資源簡介

【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。
【數(shù)量關系】 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。
工作量＝工作效率×工作時間
工作時間＝工作量÷工作效率
工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式。
【壓軸精講一】某家具廠要在開學前趕制780套桌凳，已經(jīng)生產(chǎn)了12天，每天生產(chǎn)50套。其余的要求3天完成，平均每天生產(chǎn)桌凳多少套？
【答案】60套
【分析】根據(jù)“每天生產(chǎn)數(shù)量×生產(chǎn)天數(shù)＝生產(chǎn)總數(shù)量”，求出已經(jīng)生產(chǎn)的數(shù)量，桌凳總數(shù)量減去先算出12天后還剩多少套，再除以3即可。
【詳解】（780－12×50）÷3
＝（780－600）÷3
＝180÷3
＝60（套）
答：平均每天生產(chǎn)桌凳60套。
【壓軸精講二】一項工程甲乙兩隊合做10天完成。乙丙兩隊合作8天完成。現(xiàn)在甲乙丙三隊合做1天后，余下的工程乙還要16.5天完成，乙單獨做這項工程要幾天完成？
【答案】20天
【分析】把這項工程看作單位“1”，甲乙兩隊合做10天完成，根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時間，用1÷10＝，求出甲乙的工作效率和；用1÷8＝，求出乙丙的工作效率和；設乙單獨做這項工程要x天完成；用1÷x＝，求出乙的工作效率；再用甲乙工作效率和－乙的工作效率，求出甲的工作效率，即（－）；用乙丙兩隊的工作效率和－乙的工作效率，求出丙的工作效率，即（－）再把甲的工作效率＋乙的工作效率＋丙的工作效率，求出甲乙丙的工作效率和，即（－＋＋－），再用甲乙丙的工作效率和×1，求出甲乙丙三隊1天的工作量；即（－＋＋－）×1；根據(jù)工作總量＝工作效率×工作時間；用余下的工程乙需要的天數(shù)×乙的工作效率，求出剩下的工作量，即（16.5×）；再加上甲乙丙三隊1天的工作量＝工作總量，
列方程：（－＋＋－）×1＋16.5×＝1，解方程，即可解答。
【詳解】解：設乙單獨做這項工程要x天完成。
（－＋＋－）×1＋16.5×＝1
（＋－）＋＝1
－＋＝1
＋＝1
＝1－
＝
31x＝15.5×40
31x＝620
x＝620÷31
x＝20
答：乙單獨做這項工程要20天完成。
【點睛】明確工作總量、工作效率、工作時間三者的關系，是解答本題的關鍵。
【壓軸精講三】A、B兩市相距176千米，兩市之間一處因山體滑坡導致連接這兩市的公路受阻，甲、乙兩個工程隊接到指令，要求于早上7點，分別從A、B兩地同時出發(fā)趕往滑坡地點疏通公路。甲隊于9點趕到并立即開工半小時后，乙隊也趕到，并立即投入搶修工作，此時甲隊已完成了全部任務的
（1）如果滑坡受損公路長1千米，甲隊行進的速度是乙隊的倍多5千米，求甲、乙兩隊的行進的速度各是多少？
（2）如果下午3點兩隊就完成公路疏通任務，勝利會師，那么若由乙隊單獨疏通這段公路時，需要多少時間才能完成任務？
【答案】（1）甲隊：50千米/小時，乙隊：30千米/小時
（2）11小時
【分析】（1）設乙隊的行進速度是x千米/小時，則甲隊的行進速度是（x＋5）千米/小時。從早上7點到9點，經(jīng)歷了2小時，甲開工半小時后乙才到，說明乙走了2.5小時，由于受損公路長1千米，用甲、乙走的路程和＝兩市相距的距離再減去受損公路長，據(jù)此即可列出方程，再求解即可。
（2）由于從上午9點到下午3點總共經(jīng)歷了6小時，最開始甲隊工作0.5小時，完成了總量的，根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時間，用÷0.5求出甲的效率。設乙的效率為y，由于甲隊工作了6小時，乙隊工作的時間是：6－0.5＝5.5（小時），根據(jù)工作效率×工作時間＝工作總量，甲隊工作量＋乙隊工作量＝1，據(jù)此列方程即可求出乙隊的效率，再用1除以乙隊的效率即可求出時間。
【詳解】（1）解：設乙隊的行進速度是x千米/小時，則甲隊的行進速度是（x＋5）千米/小時。
9：00－7：00＝2（小時）
2小時＋0.5小時＝2.5小時
2×（x＋5）＋2.5x＝176－1
2×x＋2×5＋2.5x＝175
3x＋10＋2.5x＝175
5.5x＝175－10
5.5x＝165
x＝165÷5.5
x＝30
30×＋5
＝45＋5
＝50（千米/小時）
答：甲隊的行進速度是50千米/小時，乙隊的行進速度是30千米/小時。
（1）÷0.5＝÷＝×2＝
解：設乙的工作效率為y。
×6＋（6－0.5）y＝1
0.5＋5.5y＝1
5.5y＝1－0.5
5.5y＝0.5
y＝0.5÷5.5
y＝
1÷＝11（小時）
答：乙隊單獨疏通這條公路的效率是11小時。
【點睛】本題主要考查工程問題，關鍵是掌握工程問題的公式以及找準等量關系是解題的關鍵。
1．修一條30千米的公路，甲隊獨修15天完成，乙隊獨修10天完成，兩隊合修幾天修完？
【答案】6天
【分析】將公路全長看作單位“1”，時間分之一可以看作效率，公路全長÷兩隊效率和＝合修天數(shù)，據(jù)此列式解答。
【詳解】1÷（＋）
＝1÷
＝1×6
＝6（天）
答：兩隊合修6天修完。
2．甲、乙兩個工程隊合修一條水渠，甲工程隊先修了5400米后，乙工程隊修了剩下的，還剩1800米。這條水渠長多少米？
【答案】8400米
【分析】把甲工程隊先修后剩下的長度看作單位“1”，甲工程隊先修了5400米后，乙工程隊修了剩下的，還剩1800米，那么可知1800米占甲工程隊先修后剩下的長度的（1－），用除法計算即可求出甲工程隊先修后剩下的長度，然后再加上甲工程隊先修的5400米，即可求出這條水渠長多少米。
【詳解】
＝5400＋1800÷
＝5400＋1800×
＝5400＋3000
＝8400（米）
答：這條水渠長8400米。
3．一項工程，甲單獨做需要20天完成，乙單獨做需要12天完成。這項工程先由乙做了4天，剩下的兩隊合作，還需要幾天完成？
【答案】5天
【分析】將工作總量看作單位“1”，時間分之一可以看作工作效率，1－乙的工作效率×工作天數(shù)＝剩余工作量，剩余工作量÷兩隊效率和＝還需要的天數(shù)，據(jù)此列式解答。
【詳解】（1－×4）÷（＋）
＝（1－）÷
＝÷
＝×
＝5（天）
答：還需要5天完成。
4．兩個工程隊修一條路，甲隊單獨修10天完成，乙隊單獨修15天完成。如果甲乙兩隊合修這條路，多少天可以修完全程的50%？
【答案】3天
【分析】把這條路的總長度看作單位“1”，根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時間，求出甲隊和乙隊每天修路的效率；甲乙兩隊合修，所以工作效率是它們各自的效率之和，再根據(jù)工作時間＝工作總量÷工作效率，求出多少天可以修完全程的50%，據(jù)此解答。
【詳解】1÷10＝
1÷15＝
=3（天）
答：3天可以修完全程的50%。
5．某工廠接到了一個加工800個零件的訂單，準備由兩個班加工完成。甲班單獨做，8天可以完成；乙班單獨做，10天可以完成。現(xiàn)在每天由兩班同時加工，5天可以完成嗎？
【答案】可以
【分析】根據(jù)工作量÷工作時間＝工作效率，分別求出甲班、乙班單獨做各自的工作效率，再根據(jù)工作效率和×工作時間＝合作完成的工作量，據(jù)此求出兩個班合作5天完成的工作量，再和800比較即可。
【詳解】800÷8＝100（個）
800÷10＝80（個）
（100＋80）×5
＝180×5
＝900（個）
900＞800
答：5天可以完成。
6．大熊貓和花（又名花花）因其溫順親人，吃東西慢，憨態(tài)可掬而走紅網(wǎng)絡。某工廠接到生產(chǎn)大熊貓花花布偶的任務，原計劃每天生產(chǎn)120箱，8天完成任務。實際每天生產(chǎn)160箱，多少天能完成任務？（用比例知識解答）
【答案】6天
【分析】根據(jù)工作總量＝工作效率×工作時間，工作總量是一定的，工作效率和工作時間成反比例，即每天生產(chǎn)的箱數(shù)與生產(chǎn)的天數(shù)成反比例。設實際用x天能完成任務，可列出比例：160x＝120×8，解出比例，即可解答。
【詳解】解：設實際用x天能完成任務。
160x＝120×8
160 x＝960
x＝960÷160
x＝6
答：實際用6天能完成任務。
7．在比例尺為1∶8000的地圖上，量得潢川縣彩虹橋長為5厘米，一個修橋隊50天修0.04千米，照這樣計算，彩虹橋?qū)嶋H竣工還需要多少天？（用比例方法解決）
【答案】450天
【分析】實際距離＝圖上距離÷比例尺，據(jù)此求出彩虹橋的實際距離，再根據(jù)工作效率一定，工作總量和工作時間成正比例關系，根據(jù)剩下未修長度∶實際竣工還需時間＝已修的0.04千米∶修的時間50天，列出比例方程，求出彩虹橋?qū)嶋H竣工還需要多少天即可。
【詳解】解：設彩虹橋?qū)嶋H竣工還需要x天。
＝5×8000＝40000cm＝0.4km
＝450
答：彩虹橋?qū)嶋H竣工還需要450天。
8．甲乙兩個工程隊共同修建一條隧道，已知兩隊合作6個月能完成，如果甲隊單獨完成需要15個月，那么乙隊單獨修建成這條隧道需要多少個月？
【答案】10個
【分析】把這條隧道的總工作量看作單位“1”，由兩隊合作正好6天完成，可以求出兩隊的工作效率和為，甲的工作效率為，由此求得乙的工作效率，再進一步利用工作總量÷工作效率＝工作時間解決問題。
【詳解】1÷（）
＝1÷（）
＝1÷
＝1×10
＝10（個）
答：乙隊單獨修建成這條隧道需要10個月。
9．學校進行綠化養(yǎng)護，張師傅單獨工作需要20小時，李師傅單獨工作需要30小時，如果兩個人一起合作，需要多少小時能完成學校綠化養(yǎng)護？
【答案】12小時
【分析】將綠化養(yǎng)護工作總量看作單位“1”，根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時間，代入數(shù)據(jù)，分別求出兩人的工作效率，張師傅工作效率＝1÷20，李師傅工作效率＝1÷30。再根據(jù)兩人合作時間＝工作總量÷工作效率和，代入數(shù)據(jù)即可求出合作完成綠化養(yǎng)護的時間。
【詳解】1÷20＝
1÷30＝
1÷（＋）
＝1÷（）
＝1÷
＝1×12
＝12（小時）
答：需要12小時能完成學校綠化養(yǎng)護。
10．工人師傅加工一批零件，加工3天后，還剩121個。如果按這樣的速度，一共加工4天后，還剩這批零件的。這批零件一共有多少個？
【答案】220個
【分析】把這批零件的總數(shù)看作單位“1”，用單位“1”減去剩下的零件分率，求出4天加工了這批零件的分率，用4天加工了這批零件的分率除以4，求出每天加工了這批零件的分率，用每天加工了這批零件的分率乘3，求出3天加工了這批零件的分率，再用單位“1”減去3天加工了這批零件的分率，求出加工3天后還剩這批零件的幾分之幾，最后用121除以加工了3天后還剩這批零件的幾分之幾，即可求出這批零件一共有多少個。
【詳解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝220（個）
答：這批零件一共有220個。
11．師徒兩人合作加工455個零件，經(jīng)過3.5小時完成。師傅平均每小時加工75個，徒弟平均每小時加工多少個？（列方程解決問題）
【答案】55個
【分析】可以設徒弟平均每小時加工x個，根據(jù)工作效率×時間＝工作總量可知，用師傅平均每小時加工加上徒弟平均每小時加工，求出他們的工作效率，即他們的工作效率×他們工作的時間＝工作總量，據(jù)此代入數(shù)據(jù)，列出方程解答即可。
【詳解】解：設徒弟平均每小時加工x個。
（x＋75）×3.5＝455
（x＋75）×3.5÷3.5＝455÷3.5
x＋75＝130
x＋75－75＝130－75
x＝55
答：徒弟平均每小時加工55個。
12．工程隊修建高速公路需要打隧道。隧道全長5.5千米。甲工程隊每個月可以推進120米，乙工程隊每個月可以推進130米。如果兩個工程隊從兩頭同時開工。這條隧道幾個月可以完成？
【答案】22個月
【分析】5.5千米＝5500米；設這條隧道x月可以完成；甲工程隊每個月可以推進120米，x月可以推進120x米；乙工程隊每個月可以推進130米，x月可以推進130x米；甲工程隊推進的長度＋乙工程隊推進的長度＝隧道的長度，列方程；120x＋130x＝5500，解方程，即可解答。
【詳解】5.5千米＝5500米
解：設這條隧道x月可以完成。
120x＋130x＝5500
250x＝5500
250x÷250＝5500÷250
x＝22
答：這條隧道22個月可以完成。
13．為了確保贛南大道快速路主線高架2025年春節(jié)前正式通車，工程隊日夜奮戰(zhàn)。這項工程若由甲隊單獨干需要8天完成，由乙隊單獨干需要12天完成。現(xiàn)在甲、乙兩隊合干4天后，剩下的工程由乙隊單獨干，還需要多少天？
【答案】2天
【分析】把工程總量看作單位“1”；已知若由甲隊單獨干需要8天完成，由乙隊單獨干需要12天完成，則甲乙共同工作的工作效率是（），工作時間是4天，用他們的效率和乘一起合作的時間，求出合作4天的工作總量，用單位“1”減去甲乙合作的工作量，求出剩下的工作量，乙單獨工作時效率是，用剩下的工作量除以乙單獨工作時的效率，就是還需要的工作時間。
【詳解】
（天）
答：還需要2天。
【點睛】需要先明確工作時間、工作總量、工作效率三者間的關系，再充分理解題意，運用相關公式解答。
14．甲、乙兩人加工一批零件，如果由甲單獨做，需要18小時完成。現(xiàn)由甲、乙兩人合做，已知乙每小時加工24個，完成任務時，甲加工了這批零件的，這批零件共有多少個？
【答案】540個
【分析】把這批零件總量看作單位“1”，單位“1”除以甲單獨做完成需要的時間，求出甲的速度，甲乙合作完成任務時，用甲的工作量除以甲的速度，求出甲完成這批零件的的加工的時間，乙每小時加工的個數(shù)乘甲完成這批零件的的加工的時間，求出乙一共加工的個數(shù)；又知甲加工了這批零件的，則乙加工了這批零件的（1－），乙—共加工的個數(shù)除以乙加工個數(shù)占總數(shù)的分率，即可求出這批零件共有的個數(shù)。
【詳解】1÷18＝
÷
＝×18
＝10（小時）
24×10＝240（個）
240÷（1－）
＝240÷
＝240×
＝540（個）
答：這批零件共有540個。
【點睛】解題的關鍵是先求出乙做的個數(shù)，再根據(jù)分數(shù)除法的意義進行解答即可。
15．六年級同學開展太空黃瓜種植活動，他們先在學校的“科技種植園”中選擇了一塊周長是32米，長與寬的比是5∶3的長方形地。種植前，先要平整土地。如果讓小華單獨做需要5時，讓劉老師單獨做需要3時。平整好土地后他們就開始種植太空黃瓜了。
（1）這塊長方形土地的面積是多少平方米？
（2）如果小華和劉老師合作，幾時能平整完這塊土地？
【答案】（1）60平方米
（2）時
【分析】（1）長方形地的周長是32米，則長與寬之和是米；長與寬的比是5∶3，則長是長與寬之和的，寬是長與寬之和的，據(jù)此求出長和寬，再求出長方形地的面積即可。
（2）把這塊土地面積看作單位“1”，小華單獨做需要5時，則小華每時完成這塊土地的，讓劉老師單獨做需要3時，則劉老師每時完成這塊土地的，兩人合作，每時完成這塊土地的，用1除以，求出他們合作完成需要的時間即可。
【詳解】（1）長寬之和：（米）
長：（米）
寬：（米）
面積：（平方米）
答：這塊長方形土地的面積是60平方米。
（2）時間：
（時）
答：小華和劉老師合作，時能平整完這塊土地。
1．甲、乙兩隊共同修一條長3000米的公路，甲隊每天修85米，乙隊每天修65米，修完這條公路需要多少天？
【答案】20天
【分析】根據(jù)“工作時間＝工作總量÷工作效率”，即可求得。
【詳解】3000÷（85＋65）
＝3000÷150
＝20（天）
答：修完這條公路需要20天。
【點睛】掌握工作效率、工作時間、工作總量三者之間的關系是解題的關鍵。
2．某村有一片麥田，甲收割機收完這片麥田需要3小時，乙收割機收完這片麥田需要4小時，如果這兩輛收割機同時收割這片麥田，多少小時能收割完？
【答案】小時
【分析】把麥田看作單位“1”，根據(jù)“甲收割機收完這片麥田需要3小時，乙收割機收完這片麥田需要4小時”可知，甲收割機的工作效率是，乙收割機的工作效率是，求工作時間，可根據(jù)公式：工作時間＝工作總量÷工作效率之和，代入數(shù)值解答。
【詳解】1÷（＋）
＝1÷
＝（小時）
答：小時能收割完。
【點睛】此題主要考查工作總量、工作效率、工作時間三者的關系式：工作總量＝工作效率×工作時間，工作時間＝工作總量÷（甲收割機的工作效率＋乙收割機的工作效率），靈活變形列式解決問題。
3．施工隊要挖一條總長50米的溝，已經(jīng)挖了18米，剩下的要用4天挖完。平均每天挖多少米？
【答案】8米
【分析】總長度減去已經(jīng)挖的長度即為剩下沒挖的長度，再除以4即為平均每天挖的長度。
【詳解】（50－18）÷4
＝32÷4
＝8（米）
答：平均每天挖8米。
【點睛】先算出還剩下多少米沒挖，再算剩下的每天挖多少米。
4．張師傅原計劃用6小時加工零件630個。實際每小時比原計劃多加工零件21個，實際加工完成這批零件共用多少小時？
【答案】5小時
【分析】假設實際加工完成這批零件共用x小時，先用零件的總數(shù)除以加工的時間，求出原計劃的加工效率，再加上21個，即是實際每小時加工的零件數(shù)，再乘實際加工完成這批零件的時間x，等于零件的總數(shù)630個，據(jù)此列出方程，解方程即可得解。
【詳解】解：設實際加工完成這批零件共用x小時，
（630÷6＋21）×x＝630
（105＋21）×x＝630
126x＝630
x＝630÷126
x＝5
答：實際加工完成這批零件共用5小時。
【點睛】此題的解題關鍵是弄清題意，把實際加工完成這批零件的時間設為未知數(shù)x，找出題中數(shù)量間的相等關系，列出包含x的等式，解方程得到最終的結(jié)果。
5．電腦生產(chǎn)廠家有兩條平板電腦生產(chǎn)線，第一條每天裝配180臺平板電腦，第二條每天裝配220臺平板電腦。兩條生產(chǎn)線連續(xù)工作30天，一共裝配多少臺平板電腦？
【答案】12000臺
【分析】根據(jù)工作總量＝工作效率和×工作時間，代入相應數(shù)值即可計算一共裝配多少臺平板電腦。
【詳解】（180＋220）×30
＝400×30
＝12000（臺）
答：一共裝配12000臺平板電腦。
【點睛】本題解題的關鍵是找出數(shù)量關系：工作總量＝工作效率和×工作時間，列式計算。
6．兩個工程隊共同開鑿一條長675米的隧道，兩隊分別從兩端同時相向施工，25天打通。甲隊每天開鑿12米，乙隊每天開鑿多少米？
【答案】15米
【分析】假設乙隊每天開鑿x米，根據(jù)題目中的數(shù)量關系：甲隊每天開鑿的長度×時間＋乙隊每天開鑿的長度×時間＝這條隧道的總長度，代入未知數(shù)和已知數(shù)據(jù)，列出方程，即可求解。
【詳解】解：設乙隊每天開鑿x米。
12×25＋x×25＝675
300＋25x＝675
25x＝675－300
25x＝375
x＝375÷25
x＝15
答：乙隊每天開鑿15米。
【點睛】此題的解題關鍵是弄清題意，把乙隊每天開鑿的長度設為未知數(shù)x，找出題中數(shù)量間的相等關系，列出包含x的等式，解方程得到最終的結(jié)果。
7．媽媽給一批上衣縫紐扣，如果每天縫15件，就比規(guī)定的工期晚2天完成；如果每天縫18件，就可比規(guī)定的工期提前3天完成。這批上衣共多少件？
【答案】450件
【分析】這批上衣的數(shù)量是固定的，把這批上衣的數(shù)量看作單位“1”，如果每天縫15件，需要的時間是；每天縫18件，需要的時間是，則每天縫15件和18件所需時間的差是（），而實際的時間差為（2＋3＝5）天；用實際差的天數(shù)除以（），所得結(jié)果即為這批上衣的件數(shù)。
【詳解】
（件）
答：這批上衣共450件。
8．一項工程甲單獨做15天完成，乙單獨做12天完成，現(xiàn)他們合做若干天后，剩下的由乙單獨做3天才能完成，甲、乙合做了多少天？
【答案】5天
【分析】將這項工程的工作量當作單位“1”，則甲、乙的工作效率分別、，則乙單獨做3天能完成總工作量×3＝，其余的1－由他們合做完成，則根據(jù)工作量÷工作效率＝工作時間可知，甲、乙合做的天數(shù)為（1－）÷（）。
【詳解】（1－×3）÷（）
＝（1－×3）÷（）
＝（1－×3）÷
＝（1－）÷
＝÷
＝×
＝
＝5（天）
答：甲、乙合做了5天。
9．建筑一條水泥路，甲隊獨做要12天，乙隊獨做要15天，乙隊先獨做工程的，剩下的再由甲、乙兩隊合做，剩下的還要多少天修完？
【答案】6天
【分析】將這項工程看作單位“1”，由題意可知，甲隊獨做每天完成工程的，乙隊獨做每天完成工程的；用（1－）除以（＋），即可求出剩下的還要多少天修完。
【詳解】1÷12＝
1÷15＝
（1－）÷（＋）
＝÷
＝×
＝6（天）
答：剩下的還要6天修完。
【點睛】解答本題需熟練掌握工作量、工作效率和工作時間之間的關系，工作時間＝工作總量÷工作效率。
10．一條鐵路長720米，甲乙兩個工程隊同時從兩端開始維修，乙隊每天維修的長度是甲隊的，4天后修完。甲乙兩隊每天各修了多少米？
【答案】甲隊每天修100米；乙隊每天修80米。
【分析】甲乙兩隊4天修完720米，每天修（720÷4）米；將甲隊每天修的米數(shù)看作單位“1”，則乙隊每天修，用（720÷4）除以（1＋）就是甲隊每天修的米數(shù)，再乘求出乙隊每天修的米數(shù)。
【詳解】（720÷4）÷（1＋）
＝180÷
＝180×
＝100（米）
100×＝80（米）
答：甲隊每天修100米，乙隊每天修80米。
【點睛】本題考查了利用分數(shù)除法解決問題，需準確分析題意，正確列式解答。
11．一項工程，甲單獨做要10天完成，甲、乙的工作效率比是3∶2。甲做了5天后，乙加入進來做，兩人同時做幾天就可以完成這項工程？
【答案】3天
【分析】把這項工程看作單位“1”，甲的工作效率是1÷10即為，甲、乙的工作效率比是3∶2可知乙的效率是×，根據(jù)工作時間＝工作總量÷工作效率進行解答即可。
【詳解】乙的效率：×＝
（1－×5）÷（＋）
＝÷
＝3（天）
答：兩人同時做3天就可以完成這項工程。
【點睛】本題考查分數(shù)乘除法的計算及應用。理解題意，找出數(shù)量關系，列式計算即可。
12．朝陽農(nóng)場收獲一批蔬菜，如果用小汽車運輸，12次才能運完；如果用大卡車運輸，需要運6次；如果兩輛車一起運，多少次才能運完？
【答案】4次
【分析】把這批蔬菜看作單位“1”，根據(jù)工作總量÷工作時間＝工作效率，據(jù)此分別求出小汽車的工作效率為，大卡車的工作效率為，再根據(jù)工作總量÷工作效率之和＝工作時間，據(jù)此進行計算即可。
【詳解】1÷（＋）
＝1÷
＝4（次）
答：如果兩輛車一起運，4次才能運完。
【點睛】本題考查工程問題，明確工作總量、工作時間和工作效率之間的關系是解題的關鍵。
13．修一條公路，甲隊要12天完成；乙隊要15天可以完成。現(xiàn)在讓甲、乙兩隊合修，應修幾天？
【答案】天
【分析】把這條公路的全長看成單位“1”，甲隊每天修它的，乙隊每天修它的，用1除以它們的工作效率和，即可求解。
【詳解】1÷（）
＝1
（天）
答：應修天。
【點睛】此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關系，解答時往往把工作總量看作“1”，再利用它們的數(shù)量關系解答。
14．加工一批零件，甲、乙兩人合作需要8天完成，如果由乙獨做需12天完成。兩人開始合作一段時間后，乙離開另有任務，余下的工作由甲來完成，又用了3天，兩人合作幾天？
【答案】7天
【分析】把零件總量看作單位“1”，根據(jù)工作效率和＝工作總量÷工作時間，用1÷8即可求出甲乙兩人的工作效率和，用1÷12即可求出乙的工作效率，再用甲乙兩人的工作效率和減去乙的工作效率，即可求出甲的工作效率，根據(jù)工作效率×工作時間＝工作總量，用甲的工作效率乘3天，即可求出甲3天的工作量，然后用1減去甲3天的工作量，即可求出兩人合作的工作量，再用兩人合作的工作量÷兩人的工作效率和，即可求出兩人合作的時間。
【詳解】1÷8＝
1÷12＝
－＝
×3＝
1－＝
÷
＝×8
＝7（天）
答：兩人合作7天。
15．某工程需修一段隧道，甲工程隊單獨完成全部工程需12天，甲、乙兩隊合作完成需要8天，如果乙工程隊先工作16天，剩下的工程全部由甲隊完成，甲工程隊還需要多少天？
【答案】4天
【分析】根據(jù)題意，甲工程隊單獨完成全部工程需12天，則甲的工作效率為；又甲、乙兩隊合作完成需要8天，即甲、乙合作的工作效率為，據(jù)此用計算出乙的工作效率；再根據(jù)工作時間、工作效率和工作總量的關系，計算出乙工程隊工作16天完成的工作總量及剩下的工程總量，用工作時間工作總量工作效率，代入計算，即可得出甲工程隊還需要的天數(shù)。
【詳解】
（天）
答：甲工程隊還需要4天。
【點睛】考查工程問題，明確工作時間工作總量工作效率、工作效率工作總量工作時間，工作總量工作時間×工作效率是解題關鍵。
16．一項工程甲、乙兩隊合作10天完成，乙、丙兩隊合作8天完成。現(xiàn)在甲、乙、丙三隊合作4天后，余下的工程乙還要5.5天完成，乙單獨做這項工程要幾天完成？
【答案】15天
【分析】根據(jù)題意有3個關系式，①甲效率＋乙效率＝，②乙效率＋丙效率＝，③甲效率×4＋乙效率×4＋丙效率×4＋乙效率×5.5＝1，通過觀察，“甲效率×4＋乙效率×4”就是乘4，“乙效率×5.5＝乙效率×4＋乙效率×1.5”，所以“丙效率×4＋乙效率×5.5”就是乘4再加上“乙效率×1.5”。據(jù)此很容易求出乙效率是多少。再用1除以乙效率就是乙單獨做這項工程要幾天完成。
【詳解】
（天）
答：乙單獨做這項工程要15天完成。
【點睛】本題考查分數(shù)除法解答工程問題，把工作總量看作單位“1”，靈活運用“工作效率＝工作總量÷工作時間”是解題關鍵。
17．甲、乙、丙三人合修一段圍墻，甲、乙合修6天修好圍墻的，乙、丙合修2天修好余下的剩下的，三人又合修了5天才完成，共得報酬180元。按各人所完成的工作量的多少來合理分配，每人應得多少元？
【答案】甲33元，乙91元，丙56元。
【分析】要求每人分得的錢數(shù)，因為按各人所完成的工作量的多少來合理分配工資，所以必須知道每人完成的工作量。要求每人完成的工作量，就要知道每個人的工作效率。根據(jù)題意分別求出甲、乙、丙得工作效率即可得解。
【詳解】甲、乙、丙工作效率之和：
乙、丙的工作效率之和：
甲、乙的工作效率之和：
甲的工作效率：
丙的工作效率：
甲：（元）
丙：（元）
乙：（元）
答：甲應得33元，乙應得91元，丙應得56元。
【點睛】本題屬于工程問題，解答此類問題得關鍵是要知道工作量、工作時間、工作效率之間得關系：工作效率＝工作量÷工作時間。
18．甲、乙、丙三人承包一項任務，發(fā)給他們的工資是180元，三人完成這項任務的情況是：甲、乙兩人合作6天完成了這項任務的；因甲有事，乙、丙合作2天完成了余下任務的；以后3人合作5天完成了這項任務。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各應得多少元？
【答案】甲應得33元，乙應得91元，丙得56元
【分析】甲、乙兩人合作6天完成這項任務的，則甲和乙的工效是，將這項工作看成單位“1”，剩下這項工作的，乙、丙合作2天完成了余下任務的，則乙、丙合作2天完成了的，則乙丙2天完成了這項工作的，乙和丙的工效是。甲乙丙合作5天完成了這項任務的，則甲乙丙三人的工效是。分別求出甲乙丙三個人的工效，再根據(jù)工作總量＝工作時間×工作效率。再根據(jù)工作量算出應得的錢。
【詳解】
甲、乙的工效：
丙、乙的工效：
甲、乙、丙的工效：
甲工效：
甲的工作量：
＝
＝
甲的錢：（元）
丙工效：
丙的工作量：
＝
＝
丙的錢：（元）
乙工效：
乙的工作量：
＝
＝
乙的錢：（元）
答：甲應得33元，乙應得91元，丙應得56元。
19．某外國語學校計劃改造校園一條126米的路，原計劃安排7個工人6天修完。后來又增加了54米的任務，并要求在6天完工。如果每個人每天工作量一定，需要增加多少人才能如期完工？
【答案】3人
【分析】根據(jù)題意，先計算出1個人1天的工作量，用總數(shù)÷工人數(shù)÷天數(shù)；再用增加后的總數(shù)÷6天，得出1天共需要完成的米數(shù)，用這個數(shù)除以1人1天完成的米數(shù)即可得出一共需要的人數(shù)，然后減去原來的7人，就是還需要增加的人數(shù)。
【詳解】每人每天修：
（米）
現(xiàn)在總?cè)蝿眨海祝?br/>每天需要人數(shù)：
（人）
增加人數(shù)：（人）
答：需要增加3人才能如期完工。
【點睛】本題主要考查學生對歸一問題的理解與運用，掌握歸一問題的基本數(shù)量關系是關鍵，培養(yǎng)學生的分析思維能力。
20．一個居民小區(qū)計劃用40名工人兩周完成寬帶的安裝任務，工人做了2天后，安裝公司為了趕工期，又增加了20名工人，若每名工人的工作效率相同，這個小區(qū)安裝寬帶任務可以提前幾天完成？
【答案】4天
【分析】兩周等于14天，40名工人14天完成工作任務，每人可以完成總工作量的，又增加了20名工作，若每名工作的工作效率相同，則20名工人每天可以完成總?cè)蝿盏模?4天減去40名工人做的兩天，再減去剩下的工作量60名工人所用的天數(shù)就是提前的天數(shù)。
【詳解】每人每天完成工作量：
已完成的工作量：
增加20人后每天工作量：
還需天數(shù)：
（天）
提前：
（天）
答：可以提前4天完成任務。
【點睛】本題考查工程問題，用工作量÷工作效率＝工作時間，據(jù)此解答。
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。
【數(shù)量關系】 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。
工作量＝工作效率×工作時間
工作時間＝工作量÷工作效率
工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）
【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數(shù)量關系的公式。
【壓軸精講一】某家具廠要在開學前趕制780套桌凳，已經(jīng)生產(chǎn)了12天，每天生產(chǎn)50套。其余的要求3天完成，平均每天生產(chǎn)桌凳多少套？
【答案】60套
【分析】根據(jù)“每天生產(chǎn)數(shù)量×生產(chǎn)天數(shù)＝生產(chǎn)總數(shù)量”，求出已經(jīng)生產(chǎn)的數(shù)量，桌凳總數(shù)量減去先算出12天后還剩多少套，再除以3即可。
【詳解】（780－12×50）÷3
＝（780－600）÷3
＝180÷3
＝60（套）
答：平均每天生產(chǎn)桌凳60套。
【壓軸精講二】一項工程甲乙兩隊合做10天完成。乙丙兩隊合作8天完成。現(xiàn)在甲乙丙三隊合做1天后，余下的工程乙還要16.5天完成，乙單獨做這項工程要幾天完成？
【答案】20天
【分析】把這項工程看作單位“1”，甲乙兩隊合做10天完成，根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時間，用1÷10＝，求出甲乙的工作效率和；用1÷8＝，求出乙丙的工作效率和；設乙單獨做這項工程要x天完成；用1÷x＝，求出乙的工作效率；再用甲乙工作效率和－乙的工作效率，求出甲的工作效率，即（－）；用乙丙兩隊的工作效率和－乙的工作效率，求出丙的工作效率，即（－）再把甲的工作效率＋乙的工作效率＋丙的工作效率，求出甲乙丙的工作效率和，即（－＋＋－），再用甲乙丙的工作效率和×1，求出甲乙丙三隊1天的工作量；即（－＋＋－）×1；根據(jù)工作總量＝工作效率×工作時間；用余下的工程乙需要的天數(shù)×乙的工作效率，求出剩下的工作量，即（16.5×）；再加上甲乙丙三隊1天的工作量＝工作總量，
列方程：（－＋＋－）×1＋16.5×＝1，解方程，即可解答。
【詳解】解：設乙單獨做這項工程要x天完成。
（－＋＋－）×1＋16.5×＝1
（＋－）＋＝1
－＋＝1
＋＝1
＝1－
＝
31x＝15.5×40
31x＝620
x＝620÷31
x＝20
答：乙單獨做這項工程要20天完成。
【點睛】明確工作總量、工作效率、工作時間三者的關系，是解答本題的關鍵。
【壓軸精講三】A、B兩市相距176千米，兩市之間一處因山體滑坡導致連接這兩市的公路受阻，甲、乙兩個工程隊接到指令，要求于早上7點，分別從A、B兩地同時出發(fā)趕往滑坡地點疏通公路。甲隊于9點趕到并立即開工半小時后，乙隊也趕到，并立即投入搶修工作，此時甲隊已完成了全部任務的
（1）如果滑坡受損公路長1千米，甲隊行進的速度是乙隊的倍多5千米，求甲、乙兩隊的行進的速度各是多少？
（2）如果下午3點兩隊就完成公路疏通任務，勝利會師，那么若由乙隊單獨疏通這段公路時，需要多少時間才能完成任務？
【答案】（1）甲隊：50千米/小時，乙隊：30千米/小時
（2）11小時
【分析】（1）設乙隊的行進速度是x千米/小時，則甲隊的行進速度是（x＋5）千米/小時。從早上7點到9點，經(jīng)歷了2小時，甲開工半小時后乙才到，說明乙走了2.5小時，由于受損公路長1千米，用甲、乙走的路程和＝兩市相距的距離再減去受損公
路長，據(jù)此即可列出方程，再求解即可。
（2）由于從上午9點到下午3點總共經(jīng)歷了6小時，最開始甲隊工作0.5小時，完成了總量的，根據(jù)工作效率＝工作總量÷工作時間，用÷0.5求出甲的效率。設乙的效率為y，由于甲隊工作了6小時，乙隊工作的時間是：6－0.5＝5.5（小時），根據(jù)工作效率×工作時間＝工作總量，甲隊工作量＋乙隊工作量＝1，據(jù)此列方程即可求出乙隊的效率，再用1除以乙隊的效率即可求出時間。
【詳解】（1）解：設乙隊的行進速度是x千米/小時，則甲隊的行進速度是（x＋5）千米/小時。
9：00－7：00＝2（小時）
2小時＋0.5小時＝2.5小時
2×（x＋5）＋2.5x＝176－1
2×x＋2×5＋2.5x＝175
3x＋10＋2.5x＝175
5.5x＝175－10
5.5x＝165
x＝165÷5.5
x＝30
30×＋5
＝45＋5
＝50（千米/小時）
答：甲隊的行進速度是50千米/小時，乙隊的行進速度是30千米/小時。
（1）÷0.5＝÷＝×2＝
解：設乙的工作效率為y。
×6＋（6－0.5）y＝1
0.5＋5.5y＝1
5.5y＝1－0.5
5.5y＝0.5
y＝0.5÷5.5
y＝
1÷＝11（小時）
答：乙隊單獨疏通這條公路的效率是11小時。
【點睛】本題主要考查工程問題，關鍵是掌握工程問題的公式以及找準等量關系是解題的關鍵。
1．修一條30千米的公路，甲隊獨修15天完成，乙隊獨修10天完成，兩隊合修幾天修完？
2．甲、乙兩個工程隊合修一條水渠，甲工程隊先修了5400米后，乙工程隊修了剩下的，還剩1800米。這條水渠長多少米？
3．一項工程，甲單獨做需要20天完成，乙單獨做需要12天完成。這項工程先由乙做了4天，剩下的兩隊合作，還需要幾天完成？
4．兩個工程隊修一條路，甲隊單獨修10天完成，乙隊單獨修15天完成。如果甲乙兩隊合修這條路，多少天可以修完全程的50%？
5．某工廠接到了一個加工800個零件的訂單，準備由兩個班加工完成。甲班單獨做，8天可以完成；乙班單獨做，10天可以完成。現(xiàn)在每天由兩班同時加工，5天可以完成嗎？
6．大熊貓和花（又名花花）因其溫順親人，吃東西慢，憨態(tài)可掬而走紅網(wǎng)絡。某工廠接到生產(chǎn)大熊貓花花布偶的任務，原計劃每天生產(chǎn)120箱，8天完成任務。實際每天生產(chǎn)160箱，多少天能完成任務？（用比例知識解答）
7．在比例尺為1∶8000的地圖上，量得潢川縣彩虹橋長為5厘米，一個修橋隊50天修0.04千米，照這樣計算，彩虹橋?qū)嶋H竣工還需要多少天？（用比例方法解決）
8．甲乙兩個工程隊共同修建一條隧道，已知兩隊合作6個月能完成，如果甲隊單獨完成需要15個月，那么乙隊單獨修建成這條隧道需要多少個月？
9．學校進行綠化養(yǎng)護，張師傅單獨工作需要20小時，李師傅單獨工作需要30小時，如果兩個人一起合作，需要多少小時能完成學校綠化養(yǎng)護？
10．工人師傅加工一批零件，加工3天后，還剩121個。如果按這樣的速度，一共加工4天后，還剩這批零件的。這批零件一共有多少個？
11．師徒兩人合作加工455個零件，經(jīng)過3.5小時完成。師傅平均每小時加工75個，徒弟平均每小時加工多少個？（列方程解決問題）
12．工程隊修建高速公路需要打隧道。隧道全長5.5千米。甲工程隊每個月可以推進120米，乙工程隊每個月可以推進130米。如果兩個工程隊從兩頭同時開工。這條隧道幾個月可以完成？
13．為了確保贛南大道快速路主線高架2025年春節(jié)前正式通車，工程隊日夜奮戰(zhàn)。這項工程若由甲隊單獨干需要8天完成，由乙隊單獨干需要12天完成。現(xiàn)在甲、乙兩隊合干4天后，剩下的工程由乙隊單獨干，還需要多少天？
14．甲、乙兩人加工一批零件，如果由甲單獨做，需要18小時完成。現(xiàn)由甲、乙兩人合做，已知乙每小時加工24個，完成任務時，甲加工了這批零件的，這批零件共有多少個？
15．六年級同學開展太空黃瓜種植活動，他們先在學校的“科技種植園”中選擇了一塊周長是32米，長與寬的比是5∶3的長方形地。種植前，先要平整土地。如果讓小華單獨做需要5時，讓劉老師單獨做需要3時。平整好土地后他們就開始種植太空黃瓜了。
（1）這塊長方形土地的面積是多少平方米？
（2）如果小華和劉老師合作，幾時能平整完這塊土地？
1．甲、乙兩隊共同修一條長3000米的公路，甲隊每天修85米，乙隊每天修65米，修完這條公路需要多少天？
2．某村有一片麥田，甲收割機收完這片麥田需要3小時，乙收割機收完這片麥田需要4小時，如果這兩輛收割機同時收割這片麥田，多少小時能收割完？
3．施工隊要挖一條總長50米的溝，已經(jīng)挖了18米，剩下的要用4天挖完。平均每天挖多少米？
4．張師傅原計劃用6小時加工零件630個。實際每小時比原計劃多加工零件21個，實際加工完成這批零件共用多少小時？
5．電腦生產(chǎn)廠家有兩條平板電腦生產(chǎn)線，第一條每天裝配180臺平板電腦，第二條每天裝配220臺平板電腦。兩條生產(chǎn)線連續(xù)工作30天，一共裝配多少臺平板電腦？
6．兩個工程隊共同開鑿一條長675米的隧道，兩隊分別從兩端同時相向施工，25天打通。甲隊每天開鑿12米，乙隊每天開鑿多少米？
7．媽媽給一批上衣縫紐扣，如果每天縫15件，就比規(guī)定的工期晚2天完成；如果每天縫18件，就可比規(guī)定的工期提前3天完成。這批上衣共多少件？
8．一項工程甲單獨做15天完成，乙單獨做12天完成，現(xiàn)他們合做若干天后，剩下的由乙單獨做3天才能完成，甲、乙合做了多少天？
9．建筑一條水泥路，甲隊獨做要12天，乙隊獨做要15天，乙隊先獨做工程的，剩下的再由甲、乙兩隊合做，剩下的還要多少天修完？
10．一條鐵路長720米，甲乙兩個工程隊同時從兩端開始維修，乙隊每天維修的長度是甲隊的，4天后修完。甲乙兩隊每天各修了多少米？
11．一項工程，甲單獨做要10天完成，甲、乙的工作效率比是3∶2。甲做了5天后，乙加入進來做，兩人同時做幾天就可以完成這項工程？
12．朝陽農(nóng)場收獲一批蔬菜，如果用小汽車運輸，12次才能運完；如果用大卡車運輸，需要運6次；如果兩輛車一起運，多少次才能運完？
13．修一條公路，甲隊要12天完成；乙隊要15天可以完成。現(xiàn)在讓甲、乙兩隊合修，應修幾天？
14．加工一批零件，甲、乙兩人合作需要8天完成，如果由乙獨做需12天完成。兩人開始合作一段時間后，乙離開另有任務，余下的工作由甲來完成，又用了3天，兩人合作幾天？
15．某工程需修一段隧道，甲工程隊單獨完成全部工程需12天，甲、乙兩隊合作完成需要8天，如果乙工程隊先工作16天，剩下的工程全部由甲隊完成，甲工程隊還需要多少天？
16．一項工程甲、乙兩隊合作10天完成，乙、丙兩隊合作8天完成。現(xiàn)在甲、乙、丙三隊合作4天后，余下的工程乙還要5.5天完成，乙單獨做這項工程要幾天完成？
17．甲、乙、丙三人合修一段圍墻，甲、乙合修6天修好圍墻的，乙、丙合修2天修好余下的剩下的，三人又合修了5天才完成，共得報酬180元。按各人所完成的工作量的多少來合理分配，每人應得多少元？
18．甲、乙、丙三人承包一項任務，發(fā)給他們的工資是180元，三人完成這項任務的情況是：甲、乙兩人合作6天完成了這項任務的；因甲有事，乙、丙合作2天完成了余下任務的；以后3人合作5天完成了這項任務。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各應得多少元？
19．某外國語學校計劃改造校園一條126米的路，原計劃安排7個工人6天修完。后來又增加了54米的任務，并要求在6天完工。如果每個人每天工作量一定，需要增加多少人才能如期完工？
20．一個居民小區(qū)計劃用40名工人兩周完成寬帶的安裝任務，工人做了2天后，安裝公司為了趕工期，又增加了20名工人，若每名工人的工作效率相同，這個小區(qū)安裝寬帶任務可以提前幾天完成？
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