資源簡介

2025屆高三二輪復(fù)習(xí) 高中數(shù)學(xué)思想與方法解題薈萃 2025.1
思維1 高中數(shù)學(xué)思想在解題、審題中的應(yīng)用
高考試題注重基礎(chǔ)知識的考查,更注重對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查.經(jīng)過一輪全面、細(xì)致的復(fù)習(xí)后,二輪復(fù)習(xí)的核心是把所學(xué)的知識系統(tǒng)化、條理化、綜合化,重點(diǎn)突破薄弱環(huán)節(jié),培養(yǎng)綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.建議在二輪復(fù)習(xí)全面開展前,先系統(tǒng)學(xué)習(xí)本部分內(nèi)容,帶著思想方法去復(fù)習(xí),這樣可以使理論指導(dǎo)實(shí)踐,做到事半功倍.
一、函數(shù)與方程思想
1.構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題
例1 （1） [2024·天津卷·5，5分]若,,，則,,的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函數(shù)滿足，則在下列不等關(guān)系中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） B （2） A
【解析】（1） 易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)值恒大于0，又，所以，即.易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，即，所以，故選B.
（2） 構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞減，，即，.故選A.
方法指導(dǎo)
本例通過構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到比較大小的目的.
2.利用函數(shù)性質(zhì)求解方程問題
例2 （1） [2020·全國Ⅰ卷（理）·12，5分]若,則（ ）
A. B. C. D.
（2） 若關(guān)于的方程在上有根，則的取值范圍是____________.
【答案】（1） B （2）
【解析】（1） ,令，則，易知在上單調(diào)遞增，所以.故選B.
（2） 令，由，可得.又，故原方程可化為，設(shè)函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為直線，如圖所示.因此在上有解等價于即解得,故的取值范圍是.
方法指導(dǎo)
借助函數(shù)的性質(zhì)可以解決比較大小及求方程中參數(shù)的取值范圍的問題.
3.方程思想的應(yīng)用
例3 （1） [2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·12，5分]設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為________.
（2） [2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·13，5分]若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則____________.
【答案】（1） （2）
【解析】（1） 根據(jù)雙曲線的對稱性，可得，又，所以，解得，在中，，即，故，所以.
（2） 因?yàn)?所以,所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,所以切線方程為.設(shè)曲線上的切點(diǎn)坐標(biāo)為,由得,則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,所以解得故.
方法指導(dǎo)
利用條件建立待求量的方程（組），通過解方程（組）求出有關(guān)量，進(jìn)而達(dá)到解題的目的.
二、數(shù)形結(jié)合思想
1.以形助數(shù)——代數(shù)問題幾何化
例4 （1） [2020·新高考Ⅰ卷·8，5分]若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是 （ ）
A. B.
C. D.
（2） [2024·全國甲卷（理）·12，5分]已知是，的等差中項(xiàng)，直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】（1） D （2） C
【解析】（1） 由題得，，且在上單調(diào)遞減.根據(jù)題意畫出的大致圖象，如圖所示.由，得 或即或解得或.故選D.
（2） 依題意得，即，代入，得，設(shè)直線恒過定點(diǎn)，令解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，得.設(shè)圓心為C，則，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出直線與圓，連接，，，由圖可知，當(dāng)時，最小，因?yàn)?，所以.故選C.
方法指導(dǎo)
1.解決含抽象函數(shù)的不等式問題時,可先根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫出簡圖,然后根據(jù)圖象對問題進(jìn)行分類討論.
2.求解解析幾何問題的基本思想就是數(shù)形結(jié)合,在解題時要善于將數(shù)形結(jié)合的思想用于對解析幾何的性質(zhì)和相互關(guān)系的研究中.
2.以數(shù)助形——幾何問題代數(shù)化
例5 （1） [2024·四川綿陽模擬]某公園設(shè)計(jì)的一個圓形健身區(qū)域如圖所示，其中心部分為一個等邊三角形廣場，分別以等邊三角形的三條邊作為正方形的一條邊構(gòu)造三個正方形區(qū)域用于放置健身器材，其中每個正方形都有兩個頂點(diǎn)恰好在圓上．若，則（ ）
A. B.
C. D.
（2） [2022·天津卷·14,5分]在中,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.記,,用,表示______________；若,則的最大值為________.
【答案】（1） C （2） ；
【解析】（1） 如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，又 ，所以 ，則，所以，，所以.故選C.
（2） 由題可得，.以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則,,,設(shè)，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以,，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，設(shè)圓心為，連接，由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)直線與相切時，最大，此時,所以的最大值為.
方法指導(dǎo)
本例通過構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，使得向量運(yùn)算完全代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形的緊密結(jié)合，降低了思維難度.
三、分類討論思想
1.由概念、法則、公式引起的分類討論
例6 （1） 已知圓，則經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為______________________________.
（2） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，則的通項(xiàng)公式為________________________________________________________________.
（3） [2024·湖北武漢模擬]已知等比數(shù)列的公比為，，則____________；數(shù)列的前5項(xiàng)和為______________.
【答案】（1） 或 （2）
（3） 或2；或14
【解析】（1） 當(dāng)直線的斜率不存在時，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得，此時直線方程為.故所求直線方程為或.
（2） 由可得，兩式相減得，即，由及可得， 數(shù)列從第二項(xiàng)開始構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故當(dāng)時，，
（3） 由題得，整理得，解得或.當(dāng)時，，所以的前5項(xiàng)和為;當(dāng)時，，所以的前5項(xiàng)和為.綜上，數(shù)列的前5項(xiàng)和為或14.
方法指導(dǎo)
1.由數(shù)學(xué)概念引起的討論要正確理解概念的內(nèi)涵與外延，合理進(jìn)行分類.
2.由公式引起的討論要注意公式的限制條件.
2.由參數(shù)變化引起的分類討論
例7 [2021·新高考Ⅱ卷·22節(jié)選，4分]已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.
【解析】.
①當(dāng)時，對任意恒成立.
當(dāng)時，，當(dāng)時，.
因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
②當(dāng)時，令.
當(dāng)時，，
的大致圖象如圖1所示.
圖1
因此當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，,
此時對任意恒成立，故在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，,
的大致圖象如圖2所示.
圖2
因此當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
方法指導(dǎo)
解決含有參數(shù)的問題時要根據(jù)需要合理確定分類標(biāo)準(zhǔn)，討論中做到不重不漏，結(jié)論整合要周全.
3.由圖形位置或形狀變化引起的分類討論
例8 [2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·16，15分]已知和為橢圓上兩點(diǎn).
（1） 求的離心率;
（2） 若過的直線交于另一點(diǎn)，且的面積為9，求的方程.
【解析】
（1） 由題意得解得所以.
（2） ①當(dāng)直線的斜率不存在時，，，符合題意，此時，直線的方程為，即.②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，易知，且，即，由得，解得或，令，則，則，直線的方程為，即，由，，可得，又的面積為9，故點(diǎn)到直線的距離，則，解得，故，由點(diǎn)，的坐標(biāo)可得，故直線的方程為，即.綜上，直線的方程為或.
方法指導(dǎo)
圖形位置、形狀分類整合是指由幾何圖形的不確定性而引起的分類討論，這種方法適用于對幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究.
四、轉(zhuǎn)化與化歸思想
1.特殊與一般的轉(zhuǎn)化
例9 已知函數(shù)，且，那么（ ）
A. B. C. D. 10
【答案】A
【解析】，
，
，
令，則，
又，.故選A.
例10 過拋物線的對稱軸上的定點(diǎn)作直線與拋物線相交于，兩點(diǎn).若點(diǎn)是定直線上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為,,，試探究,,之間的關(guān)系，并證明.
【解析】由題意知點(diǎn)，位于軸兩側(cè)，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，
當(dāng)直線軸時，可得，，
設(shè)點(diǎn)，
此時，，，可得.
故猜想一般情況下，同樣有，證明如下：
設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，
聯(lián)立，
則，
，
同理可得，
所以
，
又，故.
方法指導(dǎo)
一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單，也可以通過一般問題的特殊情形找到一般思路；特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問題的效果.對于某些選擇題、填空題，我們可以把題中變化的量用特殊值代替，進(jìn)而得到問題的答案.
2.相等與不等的轉(zhuǎn)化
例11
（1） 已知向量,，對任意，恒有，則（ ）
A. B.
C. D.
（2） [2024·河南三模]在中，角，，所對的邊分別為，，.若，則的最小值是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】（1） C （2） B
【解析】
（1） 不等式等價于，整理得恒成立，所以，又，所以，即，所以，所以,即.故選C.
（2） 由及正弦定理，得，所以，又，所以，故，所以,則，因?yàn)榻茿，角C都在中，所以為正，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值是.故選B.
方法指導(dǎo)
相等與不等關(guān)系在數(shù)學(xué)中既是對立統(tǒng)一的又是相互聯(lián)系的，在解題過程中可以將兩者相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)建不等關(guān)系促成相等關(guān)系.
3.常量與變量的轉(zhuǎn)化
例12 [2024·河北重點(diǎn)高中一模]已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，，，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，則，從而，則，所以，即，
令,則當(dāng)時，恒成立，所以解得或，只有選項(xiàng)A符合題意，故選A.
方法指導(dǎo)
在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時，我們可以選取其中的一個變元，將其看成“主元”，并把其他變元看成常量，從而達(dá)到減少變元簡化運(yùn)算的目的.
4.正與反的轉(zhuǎn)化
例13
（1） [2025·廣東部分名校高三摸底考試]現(xiàn)某酒店要從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，則至少有1名女廚師被選中的不同選法有（ ）
A. 14種 B. 18種 C. 12種 D. 7種
（2） [2024·四川模擬]已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是______________.
【答案】（1） A （2）
【解析】
（1） 從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，共有（種）選法，沒有女廚師被選中的選法共有（種），故至少有1名女廚師被選中的不同選法有（種）.故選A.
（2） 解法一：由題意知.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立，所以，解得；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則在區(qū)間上恒成立,所以在區(qū)間上恒成立，所以，解得.綜上,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍是.故若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是.解法二：由題意知，因?yàn)樵趨^(qū)間上不單調(diào)，所以在區(qū)間上有變號零點(diǎn)，易知，所以由，得，由，得，所以在區(qū)間內(nèi)，即解得，即的取值范圍是.
方法指導(dǎo)
1.一般地，間接法多用于含有“至多”“至少”的排列組合題目.
2.解決含有否定性命題的問題時，常利用正與反的相互轉(zhuǎn)化，即先從正面求解，再取正面答案的補(bǔ)集即可.
5.等體積轉(zhuǎn)化
例14 [2024·江西二模]如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)，分別為棱，上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在直三棱柱中， 平面，故為三棱錐的高，設(shè)，，則，由，得，故，則，故，當(dāng)時，三棱錐的體積取得最大值.故選D.
方法指導(dǎo)
利用三棱錐的“變頂點(diǎn)法”結(jié)合“同底等高的兩個錐體的體積相等”是求解三棱錐體積問題的有效方法.
6.函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化
例15
（1） [2024·湖南益陽模擬]已知函數(shù)，若存在3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
（2） [2024·江西吉安六校高三聯(lián)考]若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） D （2） A
【解析】
（1） 令，即，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，當(dāng)時，，則，當(dāng)直線與曲線相切時，，則，即切點(diǎn)為，此時，因?yàn)榇嬖?個零點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有3個交點(diǎn)，所以解得，所以的取值范圍是.故選D.
（2） 依題意，得，設(shè)，則,，令，則，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選A.
方法指導(dǎo)
借助函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系與最值（值域）問題相互轉(zhuǎn)化，將方程的求解問題、函數(shù)的零點(diǎn)問題、兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題相互轉(zhuǎn)化.
思維2 選擇題、填空題快速解答技巧分析
選擇題、填空題在高考中屬于保分題目，只有保住基本分，才能得高分.選擇題、填空題的解題過程是“不講道理”的，所以解題的基本策略是充分利用題干所提供的信息作出判斷，先定性后定量，先特殊后一般，先間接后直接，另外對選擇題可以先排除后求解，故解答選擇題、填空題一般有直接法、間接法、特例法、排除法、構(gòu)造模型法等.
技法一 直接法
例1
（1） [2024· 新課標(biāo)Ⅰ卷·2，5分]若,則（ ）
A. B. C. D.
（2） [2024·全國甲卷（理）·8，5分]已知,則（ ）
A. B. C. D.
（3） [2021·新高考Ⅰ卷·13，5分]已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.
（4） [2024·天津卷·11，5分]在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__.
【答案】（1） C （2） B （3） 1 （4） 20
【解析】
（1） 由已知可得，即，故，故選C.
（2） ，所以.
（3） 設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以函數(shù)是上的奇函數(shù)，故，因此.
（4） 的展開式的通項(xiàng)為,,1, ,6，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為.
技法二 間接法
例2
（1） [2024·山東青島第二中學(xué)高三期末]某次會議中，籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的4名工作人員分配到3個會議廳工作，每個會議廳至少分配1人，每人只負(fù)責(zé)一個會議廳，則甲、乙兩人不被分配到同一個會議廳的安排方法共有__種.（用數(shù)字作答）
（2） [2024·陜西榆林三模]在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)每次成功的概率均為，則在至少成功1次的條件下，4次試驗(yàn)全部成功的概率為__________.
【答案】（1） 30 （2）
【解析】
（1） 將4名工作人員分配到3個會議廳有種安排方法，其中將甲、乙兩人分配到同一個會議廳的安排方法有種，從而甲、乙兩人不被分配到同一個會議廳的安排方法有種.
（2） 在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，一次都沒成功的概率為，則在至少成功1次的條件下，4次試驗(yàn)全部成功的概率為.
技法三 特例法
1.特殊值法
例3
（1） 已知與均為單位向量，其夾角為 ，有下列4個命題:
；
；
；
.
其中的真命題是（ ）
A. , B. , C. , D. ,
（2） [2020·新高考Ⅰ卷·12，5分]多選信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為1，2， ，，且,，定義的信息熵.（ ）
A. 若,則
B. 若，則隨著的增大而增大
C. 若，則隨著的增大而增大
D. 若，隨機(jī)變量所有可能的取值為1，2， ，，且，則
（3） [2023· 新課標(biāo)Ⅰ卷·16，5分]已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為________.
【答案】（1） A （2） AC （3）
【解析】
（1） 依據(jù)4個命題的關(guān)系和特征將其分成兩組進(jìn)行判斷,對于命題,，只需取或 ，即可判斷命題為真;對于命題,，只需取或 ，即可判斷命題為真.故選A.
（2） 對于A，若，則，，故A正確.對于B，若，則，不妨設(shè)，，則此時;而當(dāng)，時，，由此可得，當(dāng)與時，相等，故B錯誤.對于C，若，則
，隨著的增大而增大，故C正確.對于D，令，則，則，當(dāng)，時，
，，，故D錯誤.故選.
（3） 由于離心率為定值，所以可用特殊值法求解，取，則，，故，因?yàn)?，所以，由雙曲線的定義得，在中，，在中，，所以，解得（負(fù)值舍去），故.
2.特殊函數(shù)法
例4
（1） [2024·河北滄州模擬]已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)與均為偶函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，， ，，則（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】（1） C （2） B
【解析】
（1） 解法一（特殊函數(shù)法）依題意，不妨設(shè)函數(shù)，其周期，所以，且，因?yàn)榈闹芷跒?，所以，因?yàn)?，故，所以，故選C.解法二（通性通法）因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以函數(shù)的周期為2，則，，因?yàn)楫?dāng)時，單調(diào)遞減，且，所以，即.故選C.
（2） 由得，不妨設(shè),則的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為,，，，故選B.
3.特殊數(shù)列法
例5
（1） 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. B. C. 1 D.
（2） [2023·全國乙卷（理）·10，5分]已知等差數(shù)列的公差為,集合.若,,則（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】（1） D （2） B
【解析】
（1） 解法一（特殊數(shù)列法）不妨取符合的常數(shù)列，則，則.故選D.解法二（基本量法）由及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得，.故選D.解法三（等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)）根據(jù)等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)得，由及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，得，故.故選D.
（2） 解法一（特殊數(shù)列法）依題意，取，則，所以，故選B.解法二：因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，所以{是周期為3的周期數(shù)列，故在，，中恰有兩項(xiàng)相等.又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故不妨設(shè)，則， .當(dāng)為偶數(shù)時，,此時；當(dāng)為奇數(shù)時，，此時.綜上，.故選B.
4.特殊圖形或特殊位置法
例6
（1） 設(shè)四邊形為平行四邊形，，，若點(diǎn)，滿足，，則（ ）
A. 20 B. 15 C. 9 D. 6
（2） 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與過焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則____________.
【答案】（1） C （2）
【解析】
（1） 由于平行四邊形的形狀不定，而選項(xiàng)為定值，所以可取四邊形為矩形，并以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由，，知，，所以，，所以.
（2） 本題要分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，由于答案為定值，故可取特殊位置，即求直線的斜率不存在時，的值.不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，所以.
技巧總結(jié)
1.特例法具有簡化運(yùn)算和推理的作用，題目的結(jié)論唯一或題設(shè)條件暗示答案為定值是利用特例法的前提.
2.利用特例法解題時，要注意以下兩點(diǎn)：第一，選取的特例要盡可能簡單，有利于計(jì)算和推理；第二，若在選取不同的特例時，得到了不同的結(jié)論，則應(yīng)再選取一個特例進(jìn)行檢驗(yàn)，或改用其他方法求解.
技法四 排除法
例7
（1） [2024·全國甲卷（理）·7，5分]函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
（2） 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） B （2） C
【解析】
（1） 令，區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，，為偶函數(shù)，排除A，C.，，，排除D.故選B.
（2） 根據(jù)選項(xiàng)特點(diǎn)可先判斷是否符合題意.當(dāng)時,，則，當(dāng)時,，不符合題意，所以排除選項(xiàng)A，B，D.故選C.
技巧總結(jié)
1.排除法適用于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的予以排除，再根據(jù)另一些條件進(jìn)一步縮小選項(xiàng)的范圍，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案為止.
2.在選擇題的求解中，排除法常與特例法、數(shù)形結(jié)合法聯(lián)合使用.
技法五 構(gòu)造模型法
例8 [2019·課標(biāo)全國Ⅰ卷（理）·12，5分]已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點(diǎn)， ，則球的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，分別是，的中點(diǎn)，.
，，，由題意得，三棱錐為正三棱錐，
，又，， 平面， 平面，
， 平面，，，同理可證，
三條側(cè)棱，，兩兩垂直.是邊長為2的正三角形，，
則球是棱長為的正方體的外接球，設(shè)球的半徑為，
則，，
球的體積為 .故選D.
技巧總結(jié)
構(gòu)造模型法實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的模型，將原問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題，本題利用模型直觀地對問題作出判斷，這樣既減少了抽象性，又避免了因考慮不全面而導(dǎo)致的錯誤.
技法六 估算法
例9
（1） 用1，2，3，4，5這五個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）
A. 24個 B. 30個 C. 40個 D. 60個
（2） 已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且，則此三棱錐的體積（ ）
A. B. C. D.
（3） [2023·全國甲卷（文）·11，5分]已知函數(shù).記，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） A （2） A （3） A
【解析】
（1） 由1，2，3，4，5這五個數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共有個，60個三位數(shù)中只包含奇數(shù)和偶數(shù)，可作個位數(shù)的奇數(shù)有3個，偶數(shù)有2個，奇數(shù)比偶數(shù)多，所以偶數(shù)的個數(shù)應(yīng)少于，故選A.
（2） 如圖所示，可知三棱錐的高，所以，所以排除選項(xiàng)B，C，D，故選A.
（3） 令，，的圖象開口向下，對稱軸為直線，，，，因?yàn)?,，所以，又為增函數(shù)，故.故選A.
技巧總結(jié)
估算法主要適用于比較大小的有關(guān)問題，在選擇題或填空題中不需要詳細(xì)的解答過程，因此可以通過猜測、合情推理、估算而獲得答案，從而減少運(yùn)算量.
技法七 極限法（極端值法）
例10
（1） [2024·安徽合肥一六八中學(xué)模擬]函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知為雙曲線的右支上一點(diǎn)，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
（3） 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】（1） A （2） A （3） A
【解析】
（1） 解法一：當(dāng)且時， ，排除B，D；當(dāng)且時， ，排除C.故選A.解法二：的定義域?yàn)椋?br/>，所以為奇函數(shù)，故排除B，C；當(dāng)且時，，,，所以，故排除D.故選A.
（2） 如圖所示，當(dāng)點(diǎn)沿雙曲線向右頂點(diǎn)無限接近時，的內(nèi)切圓越來越小，直至變?yōu)椤包c(diǎn)圓”，此“點(diǎn)圓”應(yīng)為右頂點(diǎn)，則內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為.故選A.
（3） 若，則；若，則，從而，結(jié)合選項(xiàng)分析，應(yīng)選A.
技巧總結(jié)
極限法（極端值法）是一種重要的數(shù)學(xué)方法，通過考查問題的極端狀態(tài)，靈活借助極限思想解題，往往可以避開抽象復(fù)雜的運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度.2025屆高三二輪復(fù)習(xí) 高中數(shù)學(xué)思想與方法解題薈萃 2025.1
思維1 高中數(shù)學(xué)思想在解題、審題中的應(yīng)用
高考試題注重基礎(chǔ)知識的考查,更注重對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查.經(jīng)過一輪全面、細(xì)致的復(fù)習(xí)后,二輪復(fù)習(xí)的核心是把所學(xué)的知識系統(tǒng)化、條理化、綜合化,重點(diǎn)突破薄弱環(huán)節(jié),培養(yǎng)綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.建議在二輪復(fù)習(xí)全面開展前,先系統(tǒng)學(xué)習(xí)本部分內(nèi)容,帶著思想方法去復(fù)習(xí),這樣可以使理論指導(dǎo)實(shí)踐,做到事半功倍.
一、函數(shù)與方程思想
1.構(gòu)造函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題
例1 （1） [2024·天津卷·5，5分]若,,，則,,的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函數(shù)滿足，則在下列不等關(guān)系中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
方法指導(dǎo)
本例通過構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)的性質(zhì)達(dá)到比較大小的目的.
2.利用函數(shù)性質(zhì)求解方程問題
例2 （1） [2020·全國Ⅰ卷（理）·12，5分]若,則（ ）
A. B. C. D.
（2） 若關(guān)于的方程在上有根，則的取值范圍是____________.
方法指導(dǎo)
借助函數(shù)的性質(zhì)可以解決比較大小及求方程中參數(shù)的取值范圍的問題.
3.方程思想的應(yīng)用
例3 （1） [2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·12，5分]設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為________.
（2） [2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·13，5分]若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則____________.
方法指導(dǎo)
利用條件建立待求量的方程（組），通過解方程（組）求出有關(guān)量，進(jìn)而達(dá)到解題的目的.
二、數(shù)形結(jié)合思想
1.以形助數(shù)——代數(shù)問題幾何化
例4 （1） [2020·新高考Ⅰ卷·8，5分]若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是 （ ）
A. B.
C. D.
（2） [2024·全國甲卷（理）·12，5分]已知是，的等差中項(xiàng)，直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D.
方法指導(dǎo)
1.解決含抽象函數(shù)的不等式問題時,可先根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫出簡圖,然后根據(jù)圖象對問題進(jìn)行分類討論.
2.求解解析幾何問題的基本思想就是數(shù)形結(jié)合,在解題時要善于將數(shù)形結(jié)合的思想用于對解析幾何的性質(zhì)和相互關(guān)系的研究中.
2.以數(shù)助形——幾何問題代數(shù)化
例5 （1） [2024·四川綿陽模擬]某公園設(shè)計(jì)的一個圓形健身區(qū)域如圖所示，其中心部分為一個等邊三角形廣場，分別以等邊三角形的三條邊作為正方形的一條邊構(gòu)造三個正方形區(qū)域用于放置健身器材，其中每個正方形都有兩個頂點(diǎn)恰好在圓上．若，則（ ）
A. B.
C. D.
（2） [2022·天津卷·14,5分]在中,點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.記,,用,表示______________；若,則的最大值為________.
方法指導(dǎo)
本例通過構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，使得向量運(yùn)算完全代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形的緊密結(jié)合，降低了思維難度.
三、分類討論思想
1.由概念、法則、公式引起的分類討論
例6 （1） 已知圓，則經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為______________________________.
（2） 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，則的通項(xiàng)公式為________________________________________________________________.
（3） [2024·湖北武漢模擬]已知等比數(shù)列的公比為，，則____________；數(shù)列的前5項(xiàng)和為______________.
方法指導(dǎo)
1.由數(shù)學(xué)概念引起的討論要正確理解概念的內(nèi)涵與外延，合理進(jìn)行分類.
2.由公式引起的討論要注意公式的限制條件.
2.由參數(shù)變化引起的分類討論
例7 [2021·新高考Ⅱ卷·22節(jié)選，4分]已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性.
方法指導(dǎo)
解決含有參數(shù)的問題時要根據(jù)需要合理確定分類標(biāo)準(zhǔn)，討論中做到不重不漏，結(jié)論整合要周全.
3.由圖形位置或形狀變化引起的分類討論
例8 [2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·16，15分]已知和為橢圓上兩點(diǎn).
（1） 求的離心率;
（2） 若過的直線交于另一點(diǎn)，且的面積為9，求的方程.
方法指導(dǎo)
圖形位置、形狀分類整合是指由幾何圖形的不確定性而引起的分類討論，這種方法適用于對幾何圖形中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究.
四、轉(zhuǎn)化與化歸思想
1.特殊與一般的轉(zhuǎn)化
例9 已知函數(shù)，且，那么（ ）
A. B. C. D. 10
例10 過拋物線的對稱軸上的定點(diǎn)作直線與拋物線相交于，兩點(diǎn).若點(diǎn)是定直線上的任意一點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別為,,，試探究,,之間的關(guān)系，并證明.
方法指導(dǎo)
一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單，也可以通過一般問題的特殊情形找到一般思路；特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問題的效果.對于某些選擇題、填空題，我們可以把題中變化的量用特殊值代替，進(jìn)而得到問題的答案.
2.相等與不等的轉(zhuǎn)化
例11
（1） 已知向量,，對任意，恒有，則（ ）
A. B.
C. D.
（2） [2024·河南三模]在中，角，，所對的邊分別為，，.若，則的最小值是（ ）
A. B. C. D. 4
方法指導(dǎo)
相等與不等關(guān)系在數(shù)學(xué)中既是對立統(tǒng)一的又是相互聯(lián)系的，在解題過程中可以將兩者相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)建不等關(guān)系促成相等關(guān)系.
3.常量與變量的轉(zhuǎn)化
例12 [2024·河北重點(diǎn)高中一模]已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，若對于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值為（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
方法指導(dǎo)
在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時，我們可以選取其中的一個變元，將其看成“主元”，并把其他變元看成常量，從而達(dá)到減少變元簡化運(yùn)算的目的.
4.正與反的轉(zhuǎn)化
例13
（1） [2025·廣東部分名校高三摸底考試]現(xiàn)某酒店要從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營養(yǎng)師，則至少有1名女廚師被選中的不同選法有（ ）
A. 14種 B. 18種 C. 12種 D. 7種
（2） [2024·四川模擬]已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是______________.
方法指導(dǎo)
1.一般地，間接法多用于含有“至多”“至少”的排列組合題目.
2.解決含有否定性命題的問題時，常利用正與反的相互轉(zhuǎn)化，即先從正面求解，再取正面答案的補(bǔ)集即可.
5.等體積轉(zhuǎn)化
例14 [2024·江西二模]如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)，分別為棱，上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A. B. C. D.
方法指導(dǎo)
利用三棱錐的“變頂點(diǎn)法”結(jié)合“同底等高的兩個錐體的體積相等”是求解三棱錐體積問題的有效方法.
6.函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化
例15
（1） [2024·湖南益陽模擬]已知函數(shù)，若存在3個零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
（2） [2024·江西吉安六校高三聯(lián)考]若，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
方法指導(dǎo)
借助函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系與最值（值域）問題相互轉(zhuǎn)化，將方程的求解問題、函數(shù)的零點(diǎn)問題、兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題相互轉(zhuǎn)化.
思維2 選擇題、填空題快速解答技巧分析
選擇題、填空題在高考中屬于保分題目，只有保住基本分，才能得高分.選擇題、填空題的解題過程是“不講道理”的，所以解題的基本策略是充分利用題干所提供的信息作出判斷，先定性后定量，先特殊后一般，先間接后直接，另外對選擇題可以先排除后求解，故解答選擇題、填空題一般有直接法、間接法、特例法、排除法、構(gòu)造模型法等.
技法一 直接法
例1
（1） [2024· 新課標(biāo)Ⅰ卷·2，5分]若,則（ ）
A. B. C. D.
（2） [2024·全國甲卷（理）·8，5分]已知,則（ ）
A. B. C. D.
（3） [2021·新高考Ⅰ卷·13，5分]已知函數(shù)是偶函數(shù)，則______.
（4） [2024·天津卷·11，5分]在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__.
技法二 間接法
例2
（1） [2024·山東青島第二中學(xué)高三期末]某次會議中，籌備組將包含甲、乙在內(nèi)的4名工作人員分配到3個會議廳工作，每個會議廳至少分配1人，每人只負(fù)責(zé)一個會議廳，則甲、乙兩人不被分配到同一個會議廳的安排方法共有__種.（用數(shù)字作答）
（2） [2024·陜西榆林三模]在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)每次成功的概率均為，則在至少成功1次的條件下，4次試驗(yàn)全部成功的概率為__________.
技法三 特例法
1.特殊值法
例3
（1） 已知與均為單位向量，其夾角為 ，有下列4個命題:
；
；
；
.
其中的真命題是（ ）
A. , B. , C. , D. ,
（2） [2020·新高考Ⅰ卷·12，5分]多選信息熵是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為1，2， ，，且,，定義的信息熵.（ ）
A. 若,則
B. 若，則隨著的增大而增大
C. 若，則隨著的增大而增大
D. 若，隨機(jī)變量所有可能的取值為1，2， ，，且，則
（3） [2023· 新課標(biāo)Ⅰ卷·16，5分]已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為________.
2.特殊函數(shù)法
例4
（1） [2024·河北滄州模擬]已知函數(shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)與均為偶函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B. C. D.
（2） 已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，， ，，則（ ）
A. 0 B. C. D.
3.特殊數(shù)列法
例5
（1） 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A. B. C. 1 D.
（2） [2023·全國乙卷（理）·10，5分]已知等差數(shù)列的公差為,集合.若,,則（ ）
A. B. C. 0 D.
4.特殊圖形或特殊位置法
例6
（1） 設(shè)四邊形為平行四邊形，，，若點(diǎn)，滿足，，則（ ）
A. 20 B. 15 C. 9 D. 6
（2） 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與過焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則____________.
技巧總結(jié)
1.特例法具有簡化運(yùn)算和推理的作用，題目的結(jié)論唯一或題設(shè)條件暗示答案為定值是利用特例法的前提.
2.利用特例法解題時，要注意以下兩點(diǎn)：第一，選取的特例要盡可能簡單，有利于計(jì)算和推理；第二，若在選取不同的特例時，得到了不同的結(jié)論，則應(yīng)再選取一個特例進(jìn)行檢驗(yàn)，或改用其他方法求解.
技法四 排除法
例7
（1） [2024·全國甲卷（理）·7，5分]函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
（2） 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
技巧總結(jié)
1.排除法適用于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的予以排除，再根據(jù)另一些條件進(jìn)一步縮小選項(xiàng)的范圍，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案為止.
2.在選擇題的求解中，排除法常與特例法、數(shù)形結(jié)合法聯(lián)合使用.
技法五 構(gòu)造模型法
例8 [2019·課標(biāo)全國Ⅰ卷（理）·12，5分]已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點(diǎn)， ，則球的體積為（ ）
A. B. C. D.
技巧總結(jié)
構(gòu)造模型法實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構(gòu)造的方向，通過構(gòu)造新的模型，將原問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題，本題利用模型直觀地對問題作出判斷，這樣既減少了抽象性，又避免了因考慮不全面而導(dǎo)致的錯誤.
技法六 估算法
例9
（1） 用1，2，3，4，5這五個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）
A. 24個 B. 30個 C. 40個 D. 60個
（2） 已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且，則此三棱錐的體積（ ）
A. B. C. D.
（3） [2023·全國甲卷（文）·11，5分]已知函數(shù).記，，，則（ ）
A. B. C. D.
技巧總結(jié)
估算法主要適用于比較大小的有關(guān)問題，在選擇題或填空題中不需要詳細(xì)的解答過程，因此可以通過猜測、合情推理、估算而獲得答案，從而減少運(yùn)算量.
技法七 極限法（極端值法）
例10
（1） [2024·安徽合肥一六八中學(xué)模擬]函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
（2） 已知為雙曲線的右支上一點(diǎn)，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為（ ）
A. B.
C. D.
（3） 若，，，則（ ）
A. B. C. D.
技巧總結(jié)
極限法（極端值法）是一種重要的數(shù)學(xué)方法，通過考查問題的極端狀態(tài)，靈活借助極限思想解題，往往可以避開抽象復(fù)雜的運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度.

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