空（理由或數(shù)學(xué)式）．
解：∵，（________），
∴（________）
∴（________）
∴________（________）
又∵（________），
∴（________）
∴________（________）
∴（________）
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，，．求證∶．
證明∶因?yàn)椋ㄒ阎?br/>所以（ ），
所以_____，
因?yàn)椋ㄒ阎?br/>所以_____（等量代換），
所以（_____）．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，在中，，，垂足分別為，，試說明：，請將說明過程補(bǔ)充完整，并在括號內(nèi)填寫說理的依據(jù)．
理由如下：因?yàn)椋ㄒ阎?br/>所以（ ）．
同理，得，
所以（等量代換）．
所以（同位角相等，兩直線平行）．
所以 （ ）．
又（已知）．
所以 （等量代換）．
所以（ ）．
所以（兩直線平行，同位角相等）．
又 （已知），
所以（兩直線平行，同位角相等）．
即（等量代質(zhì)）．
所以（ ）．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，已知，、分別平分、，且，求證
證明：（ ）
、分別平分、（ ）
，（ ）
（ ）
∵，
∴，
（ ）
，（ ）
（ ）
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，已知，求的度數(shù)．請將下面的解答過程解：
（已知），
___________（ ），
又（已知），
（ ）
___________（ ）
（ ）
（已知），
___________．
題型四：求平行線之間的距離
【經(jīng)典例題4】如圖，，平分，平分，．
(1)問：與平行嗎？試說明理由．
(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖若，，，求，所在的直線之間的距離．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖所示，四邊形中，，連接，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．

(1)求證：．
(2)若，且．求與之間的距離．
(3)若．試求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖所示，四邊形中，，連接，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．

(1)求證：
(2)若 ，且，，．求與之間的距離．
(3)若，，．試求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，直線與分別相交于點(diǎn)，且交直線于點(diǎn)．

（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，求直線與的距離．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，直線，與，分別交于點(diǎn)，，且，交直線于點(diǎn)．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，，求直線與的距離．
題型五：平行線的性質(zhì)在三角板中的應(yīng)用
【經(jīng)典例題5】如圖，，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)B落在上，頂點(diǎn)D落在上，，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，是直尺的兩邊，，把三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的邊上，若，則的補(bǔ)角的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-2】一副三角板如圖所示擺放，，°，若，則 ．
【變式訓(xùn)練5-3】把一副三角板按如圖所示平放在桌面上，點(diǎn)恰好落在的延長線上，，則的大小為 ．
【變式訓(xùn)練5-4】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明同學(xué)將含角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)按如圖方式放置在直尺上，測得，則的度數(shù)為 ．

【變式訓(xùn)練5-5】一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，其中，．若固定三角板，改變?nèi)前宓奈恢茫ㄆ渲悬c(diǎn)的位置始終不變），當(dāng) 時(shí)，．
題型六：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用
【經(jīng)典例題6】生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從光源P點(diǎn)照射到拋物線上的光線，等反射以后沿著與平行的方向射出，若，，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．無法確定
【變式訓(xùn)練6-1】仰臥起坐是增加軀干肌肉力量和伸張性的一種運(yùn)動(dòng)，能夠很好地鍛煉腹部的肌肉．小美同學(xué)正在做仰臥起坐運(yùn)動(dòng)，如圖，，，，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，燒杯內(nèi)液體表面與燒杯下底部平行，光線從液體中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成，點(diǎn)在射線上．已知，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-4】小明觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知，，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖1，是我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)、用于探索宇宙的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”．如圖2，是“中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中為豎直方向的饋源（反射面），入射波經(jīng)過三次反射后沿水平射出，且，已知入射波與法線的夾角，則（ ）
A． B． C． D．
題型七：利用平行線之間的距離解決問題
【經(jīng)典例題7】如圖，在梯形中，，若，那么等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【變式訓(xùn)練7-1】如圖，平行線之間有兩個(gè)圖形，陰影部分面積的關(guān)系是（ ）
A．無法比較 B．①與②相等
C．①是②的2倍 D．①是②的3倍
【變式訓(xùn)練7-2】如圖，是直角梯形的高，E為梯形對角線上一點(diǎn)，如果、、的面積依次為56，50，40，那么的面積是（ )
A．32 B．34 C．35 D．36
【變式訓(xùn)練7-3】如圖，已知直線，點(diǎn)、、在直線上，點(diǎn)、、在直線上，，若的面積為5，則的面積為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【變式訓(xùn)練7-4】如圖，梯形中，，與相交于點(diǎn)O，，如果，那么 ．
【變式訓(xùn)練7-5】如圖，已知梯形中，，和相交于點(diǎn)G，和相交于點(diǎn)H，，，則陰影部分的面積為 ．
題型八：平行線中拐點(diǎn)問題
【經(jīng)典例題8】已知，如圖，，則，，之間的關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練8-1】如圖，已知直線，則、、之間的關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練8-2】如圖，，，則、、的關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練8-3】如圖，，則滿足的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練8-4】如圖，已知，，，則的度數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練8-5】如圖，，，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
題型九：平行線的性質(zhì)中多結(jié)論問題
【經(jīng)典例題9】將一副三角板按如圖放置，，，，則：①；②；③如果，則有；④如果，則有．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【變式訓(xùn)練9-1】如圖，已知，，垂足為，、分別是和的平分線，則下列五種說法：①；②；③；④；⑤．其中一定正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【變式訓(xùn)練9-2】如圖，，F(xiàn)為上一點(diǎn)，，且平分，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，且，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【變式訓(xùn)練9-3】如圖，在三角形中，已知，，．對于下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤與互補(bǔ)．其中正確的有（　　）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【變式訓(xùn)練9-4】如圖，，平分，下列結(jié)論：①；②
；③；④；⑤若，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【變式訓(xùn)練9-5】如圖，，平分，，，，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
題型十：利用平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行探索
【經(jīng)典例題10】已知：如圖，直線與分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
(1)如圖1，若，則和的位置關(guān)系為 ．
(2)在（1）的情況下，若點(diǎn)P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，探索三個(gè)角之間的關(guān)系．
①當(dāng)點(diǎn)P在圖2的位置時(shí)，可得請閱讀下面的解答過程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）：
解：如圖2，過點(diǎn)P作，
則（ ）
∵（已知），（作圖），
∴（ ）
∴
∴（ ）
即；
②當(dāng)點(diǎn)P在圖3的位置時(shí)，求三個(gè)角之間有何數(shù)量關(guān)系；
③當(dāng)點(diǎn)P在圖4的位置時(shí)，請直接寫出三個(gè)角之間的關(guān)系．
【變式訓(xùn)練10-1】數(shù)學(xué)活動(dòng)：探究利用平行線構(gòu)造等角“轉(zhuǎn)化”．

(1)閱讀理解：如圖1，已知三角形，求的度數(shù)．閱讀并補(bǔ)充下列推理過程：
解：過點(diǎn)A作，則__________，__________，
∵_(dá)_________，
∴__________．
(2)方法運(yùn)用：如圖2，已知，，，求的度數(shù)；
(3)如圖3，已知，，，直接寫出的度數(shù)；
(4)拓展探索：如圖4，已知，點(diǎn)E、F是、上的點(diǎn)，N是、之間的一點(diǎn)，分別作、的平分線，交于點(diǎn)M，若，直接寫出的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練10-2】探索與實(shí)踐：
數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)行線的性質(zhì)后．用一副三角板進(jìn)行探索．
如圖：在三角板和三角板中，，，，將三角板繞著點(diǎn)C做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)．
(1)當(dāng)時(shí)，如圖1所示．______；
(2)如圖2所示，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
(3)當(dāng)時(shí)，直接寫出的度數(shù)______．
【變式訓(xùn)練10-3】【問題情境】
在綜合實(shí)踐課上，老師組織班上的同學(xué)開展了探究兩角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1，已知直線，點(diǎn)E、G分別為直線、上的點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接、．
【探索發(fā)現(xiàn)】
當(dāng)時(shí)，求證：；
【深入探究】
（2）如圖2點(diǎn)P、Q分別是直線CD上的點(diǎn)，且，直線，交于點(diǎn)K，“智勝小組”探究與之間的數(shù)量關(guān)系．請寫出它們的關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在（2）的探究基礎(chǔ)上，，“科創(chuàng)小組”探究與之間的數(shù)量關(guān)系．請直接寫出它們的關(guān)系，不需要說明理由．
【變式訓(xùn)練10-4】如圖1，四邊形為一張長方形紙片．

(1)如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（、、），則__________°．
(2)如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（、、、），則__________°．
(3)如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（、、、、），則___________°．
(4)根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．
【變式訓(xùn)練10-5】同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
(1)提出問題：如圖1，若，點(diǎn)P在內(nèi)部，求證：；
(2)探索發(fā)現(xiàn)：將圖1中直線繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一定角度得，交直線于點(diǎn)Q（如圖2），結(jié)合（1）中的結(jié)論，直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)拓展應(yīng)用：如圖3，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．已知，結(jié)合（2）中的結(jié)論計(jì)算，＿＿＿．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題1.5平行線的性質(zhì)十大題型（一課一講）
（內(nèi)容:平行線的性質(zhì)及其應(yīng)用）
【浙教版】
題型一：根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)求角度
【經(jīng)典例題1】如圖所示，，長方形的頂點(diǎn)B在直線m上，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是長方形，
∴，
∴，
故選：C ．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，已知，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：如圖，標(biāo)記角，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選：B
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，，連接，平分交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故選D．
【變式訓(xùn)練1-3】生活情境·路線圖如圖所示是一條街道的路線圖，若，且，那么當(dāng)?shù)扔冢? ）時(shí)，．
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：且，
，
，
，
，
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，直線，，且頂點(diǎn)F在直線上，交直線于點(diǎn)H，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：，且頂點(diǎn)F在直線上，，
，
，
，
，
故選：C．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，，平分，平分，，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：如圖，分別過G、H作的平行線和，
∵，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選B．
題型二：根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明
【經(jīng)典例題2】如圖，交于點(diǎn)F，點(diǎn)C在的延長線上，．

(1)若，求的度數(shù)．
(2)若，求證：．
【答案】(1)(2)詳見解析
【詳解】（1）解：，
，
．
，
，即．
（2）證明：由（1），可知，
．
又，
，
【變式訓(xùn)練2-1】已知，E、F分別為，上一點(diǎn)，P，H分別在，上，，．
(1)如圖1，求證：平分；
(2)如圖2，過點(diǎn)P作，交于點(diǎn)M，作的平分線交于點(diǎn)N，求的度數(shù)．
【答案】(1)證明見解析(2)
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴平分．
（2）設(shè)，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在四邊形中，平分，交于點(diǎn)G，交的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)為延長線上一點(diǎn)，．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析(2)
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，已知：中，D、E、F、G分別在、和上，連接、和，，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并證明；
(2)若，，求的度數(shù)．
【答案】(1)，證明見詳解(2)
【詳解】（1）證明：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，，點(diǎn)E是直線上的一點(diǎn)，，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)連結(jié)，若，，則是否平分？請說明理由．
【答案】(1)，見解析(2)平分，見解析
【詳解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴（兩直線平行， 同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
∵，
∴．
∵，
∴，
∴ （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
（2）解：平分，理由如下：
∵，
∴（兩直線平行， 同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
∵，
∴．
∵，
∴，
∴平分．
【變式訓(xùn)練2-5】如圖，直線、被直線所截，分別交、于點(diǎn)、，平分交于點(diǎn)，．
(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，連接．平分交于點(diǎn)，，求的度數(shù)．
【答案】(1)，詳見解析(2)
【詳解】（1）解：，理由如下，
平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
，
，
平分，平分，
，
，
．
題型三：根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)填空
【經(jīng)典例題3】把下面解答過程中的理由或推理過程補(bǔ)充完整．
如圖，，，．
（1）試說明；
（2）推導(dǎo)證明與的位置關(guān)系．
解：（1）∵（已知）
________（________）
又（已知）
________（________）
（________）
（2）∵（已知）
∴________（________）
又∵（已知）
∴________________（等量代換）
∴________
【答案】（1）；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；等量代換；同位角相等，兩直線平行；（2）；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；3 ；
【詳解】解：（1）∵（已知）
（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又（已知）
（等量代換）
（同位角相等，兩直線平行）
（2）∵（已知）
∴（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
又∵（已知）
∴（等量代換）
∴．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，已知，，垂足分別為、，．試說明：，在下列解答中，在橫線填空（理由或數(shù)學(xué)式）．
解：∵，（________），
∴（________）
∴（________）
∴________（________）
又∵（________），
∴（________）
∴________（________）
∴（________）
【答案】已知；垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；同角的補(bǔ)角相等；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等
【詳解】解：∵，（已知），
∴（垂直的定義）
∴（同位角相等，兩直線平行）
∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
又∵（已知），
∴（同角的補(bǔ)角相等）
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）
∴（兩直線平行，同位角相等）
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，，．求證∶．
證明∶因?yàn)椋ㄒ阎?br/>所以（ ），
所以_____，
因?yàn)椋ㄒ阎?br/>所以_____（等量代換），
所以（_____）．
【答案】內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；D；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
【詳解】證明：∵（已知），
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
∵（已知），
∴（等量代換），
∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．
故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，在中，，，垂足分別為，，試說明：，請將說明過程補(bǔ)充完整，并在括號內(nèi)填寫說理的依據(jù)．
理由如下：因?yàn)椋ㄒ阎?br/>所以（ ）．
同理，得，
所以（等量代換）．
所以（同位角相等，兩直線平行）．
所以 （ ）．
又（已知）．
所以 （等量代換）．
所以（ ）．
所以（兩直線平行，同位角相等）．
又 （已知），
所以（兩直線平行，同位角相等）．
即（等量代質(zhì)）．
所以（ ）．
【答案】垂直定義；，兩直線平行，同位角相等；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；；同位角相等，兩直線平行
【詳解】解：因?yàn)椋ㄒ阎?br/>所以（垂直定義）．
同理，得，
所以（等量代換）．
所以（同位角相等，兩直線平行）．
所以（兩直線平行，同位角相等）．
又（已知）．
所以（等量代換）．
所以（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
所以（兩直線平行，同位角相等）．
又（已知），
所以（兩直線平行，同位角相等）．
即（等量代質(zhì)）．
所以（同位角相等，兩直線平行），
故答案為：垂直定義；，兩直線平行，同位角相等；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；；同位角相等，兩直線平行．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，已知，、分別平分、，且，求證
證明：（ ）
、分別平分、（ ）
，（ ）
（ ）
∵，
∴，
（ ）
，（ ）
（ ）
【答案】已知；已知；角平分線的定義；角平分線的定義；兩直線平行，錯(cuò)角相等，；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等角的補(bǔ)角相等
【詳解】證明：（已知）
、分別平分、（已知）
，（角平分線的定義）
（等量代換）
∵，
∴，
（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）
（等角的補(bǔ)角相等）
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，已知，求的度數(shù)．請將下面的解答過程解：
（已知），
___________（ ），
又（已知），
（ ）
___________（ ）
（ ）
（已知），
___________．
【答案】；兩直線平行，同位角相等；等量代換；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；
【詳解】解：（已知），
（兩直線平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代換），
（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），
（已知），
．
故答案為：；兩直線平行，同位角相等；等量代換；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；．
題型四：求平行線之間的距離
【經(jīng)典例題4】如圖，，平分，平分，．
(1)問：與平行嗎？試說明理由．
(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖若，，，求，所在的直線之間的距離．
【答案】(1)平行，見解析(2)8
【詳解】（1）解：，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
設(shè)，所在的直線之間的距離為，
，
即，
，
即，所在的直線之間的距離為．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖所示，四邊形中，，連接，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．

(1)求證：．
(2)若，且．求與之間的距離．
(3)若．試求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．
【答案】(1)見解析(2)(3)大于0小于等于5
【詳解】（1）證明：，
，
又，
，
；
（2）解：由知：與之間的距離等于點(diǎn)到直線的距離，
即設(shè)三角形的邊上的高為，
由三角形的面積計(jì)算公式可得：
，即，
解得：，
與之間的距離為2.4；
（3）解：過點(diǎn)作于，連接，
，
當(dāng)與重合時(shí)，，
當(dāng)無限接近時(shí)，無限接近0，
，
點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為大于0小于等于5．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖所示，四邊形中，，連接，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且．

(1)求證：
(2)若 ，且，，．求與之間的距離．
(3)若，，．試求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．
【答案】(1)詳見解析(2)(3)
【詳解】（1）證明：
兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
又
（等量代換）
（同位角相等，兩直線平行）
（2）由知與之間的距離等于點(diǎn)到直線的距離即三角形的邊上的高設(shè)為．由三角形的面積計(jì)算公式可得：
即：
解得：
故：與之間的距離為．
（3）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，∵，，
如圖所示，作，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，到直線的距離為，

當(dāng)點(diǎn)接近直線時(shí)，則點(diǎn)到直線的距離接近，
∴點(diǎn)到直線的距離的取值范圍：．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，直線與分別相交于點(diǎn)，且交直線于點(diǎn)．

（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，求直線與的距離．
【答案】（1）20°；（2）
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br/>
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以
（2）設(shè)三角形中邊上的高為，
因?yàn)檫吷系母呔€垂直于
又因?yàn)椋c(diǎn)在直線，
所以邊上的高即為直線與的距離，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以直線與的距離為．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，直線，與，分別交于點(diǎn)，，且，交直線于點(diǎn)．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，，求直線與的距離．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）
∵
∴
又∵
∴
（2）如圖，過作于，則的長即為直線與的距離
∵，，
是直角三角形
∵
∴
∴直線與的距離
題型五：平行線的性質(zhì)在三角板中的應(yīng)用
【經(jīng)典例題5】如圖，，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)B落在上，頂點(diǎn)D落在上，，則的度數(shù)為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：A．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，是直尺的兩邊，，把三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的邊上，若，則的補(bǔ)角的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解：如圖：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的補(bǔ)角的度數(shù)是，
故選：B．
【變式訓(xùn)練5-2】一副三角板如圖所示擺放，，°，若，則 ．
【答案】105
【詳解】解：過點(diǎn)G作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：105．
【變式訓(xùn)練5-3】把一副三角板按如圖所示平放在桌面上，點(diǎn)恰好落在的延長線上，，則的大小為 ．
【答案】
【詳解】解：由題意可知：，，，
，，
，
，
，
，
故答案為：
【變式訓(xùn)練5-4】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明同學(xué)將含角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)按如圖方式放置在直尺上，測得，則的度數(shù)為 ．

【答案】/53度
【詳解】解∶如圖， 過E作，

∴，，
又，
∴，
∵直尺對邊平行，即，
∴，
故答案為∶．
【變式訓(xùn)練5-5】一副直角三角板按如圖所示的方式疊放在一起，其中，．若固定三角板，改變?nèi)前宓奈恢茫ㄆ渲悬c(diǎn)的位置始終不變），當(dāng) 時(shí)，．
【答案】或
【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴；
如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，，
∴，，
∴；
故答案為：或．
題型六：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用
【經(jīng)典例題6】生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從光源P點(diǎn)照射到拋物線上的光線，等反射以后沿著與平行的方向射出，若，，則的度數(shù)為（　　）
A． B． C． D．無法確定
【答案】C
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故選：C．
【變式訓(xùn)練6-1】仰臥起坐是增加軀干肌肉力量和伸張性的一種運(yùn)動(dòng)，能夠很好地鍛煉腹部的肌肉．小美同學(xué)正在做仰臥起坐運(yùn)動(dòng)，如圖，，，，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴，
故選：D．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，燒杯內(nèi)液體表面與燒杯下底部平行，光線從液體中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成，點(diǎn)在射線上．已知，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵，點(diǎn)在射線上，，
∴，
∵，，
∴，
故選：C．
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，一條公路修到湖邊時(shí)，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：過點(diǎn)作，
，
，
，，
，，
，
，
故選：D．
【變式訓(xùn)練6-4】小明觀察“抖空竹”時(shí)發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖，已知，，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)作，
，，
，
，
又，
．
故選：D．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖1，是我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)、用于探索宇宙的單口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”．如圖2，是“中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中為豎直方向的饋源（反射面），入射波經(jīng)過三次反射后沿水平射出，且，已知入射波與法線的夾角，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：過點(diǎn)作，為法線，如圖：
∵，
∴，
∴，
∴為法線，
∴，
∵為法線，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故選：A．
題型七：利用平行線之間的距離解決問題
【經(jīng)典例題7】如圖，在梯形中，，若，那么等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到的距離為，
∵，
∴點(diǎn)到的距離也為，
∴；
故選B．
【變式訓(xùn)練7-1】如圖，平行線之間有兩個(gè)圖形，陰影部分面積的關(guān)系是（ ）
A．無法比較 B．①與②相等
C．①是②的2倍 D．①是②的3倍
【答案】C
【詳解】解：設(shè)兩平行線間的距離為h，
∴三角形面積為，梯形面積為，
∴①的面積是②的面積的2倍，
故選：C．
【變式訓(xùn)練7-2】如圖，是直角梯形的高，E為梯形對角線上一點(diǎn)，如果、、的面積依次為56，50，40，那么的面積是（ )
A．32 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【詳解】解：如圖，作，連接，則，
可知，
因此有：，
而；
因此，．
故選：B．
【變式訓(xùn)練7-3】如圖，已知直線，點(diǎn)、、在直線上，點(diǎn)、、在直線上，，若的面積為5，則的面積為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】C
【詳解】解：直線，點(diǎn)、、在直線上，
點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等．
又，
與是等底等高的兩個(gè)三角形，
，
故選：C．
【變式訓(xùn)練7-4】如圖，梯形中，，與相交于點(diǎn)O，，如果，那么 ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練7-5】如圖，已知梯形中，，和相交于點(diǎn)G，和相交于點(diǎn)H，，，則陰影部分的面積為 ．
【答案】/
【詳解】解：連接，
∵，，
∴
∴；
同理：
∴．
故答案為：．
題型八：平行線中拐點(diǎn)問題
【經(jīng)典例題8】已知，如圖，，則，，之間的關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，作，

∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
即．
故選：C．
【變式訓(xùn)練8-1】如圖，已知直線，則、、之間的關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】過向左作射線，
則，
∴
，
，
，
．
故選：D．
【變式訓(xùn)練8-2】如圖，，，則、、的關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：分別過點(diǎn)作，
，
，
，
，
，
．
故選：D．
【變式訓(xùn)練8-3】如圖，，則滿足的數(shù)量關(guān)系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【變式訓(xùn)練8-4】如圖，已知，，，則的度數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖所示，過點(diǎn)E作
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
故選：B．
【變式訓(xùn)練8-5】如圖，，，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，
，
，
，，
，，
，，
，
故選：．
題型九：平行線的性質(zhì)中多結(jié)論問題
【經(jīng)典例題9】將一副三角板按如圖放置，，，，則：①；②；③如果，則有；④如果，則有．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】D
【詳解】解：∵，
∴，
∴，故①正確；
∵，
∴，故②正確；
如果，則，故，故③正確；
如果，則，故，故④正確；
綜上所述，正確的有①②③④，共4個(gè)，
故選：D．
【變式訓(xùn)練9-1】如圖，已知，，垂足為，、分別是和的平分線，則下列五種說法：①；②；③；④；⑤．其中一定正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】C
【詳解】，
，故①正確；
平分，，
．
又，
∴，
，故②正確；
，
，故④正確；
、分別平分、，，
，
∴，即，故③正確；
無法證明，故無法證明，故⑤錯(cuò)誤
故正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)．
故選C．
【變式訓(xùn)練9-2】如圖，，F(xiàn)為上一點(diǎn)，，且平分，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，且，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【詳解】解：，交于I．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴①正確；②2正確，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可見，的值未必為，未必為，只要和為即可，
∴③平分，④平分不一定正確．
故選：B．
【變式訓(xùn)練9-3】如圖，在三角形中，已知，，．對于下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤與互補(bǔ)．其中正確的有（　　）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】C
【詳解】解：①，
；
故①正確；
②，
，
，
，
；
故②正確；
③，
；
故③正確；
④，
，
，
；
故④正確；
⑤．
，
與互余．
故⑤錯(cuò)誤．
其中正確的有①②③④4個(gè)．
故選：C．
【變式訓(xùn)練9-4】如圖，，平分，下列結(jié)論：①；②
；③；④；⑤若，則．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【答案】C
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正確；
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，故②正確；
∵與不一定相等，
∴不一定成立，故③錯(cuò)誤：
∵，，，，
∴
∵，
∴°，即，故④正確；
∵，
∴為定值，故⑤正確．
綜上所述，正確的選項(xiàng)①②④⑤共4個(gè)，
故選：C．
【變式訓(xùn)練9-5】如圖，，平分，，，，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】B
【詳解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，故結(jié)論①錯(cuò)誤；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分，故結(jié)論②正確；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故結(jié)論③正確；
∵，
又∵，
∴，故結(jié)論④錯(cuò)誤．
綜上所述，結(jié)論正確的是②③，共計(jì)2個(gè)．
故選：B．
題型十：利用平行線的判定和性質(zhì)進(jìn)行探索
【經(jīng)典例題10】已知：如圖，直線與分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
(1)如圖1，若，則和的位置關(guān)系為 ．
(2)在（1）的情況下，若點(diǎn)P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，探索三個(gè)角之間的關(guān)系．
①當(dāng)點(diǎn)P在圖2的位置時(shí)，可得請閱讀下面的解答過程，并填空（理由或數(shù)學(xué)式）：
解：如圖2，過點(diǎn)P作，
則（ ）
∵（已知），（作圖），
∴（ ）
∴
∴（ ）
即；
②當(dāng)點(diǎn)P在圖3的位置時(shí)，求三個(gè)角之間有何數(shù)量關(guān)系；
③當(dāng)點(diǎn)P在圖4的位置時(shí)，請直接寫出三個(gè)角之間的關(guān)系．
【答案】(1)
(2)①見解析；②；③
【詳解】（1）解：由題意得，
∵，
∴，
故答案為：平行；
（2）①解：如圖2、過點(diǎn)P作，
則（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
∵（已知），（作圖），
∴（平行于同一條直線的兩直線平行）．
∴．
∴（等式的性質(zhì)）．
即；
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩直線平行；等式的性質(zhì)；
②解：；
如圖3，過點(diǎn)P作，
則．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴；
③解：，
如圖4，過點(diǎn)P作，
則．
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練10-1】數(shù)學(xué)活動(dòng)：探究利用平行線構(gòu)造等角“轉(zhuǎn)化”．

(1)閱讀理解：如圖1，已知三角形，求的度數(shù)．閱讀并補(bǔ)充下列推理過程：
解：過點(diǎn)A作，則__________，__________，
∵_(dá)_________，
∴__________．
(2)方法運(yùn)用：如圖2，已知，，，求的度數(shù)；
(3)如圖3，已知，，，直接寫出的度數(shù)；
(4)拓展探索：如圖4，已知，點(diǎn)E、F是、上的點(diǎn)，N是、之間的一點(diǎn)，分別作、的平分線，交于點(diǎn)M，若，直接寫出的度數(shù)．
【答案】(1)，，，(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：解：過點(diǎn)A作，則，，
∵，
∴，
故答案為：，，，．
（2）解：過點(diǎn)E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；

（3）解：過點(diǎn)E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；

（4）解：過點(diǎn)M作，
∵、平分、，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴同理得，
∴，
∴，
∴．

【變式訓(xùn)練10-2】探索與實(shí)踐：
數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)行線的性質(zhì)后．用一副三角板進(jìn)行探索．
如圖：在三角板和三角板中，，，，將三角板繞著點(diǎn)C做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)．
(1)當(dāng)時(shí)，如圖1所示．______；
(2)如圖2所示，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
(3)當(dāng)時(shí)，直接寫出的度數(shù)______．
【答案】(1)(2)(3)或
【詳解】（1）由題意可知, ,
∵,
∴,
故答案為:；
（2）由題意可知, ,
∵
∴,
∴，
即；
（3）如圖, 當(dāng)時(shí),
，
，
如圖, 當(dāng) 時(shí), 延長交于點(diǎn)，
∵
，
，
綜上所述，滿足條件的的度數(shù)為或
故答案為： 或
【變式訓(xùn)練10-3】【問題情境】
在綜合實(shí)踐課上，老師組織班上的同學(xué)開展了探究兩角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1，已知直線，點(diǎn)E、G分別為直線、上的點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接、．
【探索發(fā)現(xiàn)】
當(dāng)時(shí)，求證：；
【深入探究】
（2）如圖2點(diǎn)P、Q分別是直線CD上的點(diǎn)，且，直線，交于點(diǎn)K，“智勝小組”探究與之間的數(shù)量關(guān)系．請寫出它們的關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，在（2）的探究基礎(chǔ)上，，“科創(chuàng)小組”探究與之間的數(shù)量關(guān)系．請直接寫出它們的關(guān)系，不需要說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）；理由見解析；（3），理由見解析
【詳解】證明：（1）如圖所示，過F作，
，
，
∴，，
∴，
∵，
∴；
（2）與之間的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：
設(shè)，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴設(shè)，
過點(diǎn)M作，
；
，
，
∴，
根據(jù)解析（2）可知，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【變式訓(xùn)練10-4】如圖1，四邊形為一張長方形紙片．

(1)如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（、、），則__________°．
(2)如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（、、、），則__________°．
(3)如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（、、、、），則___________°．
(4)根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【詳解】（1）解：過作（如圖②）．
原四邊形是長方形，
，
又，
（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．
，
（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
，
（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．
，
又，
，
故答案為：；

（2）分別過、分別作、，如圖③所示，
原四邊形是長方形，
，
又，
．
，，，
，
，，
，
故答案為：；
（3）分別過、、分別作、、，如圖④所示，
原四邊形是長方形，
，
又，，，
．
，，，，
，
，，，
，
故答案為：；
（4）由此可得一般規(guī)律：剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是度，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練10-5】同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
(1)提出問題：如圖1，若，點(diǎn)P在內(nèi)部，求證：；
(2)探索發(fā)現(xiàn)：將圖1中直線繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)一定角度得，交直線于點(diǎn)Q（如圖2），結(jié)合（1）中的結(jié)論，直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)拓展應(yīng)用：如圖3，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．已知，結(jié)合（2）中的結(jié)論計(jì)算，＿＿＿．
【答案】(1)見解析；(2)；(3)．
【詳解】（1）證明：過點(diǎn)P作，如圖1所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：，理由如下：
如圖2所示：
∵，
∴，
∴，
由（1）的結(jié)論得：，
∴；
（3）解：如圖3所示：
由（2）的結(jié)論得：，
∵，
∴①，
∵，
∴，
由（2）的結(jié)論得：，
∴②，
得：．

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