資源簡介

【含義】 科學的發展觀認為，國民經濟的發展既要講求效率，又要節約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價取得最大的效益。這類應用題叫做最值問題。
【數量關系】 一般是求最大值或最小值。
【解題思路和方法】 按照題目的要求，求出最大值或最小值。
【壓軸精講一】用1、2、3、4、5、6六個數碼組成兩個三位數，這兩個三位數相乘，最大的乘積是多少？最小的乘積又是多少？
【答案】最大乘積是342002，最小乘積是33210
【詳解】要使乘積最大，不僅百位上的數一定是5和6，十位上的數一定是3和4，個位上的數只能是1和2，而且要使組成的三位數的差盡可能小．由于
631-542=89，632-541=91，因此最大的乘積是631×542=342002．
同理，要使乘積最小，必須百位上為1和2，十位上為3和4，個位數上為5和6，并且這兩個數的差盡可能大，這兩個數為135和246，此時最小乘積為33210．
【壓軸精講二】六位同學數學考試的平均成績是92.5分，他們的成績是互不相同的整數，最高分是99分，最低分是76分，則按分數從高到低居第三位的同學至少得多少分？
【答案】95分
【分析】六位同學的總分為92.5×6=555分，要使第三名同學得分盡可能少，第二名應僅次于第一名的得分99分，因此第二名同學得98分，同時應使第四、第五名同學的得分盡可能與第三名同學的得分接近．
【詳解】解：第三、四、五名同學的總分是：92.5×6-99-98-76=282（分）
由于282÷3=94分，因此要使這三名同學得分接近，應為95、94、93分．所以按分數從高到低排列居第三名的同學至少得95分．
【壓軸精講三】．有一路公共汽車，包括起點站和終點站共有10個停車站．如果這輛公共汽車從起點站開出，除終點站外，每一站上車的乘客中，恰好各有一位乘客從這一站坐到以后的每一站．為了使乘客都有座位，那么這輛公共汽車上至少要有多少個座？
【答案】25個
【分析】根據題意，在起點有9個乘客上了車，第二站又上來8個乘客，下去一個乘客，我們列表寫出具體情況：
因此，這輛車至少應有的座位數應該按上車人數最少的情況來考慮，也就是說
按表所列上車人數的情況下，應保證每位乘客均有座位．
從表上看出，前五站上車人多下車人少，后五站上車人少下車人多，因此車上乘客最多時是在第五站乘客上下車后的人數．
【詳解】車上的乘客在第五站時最多，此時汽車上的乘客人數為：（9+8+7+6+5）-（1+2+3+4）=35-10=25（個）
因此，車上至少要有25個座位，才能保證每個乘客都有座位．
【點睛】此題用枚舉法也是不錯的方法，只要將在每個站時車上的人數列出來，同樣可以求出人數的最大值。
1．一套課桌椅 210元，椅子價格是課桌的，課桌和椅子的單價各是多少元？
【答案】解：課桌：210÷（1+）
=210÷
=150（元）
椅子：210-150=60（元）
答：課桌的單價是150元，椅子的單價是60元，
【解析】【分析】把課桌的單價看成單位“1”，所以課桌的單價=一套課桌椅的價錢÷（1+椅子價格是課桌的幾分之幾），椅子的單價=一套課桌椅的價錢-課桌的單價，據此代入數值作答即可。
2．某商場運進200臺冰箱，第一天賣出總數的 ，第二天賣出總數的 ，兩天一共賣出冰箱多少臺？
【答案】解： ，
200× =90（臺）；
答：兩天一共賣出冰箱90臺。
【解析】【分析】可以先求出兩天一共賣出總數的幾分之幾，即可求出兩天一共賣出的臺數．
3．一列動車的速度為320千米∕時，比一架客機的速度慢 。這架客機每小時可以飛行多少千米
【答案】解：320÷(1-)
=320÷
=320×3
=960（千米）
答：這架客機每小時可以飛行960千米.
【解析】【分析】根據條件“一列動車的速度為320千米∕時，比一架客機的速度慢 ”可知，把這架客機的速度看作單位“1”，求單位“1”，用除法計算，用這列動車的速度÷(1-)=這架客機的速度，據此列式解答.
4．同學們參觀天文館，六年級去了154人，五年級去的人數是六年級的 ，四年級去的人數是五年級的 ．四年級去了多少人？
【答案】解：154× × =112（人）
答：四年級去了112人．
【解析】【分析】六年級去了154人，五年級去的人數是六年級的，根據乘法的意義，五年級去了154×人，四年級去的人數是五年級的，則用五年級人數乘四年級去的人數占五年級人數的分率，即得四年級去了多少人．
5．學校圖書室去年有圖書2400冊，今年圖書冊數比去年增加了 ，今年有圖書多少冊？
【答案】解：2400×（1+ ）
=2400×
=2760（冊）
答：今年有圖書2760冊．
【解析】【分析】首先根據題意，把學校圖書室去年有圖書的冊數看作單位“1”，則今年圖書的冊數是去年的 （1+=）。然后根據分數乘法的意義，用學校圖書室去年有圖書的冊數乘，求出今年有圖書多少冊即可．
6．一輛汽車從甲地開往乙地，計劃10 小時到達，實際 8 小時到達。實際速度比計劃速度提高了百分之多少？
【答案】解：
答：實際速度比計劃速度提高了25%。
【解析】【分析】把甲、乙兩地間的路程看作單位“1”，則計劃速度為 實際速度為
7． 兩家售貨亭都以每件120元的價格出售某種商品。一周后，甲售貨亭先把售價降低了15%，再過一周又提高了 30%；乙售貨亭在兩周后提價15%。兩周后，甲、乙兩家售貨亭哪一家售價高？
【答案】解：120×(1-15%)×(1+30%)=132.6(元)
120×(1+15%)=138(元)
132.6<138
答：乙售貨亭售價高。
【解析】【分析】先利用百分數乘法的意義分別計算出甲售貨亭和乙售貨亭的售價，再比較大小即可。
8． 東北虎是我國一級保護動物。據估計，野生東北虎大約有 360 只，動物園里的東北虎大約比野生東北虎多35%。動物園里的東北虎大約有多少只？
【答案】解：360×(1+35%)=486(只)
答：動物園里的東北虎大約有486只。
【解析】【分析】動物園里的東北虎數量占野生東北虎的(1+35%)，求動物園里的東北虎數量，就是求 360 只的(1+35%)是多少只。
9．某校調查了六年級的 300 名學生，為了健康，能每天堅持陽光體育運動1小時的學生有240 人。根據上級要求，每天堅持陽光體育運動1小時的人數要達到95%，現在應增加多少人？
【答案】解：300×95%-240=45(人)
答：現在應增加45人。
【解析】【分析】根據上級要求，每天參加陽光體育運動1小時的人數要達到95%，是把六年級的總人數300名學生看作單位“1”，先根據乘法的意義，用300乘95%算出要達到95%應該有的人數，然后減去240人，即可得解。
10． 一個垃圾處理廠平均每天收到生活垃圾40噸，其中可回收利用垃圾占 40%，這個垃圾處理廠平均每天收到可回收利用垃圾多少噸？
【答案】解：40×40%=16(噸)
答： 這個垃圾處理廠平均每天收到可回收利用垃圾16噸？
【解析】【分析】本題的關鍵在于理解題目中給出的信息，即垃圾處理廠每天收到的生活垃圾總量，以及可回收利用垃圾占總量的比例。需要運用基本的數學運算，如乘法，來計算每天可回收利用垃圾的數量。
11．四川省的主要油料作物和重要經濟作物是油菜。如果 500 千克油菜籽可榨油 190~200千克，那么油菜的最低出油率是多少？最高出油率呢？
【答案】解：190÷500=0.38=38%
200÷500=0.4=40%
答： 油菜的最低出油率是38%，最高出油率是40%。
【解析】【分析】根據出油率=油的重量÷油菜籽的重量×100%，分別用190和200除以500，再乘100%即可。
12．甲、乙兩箱蘋果共重 t，甲箱取出 ，乙箱取出 ，共取出蘋果多少噸
【答案】解：
答： 共取出蘋果噸 。
【解析】【分析】將甲、乙兩箱蘋果的總質量看作單位“1”，因為甲、乙兩箱各取 ，所以可以看作共取出甲、乙兩箱蘋果總質量的 ，即求 t的 是多少，用乘法計算可得出答案。
13．如圖是兩個大小不同互相咬合的齒輪，大齒輪的半徑是15 cm，小齒輪的半徑是5cm。大齒輪轉動一周，小齒輪要轉動多少周
【答案】解：
大齒輪的周長為：2×3.14×15=94.2（cm）
小齒輪的周長為：2×3. 14×5 =31.4（cm）
小齒輪要轉動：94.2÷31.4=3（周）
答：小齒輪要轉動3周。
【解析】【分析】本題主要計算大齒輪的周長是小齒輪周長的幾倍。先分別求出大齒輪和小齒輪的周長，再用大齒輪的周長除以小齒輪的周長，即可求出小齒輪要轉動的周數。
14． 有甲、乙兩桶油，甲桶油的質量是乙桶油的 乙桶油比甲桶油多5kg，乙桶油的質量是多少千克
【答案】解：5÷（1-）
=5÷
=（千克）
答：乙桶油的質量是千克。
【解析】【分析】乙桶油的質量=乙桶油比甲桶油多的質量÷（1-） 。
15．為響應“節能減排，低碳生活”，小方騎自行車上學。小方家到學校的距離約有 2km，小方騎的自行車輪胎的外直徑約70 cm，如果輪胎每分鐘轉 100 圈，他從家到學校大約需幾分鐘 (得數保留整數)
【答案】解：
2km=2000m
70cm=0.7 m
自行車車輪周長為：3.14×0.7=2.198（米）
自行車每分鐘行駛路程：2.198×100=219.8（米/分）
到學校需要用的時間：2000÷219.8≈9（分）
答：他從家到學校大約需9分鐘。
【解析】【分析】本題考查圓的周長計算及應用。根據周長公式，先求出自行車輪胎的周長，再乘100求出自行車每分鐘行駛的路程，再用總路程除以自行車每分鐘行駛的路程即可求出時間，注意單位換算。
1．用0、1、2這三個數，分別能組成多少個不同的三位數？其中最小的三位數和最大的三位數分別是多少？
【答案】102,210
【詳解】列出所有這樣的三位數，因為0不能在首位，所以共有102，120，201，210，一共4個，其中最大的是210，最小的是102．
2．一條小蟲沿長6分米，寬4分米，高5分米的長方體的棱爬行．如果它只能進不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么它最多能爬多少分米
【答案】48
【詳解】如下圖所示，我們將長方體的頂點標上字母：
注意到，我們盡量讓小蟲多走長方形的長，此時有A→B→C→D→A→E→F→G→H→E，小蟲共走了6+5+6+5+4+6+5+6+5＝48分米．
當然與上面的路線對稱的路線也是符合題意的．
所以，小蟲最多能爬48分米．
3．一個自然數與3的和是5的倍數，與3的差是6的倍數，在這樣的自然數中，最小的一個是多少？
【答案】27
【詳解】解：與3的和是5的倍數的自然數從小到大依次為：2、7、12、17、22、27、32……與3的差是6的倍數的自然數從小到大依次為：9、15、21、27、33、39、45……27是第一個同時符合兩個條件的自然數，故滿足條件的最小的自然數是27．
【點睛】將符合某條件的自然數一一列舉，逐一比較，從中找出最值，這種方法叫枚舉法．
4．有64個邊長為1厘米的同樣大小的小正方體，其中34個為白色的，30個為黑色的．現將它們拼成一個的大正方體，在大正方體的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
【答案】74
【詳解】要使大正方體的表面上白色部分最多，相當于要使大正方體表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方體盡量不露出來．
在整個大正方體中，沒有露在表面的小正方體有(個)，用黑色的；在面上但不在邊上的小正方體有(個)，其中個用黑色．
這樣，在表面的個的正方形中，有22個是黑色，(個)是白色，所以在大正方體的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．
5．一根長72厘米的鐵絲圍成一個長方體，問圍成一個什么形體時，體積最大？最大體積是多少立方厘米？
【答案】圍成一個正方體時，體積最大，最大為216立方厘米
【詳解】由于長方體分別有四條高、長、寬，不妨設為a、b、c，因此，因此，問題轉化為已知a+b+c=18，求abc的最大值．顯然，當這三個數相等，即a=b=c =6時，即圍成一個正方體時，體積最大，此時體積為6×6×6=216（立方厘米）．
6．在1，2，3，4，5，6六個數字中選出盡可能多的不同數字組成一個數（有些數字可以重復出現），使得能被組成它的每一個數字整除，并且組成的數要盡可能小.
【答案】122364
【詳解】如果選數字5，組成數的最后一位數字就必須是5，這樣就不能被偶數2，4，6整除，也就是不能選2，4，6.為了要選的不同數字盡可能多，我們只能不選5，而選其他五個數字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，為了能整除3和6，所用的數字之和要能被3整除，只能再添上一個2，16+2＝18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數能被4整除.組成的數是122364.
7．將若干只雞放入若干個籠中，若每個籠中放4只，則有一雞無籠可放；若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放，求最少有幾個籠？
【答案】6個
【詳解】解：設有x個籠，則共有（4x+1）只雞，當每個籠中放5只雞時，有一籠無雞可放，這說明x個籠中有一個空籠，還有一個籠中不一定放滿5只，但至少1只至多5只，有（x-2）個籠里放滿5只．故1≤4x+1－5（x-2）≤5，解得6≤x≤10，由x是整數，則x最小取6，且當x=6時，有雞25只，滿足題意，故至少有6個雞籠．
8．將135個人分成若干小組，要求任意兩個組的人數都不同，最多可以分成多少組？這時，人數最少的那組有多少人？
【答案】15個；1人．
【詳解】試題分析：因為至多就是每個組人數盡量少，1+2+3+4+4+…15=120，而135﹣120=15，所以這15人再每個小組分給1人，最后一個小組分2人，即第一組1人，第二組3人，第三組4人，第五組5人…第15組17人，由此得出至多可以分成15個組，人數最少的那組有1人．
解：因為1+2+3+4+5+…15=120，而135﹣120=15
所以1+3+4+4+5+6+7+…+17=135
所以至多可以分成15個組．人數最少的那組有1人．
答：至多可以分成15個組．人數最少的那組有1人．
點評：關鍵是明確至多可以分成多少個組就是每個組人數盡量少，所以應該從一個組一個人開始試著進行推算．
9．在一條筆直的公路上，每隔100公里有一個倉庫，共有五個．一號倉庫有10噸存貨，二號倉庫存有20噸貨物，五號倉庫有40噸存貨，三號和四號倉庫是空的．現在要把所有的貨物集中存放在一個倉庫里．如果每噸貨物運輸1公里要1元運輸費，那么最少多少運輸費？
【答案】10000元
【分析】將所有貨物集中存放在某一倉庫的情形列出來，共有五種情況，通過枚舉比較，確定要選擇的倉庫，再求出最少運輸費，這是比較容易想到的辦法．除此以外，也可以用“小往大處靠”原則求解，即如果某處貨物的重量大于或等于貨物總重量的一半，那么，把貨物往此處集中所花的運費最少．
【詳解】解法一：我們設依次計算以一、二、……、五號倉庫為集中點所需要的運輸費：
1×（20×100+40×400）=2000+16000=18000（元）
1×（10×100+40×300）=1000+12000=13000（元）
1×（10×200+20×100+40×200）=2000+2000+8000=12000（元）
1×（10×300+20×200+40×100）=3000+4000+4000=11000（元）
1×（10×400+20×300）=4000+6000=10000（元）
因此，把所有貨物集中到五號倉庫所需的運輸費最少，為10000元．
解法二：由于，所以可以用“小往大處靠”原則解題．所以五號倉庫為最佳集中倉庫，此時運費最少，為
1×（10×400+20×300）=4000+6000=10000（元）
【點睛】要注意“小往大處靠”原則成立的前提是“某處貨物的重量大于或等于貨物總重量的一半”，失去這個前提條件，結論便不成立．例如將一、二、五號倉庫的存貨分別變為30噸、10噸、30噸，那么容易算出集中到二號倉庫運輸費最少．
10．如圖，將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數分別填入圖中的10個圓圈內，使任意連續相鄰的5個圓圈內的各數之和均不大于某個整數M。求M的最小值并完成你的填圖。
【答案】最小值為28。
見詳解
【分析】由題意“任意連續相鄰的5個圓圈內的各數之和”可以看出：從第1個圓圈加到第5個圓圈，第2個圓圈加到第6個圓圈……第10個圓圈加到第4個圓圈，其中包括了所有的連續5個圓圈的之和，從中可以看出每個數都是加了5次，而其之和是10倍，所以可以得出：5×（1＋2＋……＋10≤10M，可據此解答。
【詳解】由題意可得：
5×（1＋2＋……＋10≤10M
5×55≤10M
275≤10M
27.5≤M
由于M為整數，所以M＝28。
答：M的最小值為28。
因為是任意之和都不大于28，可將1，2，…，10這10個數均勻分布，將10，7，6，3，2，9，8，5，4，1依次填入圓圈中。填圖如下：
【點睛】本題主要考查整數的綜合運用，解決本題的關鍵是找到每個數都是加了5次，而其之和是10倍，從而得出5×（1＋2＋……＋10≤10M，這是本題的突破口。
11．用1，3，5，7，9這5個數字組成一個三位數ABC和一個兩位數DE，再用O，2，4，6，8這5個數字組成一個三位數FGH和一個兩位數IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的計算結果的最大值．
【答案】60483
【詳解】為了使ABC×DE-FGH×IJ盡可能的大，ABC×DE盡可能的大，FGH×IJ盡可能的小．
則ABC×DE最大時，兩位數和三位數的最高位都最大，所以為7、9，然后為3、5，最后三位數的個位為1，并且還需這兩個數盡可能的接近，所以這兩個數為751，93．
則FGH×IJ最小時，最高位應盡可能的小，并且兩個數的差要盡可能的大，應為468×20．
所以ABC×DE-FGH×IJ的最大值為751×93-468×20=60483．
類似的還可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值為640×82-379×15=46795．
12．有6個棱長分別是3厘米，4厘米，5厘米的相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得一個長方體只有一個面是紅色的，一個長方體恰有兩個面是紅色的，一個長方體恰有三個面是紅色的，一個長方體恰有四個面是紅色的，一個長方體恰有5個面是紅色的，還有一個長方體六個面都是紅色.染色后把所有長方體分割成棱長為1厘米的小立方體，分割完畢后，恰有一面是紅色的小立方體最多有幾個？
【答案】僅一面紅色的長方體最多可形成5×4=20個一面紅色的小正方體；
恰有兩面紅色的長方體最多可形成20×2=40個一面紅色的小正方體；
恰有三面紅色的長方體最多可形成4+16×2=36個一面紅色的小正方體；
恰有四面紅色的長方體最多可形成：12×2+4×2=32個一面紅色的小正方體；
恰有五面紅色的長方體最多可形成：
3+9×2+3×2=27個一面紅色的小正方體；
六面紅色的長方體恰形成：
（6＋2+3） × 2=22個一面紅色的小正方體；
分割后，所得一面紅色的小正方體最多有：
20＋40＋36＋32＋27＋22=177個.
【詳解】略
13．某甲于上午9時15分由碼頭劃船出游，最遲于中午12點返回原碼頭．已知河水的流速為1.4千米/小時，劃船時，船在靜水中速度可達3千米/小時，如果甲每劃30分鐘就要休息15分鐘，并且船在劃行中不改變方向，只能在某次休息之后往回劃，求甲最多能劃離碼頭多遠．
【答案】甲最遠離開碼頭1.7千米
【分析】甲從上午9時15分到中午12時返回碼頭，共劃行2小時45分鐘，即165分鐘．他每劃行30分鐘，休息15分鐘，周期為45分鐘，由165=30×4+15×3，可得甲一共可分為4個30分鐘劃行時間段，中間有3個15分鐘的休息．
分兩種情況討論：
（一）甲先向下游劃，由于只有4個劃行時間段，還要原路返回，故甲最多只能用1個30分鐘的時間段向下游劃，否則他將無法返回．
（二）甲先向上游劃，則他至少可以用2個30分鐘的時間段向上游劃．
【詳解】解：先假設甲向下游劃，則他劃行30分鐘，休息15分鐘共航行的距離為：
（3+1.4）×0.5+1.4×0.25=2.55（千米）
返回時用3個30分鐘，2個15分鐘休息，可得航行的距離為：（3-1.4）×1.5-1.4×0.5=1.7千米
由此可見，甲如果開始向下游劃，那么到12點時將不能回到出發地．
如果甲開始向上游劃，劃了3個30分鐘的時間段，并休息了2個15分鐘后，從第3個休息的15分鐘起就已經隨水流向回去的方向開始漂移．
因此，甲離開碼頭最遠的距離為：（3-1.4）×1.5-1.4×0.5=1.7千米
答：甲最遠只能離開碼頭1.7千米
【點睛】當題目中沒有指明航行的方向時，應分情況討論．另外要注意題目中單位的一致．
14．某校六年級一班準備用100元錢買圣誕樹裝飾品．在花店這樣的裝飾品成束出售，由20朵花組成的花束每束價值4元，由35朵花組成的花束每束價值6元，由50朵花組成的花束每束價值9元，請問每種花束各買多少才能買到最多的花朵？
【答案】應買由35朵花組成的花束16束和由20朵花組成的花束1束，可使花朵數量最多：580朵．
【分析】想用100元錢買到最多的花朵，題目中有三種花束：
A種：由20朵花組成的花束價值4元
B種：由35朵花組成的花束價值6元
C種：由50朵花組成的花束每束價值9元
平均1元錢可買A種花朵5朵或B種花朵5.8朵或C種花朵5.5朵，為了買到最多的花朵，應該多買B種花束
【詳解】解：經分析可知由35朵花組成的B種花束中的花朵最便宜，宜多買．由于每束6元，故100元錢可買16束，還剩4元錢，這4元錢恰好買一束由20朵花組成的A種花束，這時共買花朵：16×35+20=580（朵），若B種花束少買幾束，增加A種或C種花束的數量，都不能使花朵數達到580朵．
因此，應買由35朵花組成的花束16束和由20朵花組成的花束1束，可使花朵數量最多：580朵．
解法二：此題也可設A種、B種、C種花束各買x束、y束、z束時，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然數．可以先縮小字母的取值范圍．例如12元能買3束A種花束或2束B種花束，分別得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最優解中A種花束不應超過2束．同理，比較B種花束和C種花束，發現要使花朵最多，C種花束不應超過1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的幾種情況了，可以一一列舉，同樣可以求得x=1，z=0，y=16
15．要把1米長的優質銅管鋸成長38毫米和長90毫米兩種規格的小銅管，每鋸一次都要損耗1毫米的鋼管，那么只有當鋸得的38毫米的鋼管和90毫米的鋼管各多少段時，所損耗的鋼管才能最少？
【答案】當鋸得38毫米的鋼管7段，90毫米的鋼管8段時，鋼管的損耗最少．
【分析】要使損耗的鋼管最少，應該使鋸的次數最少，而且1米長的鋼管不要有剩余．
【詳解】解：設38毫米、90毫米的鋼管分別鋸了x段、y段，一共需要鋸（x+y-1）次，由題意得：
38x+90y+（x+y-1）=1000，并且要使x+y最小，化簡方程得
y=11-，由于x、y都是正整數，得：
要使鋸的次數最少，應取x=7，y=8
即當鋸得38毫米的鋼管7段，90毫米的鋼管8段時，鋼管的損耗最少．
16．三人打乒乓球，每場兩人，輸者退下換另一人，這樣繼續下去，在甲打了場，乙打了場時，丙最多打幾場？
【答案】場
【分析】可以假設極端情況，甲、乙都只與丙打，這樣丙可以打15場，但是但甲比乙多打3場，所以甲不全是和丙打，還會和乙打。
【詳解】甲、乙都只與丙打，丙可打（場）
但甲比乙多打（場）
不算最后一場輸贏，甲應贏丙（場）
這樣總場數為（場）
丙打了（場）
答：丙最多打11場。
【點睛】本題考查的是體育比賽中的最值問題，對于最值問題，可以考慮極端情況求解問題。
17．在陽光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了30盆，乙澆了75盆，丙澆了80盆，丁澆了90盆，請問恰好被1個人澆過的花最少有多少盆？
【答案】27盆
【解析】甲澆了30盆，乙澆了75盆，丙澆了80盆，丁澆了90盆，總共澆水275次，要使得恰好被1個人澆過的花最少，那么被澆4次的花也需要盡量多，也就是30盆。
【詳解】（次）
100盆花共被澆水275次；
（次）
平均每盆被澆2.75次；
為了讓被澆1次的花最多，我們也需要被澆4次的花盡量多，為30盆；
（次）
那么余下70盆共被澆155次；
平均每盆被澆（次）
說明需要一些花被澆3次才可以．我們假設70盆都被澆3次，那么多出（次）
每盆花少澆2次變為被澆1次，最多可以變為：
（次）
所以本題答案為27盆；
答：恰好被1個人澆過的花最多有27盆。
【點睛】這不是一道單純的包含與排除問題，本題涉及較復雜的“最不利原則”理論，平均數理論，以及雞兔同籠理論。
18．在陽光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了30盆，乙澆了75盆，丙澆了80盆，丁澆了90盆，請問恰好被3個人澆過的花最少有多少盆？
【答案】盆
【分析】為了恰好被3個人澆過的花盆數量最少，那么被四個人澆過的花、兩個人澆過的花和一個人澆過的花數量都要盡量多，那么應該可以知道被四個人澆過的花數量最多是30盆，那么接下來就變成乙澆了45盆，丙澆了50盆，丁澆60盆了，這時共有70盆花，我們要讓這70盆中恰好被3個人澆過的花最少，這就是簡單的容斥原理了。
【詳解】（盆）
（盆）
（盆）
（盆）
（盆）
答：恰好被3個人澆過的花最少有15盆。
【點睛】本題考查的是容斥原理與最值問題，可以畫圖表示各個量之間的關系。
19．將1～13這13個數字分別填入如圖所示的由四個大小相同的圓分割成的13個區域中，然后把每個圓內的7個數相加，最后把四個圓的和相加，問：和最大是多少？
【答案】
【分析】越是中間，被重復計算的越多，最中心的區域被重復計算四次，由內往外，有重復計算三次的，重復計算兩次的，只計算一次的，將數字按從大到小依次填寫于被重復計算多的區格中。
【詳解】13×4＋（12＋11＋10＋9）×3＋（8＋7＋6＋5）×2＋（4＋3＋2＋1）
＝52＋126＋52＋10
＝240
答：和最大是多少是240。
【點睛】本題將容斥問題、最值問題、數陣圖問題相結合，關鍵是區分每一個區域重復計算的次數。
20．60人中有的人會打乒乓球，的人會打羽毛球，的人會打排球，這三項運動都會的人有人，問：這三項運動都不會的最多有多少人？
【答案】人
【分析】先分別求出會打乒乓球、會打羽毛球、會打排球的人數，然后根據容斥原理求解問題。
【詳解】解：設只會打乒乓球和羽毛球兩項的人有人，只會打乒乓球和排球兩項的有人，只會打羽毛球和排球兩項的有人。由于只會三項運動中的一項的不可能小于，所以、、有如下關系：
會打乒乓球的人數：（人）
會打羽毛球的人數：（人）
會打排球的人數：（人）
將三條關系式相加，得到，而60人當中會至少一項運動的人數有
人，所以60人當中三項都不會的人數最多4人（當、、分別取、、時，不等式組成立）。
答：這三項運動都不會的最多有4人。
【點睛】本題考查的是容斥原理與最值問題，可以畫韋恩圖表示各個量的關系，假設極端情況進行分析求解。
21世紀教育網(www.21cnjy.com)【含義】 科學的發展觀認為，國民經濟的發展既要講求效率，又要節約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價取得最大的效益。這類應用題叫做最值問題。
【數量關系】 一般是求最大值或最小值。
【解題思路和方法】 按照題目的要求，求出最大值或最小值。
【壓軸精講一】用1、2、3、4、5、6六個數碼組成兩個三位數，這兩個三位數相乘，最大的乘積是多少？最小的乘積又是多少？
【答案】最大乘積是342002，最小乘積是33210
【詳解】要使乘積最大，不僅百位上的數一定是5和6，十位上的數一定是3和4，個位上的數只能是1和2，而且要使組成的三位數的差盡可能小．由于
631-542=89，632-541=91，因此最大的乘積是631×542=342002．
同理，要使乘積最小，必須百位上為1和2，十位上為3和4，個位數上為5和6，并且這兩個數的差盡可能大，這兩個數為135和246，此時最小乘積為33210．
【壓軸精講二】六位同學數學考試的平均成績是92.5分，他們的成績是互不相同的整數，最高分是99分，最低分是76分，則按分數從高到低居第三位的同學至少得多少分？
【答案】95分
【分析】六位同學的總分為92.5×6=555分，要使第三名同學得分盡可能少，第二名應僅次于第一名的得分99分，因此第二名同學得98分，同時應使第四、第五名同學的得分盡可能與第三名同學的得分接近．
【詳解】解：第三、四、五名同學的總分是：92.5×6-99-98-76=282（分）
由于282÷3=94分，因此要使這三名同學得分接近，應為95、94、93分．所以按分數從高到低排列居第三名的同學至少得95分．
【壓軸精講三】．有一路公共汽車，包括起點站和終點站共有10個停車站．如果這輛公共汽車從起點站開出，除終點站外，每一站上車的乘客中，恰好各有一位乘客從這一站坐到以后的每一站．為了使乘客都有座位，那么這輛公共汽車上至少要有多少個座？
【答案】25個
【分析】根據題意，在起點有9個乘客上了車，第二站又上來8個乘客，下去一個乘客，我們列表寫出具體情況：
因此，這輛車至少應有的座位數應該按上車人數最少的情況來考慮，也就是說
按表所列上車人數的情況下，應保證每位乘客均有座位．
從表上看出，前五站上車人多下車人少，后五站上車人少下車人多，因此車上乘客最多時是在第五站乘客上下車后的人數．
【詳解】車上的乘客在第五站時最多，此時汽車上的乘客人數為：（9+8+7+6+5）-（1+2+3+4）=35-10=25（個）
因此，車上至少要有25個座位，才能保證每個乘客都有座位．
【點睛】此題用枚舉法也是不錯的方法，只要將在每個站時車上的人數列出來，同樣可以求出人數的最大值。
1．一套課桌椅 210元，椅子價格是課桌的，課桌和椅子的單價各是多少元？
2．某商場運進200臺冰箱，第一天賣出總數的 ，第二天賣出總數的 ，兩天一共賣出冰箱多少臺？
3．一列動車的速度為320千米∕時，比一架客機的速度慢 。這架客機每小時可以飛行多少千米
4．同學們參觀天文館，六年級去了154人，五年級去的人數是六年級的 ，四年級去的人數是五年級的 ．四年級去了多少人？
5．學校圖書室去年有圖書2400冊，今年圖書冊數比去年增加了 ，今年有圖書多少冊？
6．一輛汽車從甲地開往乙地，計劃10 小時到達，實際 8 小時到達。實際速度比計劃速度提高了百分之多少？
7． 兩家售貨亭都以每件120元的價格出售某種商品。一周后，甲售貨亭先把售價降低了15%，再過一周又提高了 30%；乙售貨亭在兩周后提價15%。兩周后，甲、乙兩家售貨亭哪一家售價高？
8． 東北虎是我國一級保護動物。據估計，野生東北虎大約有 360 只，動物園里的東北虎大約比野生東北虎多35%。動物園里的東北虎大約有多少只？
9．某校調查了六年級的 300 名學生，為了健康，能每天堅持陽光體育運動1小時的學生有240 人。根據上級要求，每天堅持陽光體育運動1小時的人數要達到95%，現在應增加多少人？
10． 一個垃圾處理廠平均每天收到生活垃圾40噸，其中可回收利用垃圾占 40%，這個垃圾處理廠平均每天收到可回收利用垃圾多少噸？
11．四川省的主要油料作物和重要經濟作物是油菜。如果 500 千克油菜籽可榨油 190~200千克，那么油菜的最低出油率是多少？最高出油率呢？
12．甲、乙兩箱蘋果共重 t，甲箱取出 ，乙箱取出 ，共取出蘋果多少噸
13．如圖是兩個大小不同互相咬合的齒輪，大齒輪的半徑是15 cm，小齒輪的半徑是5cm。大齒輪轉動一周，小齒輪要轉動多少周
14． 有甲、乙兩桶油，甲桶油的質量是乙桶油的 乙桶油比甲桶油多5kg，乙桶油的質量是多少千克
15．為響應“節能減排，低碳生活”，小方騎自行車上學。小方家到學校的距離約有 2km，小方騎的自行車輪胎的外直徑約70 cm，如果輪胎每分鐘轉 100 圈，他從家到學校大約需幾分鐘 (得數保留整數)
1．用0、1、2這三個數，分別能組成多少個不同的三位數？其中最小的三位數和最大的三位數分別是多少？
2．一條小蟲沿長6分米，寬4分米，高5分米的長方體的棱爬行．如果它只能進不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么它最多能爬多少分米
3．一個自然數與3的和是5的倍數，與3的差是6的倍數，在這樣的自然數中，最小的一個是多少？
4．有64個邊長為1厘米的同樣大小的小正方體，其中34個為白色的，30個為黑色的．現將它們拼成一個的大正方體，在大正方體的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？
5．一根長72厘米的鐵絲圍成一個長方體，問圍成一個什么形體時，體積最大？最大體積是多少立方厘米？
6．在1，2，3，4，5，6六個數字中選出盡可能多的不同數字組成一個數（有些數字可以重復出現），使得能被組成它的每一個數字整除，并且組成的數要盡可能小.
7．將若干只雞放入若干個籠中，若每個籠中放4只，則有一雞無籠可放；若每個籠里放5只，則有一籠無雞可放，求最少有幾個籠？
8．將135個人分成若干小組，要求任意兩個組的人數都不同，最多可以分成多少組？這時，人數最少的那組有多少人？
9．在一條筆直的公路上，每隔100公里有一個倉庫，共有五個．一號倉庫有10噸存貨，二號倉庫存有20噸貨物，五號倉庫有40噸存貨，三號和四號倉庫是空的．現在要把所有的貨物集中存放在一個倉庫里．如果每噸貨物運輸1公里要1元運輸費，那么最少多少運輸費？
10．如圖，將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數分別填入圖中的10個圓圈內，使任意連續相鄰的5個圓圈內的各數之和均不大于某個整數M。求M的最小值并完成你的填圖。
11．用1，3，5，7，9這5個數字組成一個三位數ABC和一個兩位數DE，再用O，2，4，6，8這5個數字組成一個三位數FGH和一個兩位數IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的計算結果的最大值．
12．有6個棱長分別是3厘米，4厘米，5厘米的相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得一個長方體只有一個面是紅色的，一個長方體恰有兩個面是紅色的，一個長方體恰有三個面是紅色的，一個長方體恰有四個面是紅色的，一個長方體恰有5個面是紅色的，還有一個長方體六個面都是紅色.染色后把所有長方體分割成棱長為1厘米的小立方體，分割完畢后，恰有一面是紅色的小立方體最多有幾個？
13．某甲于上午9時15分由碼頭劃船出游，最遲于中午12點返回原碼頭．已知河水的流速為1.4千米/小時，劃船時，船在靜水中速度可達3千米/小時，如果甲每劃30分鐘就要休息15分鐘，并且船在劃行中不改變方向，只能在某次休息之后往回劃，求甲最多能劃離碼頭多遠．
14．某校六年級一班準備用100元錢買圣誕樹裝飾品．在花店這樣的裝飾品成束出售，由20朵花組成的花束每束價值4元，由35朵花組成的花束每束價值6元，由50朵花組成的花束每束價值9元，請問每種花束各買多少才能買到最多的花朵？
15．要把1米長的優質銅管鋸成長38毫米和長90毫米兩種規格的小銅管，每鋸一次都要損耗1毫米的鋼管，那么只有當鋸得的38毫米的鋼管和90毫米的鋼管各多少段時，所損耗的鋼管才能最少？
16．三人打乒乓球，每場兩人，輸者退下換另一人，這樣繼續下去，在甲打了場，乙打了場時，丙最多打幾場？
17．在陽光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了30盆，乙澆了75盆，丙澆了80盆，丁澆了90盆，請問恰好被1個人澆過的花最少有多少盆？
18．在陽光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水，已知甲澆了30盆，乙澆了75盆，丙澆了80盆，丁澆了90盆，請問恰好被3個人澆過的花最少有多少盆？
19．將1～13這13個數字分別填入如圖所示的由四個大小相同的圓分割成的13個區域中，然后把每個圓內的7個數相加，最后把四個圓的和相加，問：和最大是多少？
20．60人中有的人會打乒乓球，的人會打羽毛球，的人會打排球，這三項運動都會的人有人，問：這三項運動都不會的最多有多少人？
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