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漫話一元二次方程
追問求根公式
1閱讀下邊一元二次方程求根公式的兩種推導方法：
方法一：教材中方法 方法二：
∵ ax2＋bx＋c＝0，
∴ 4a2x2＋4abx＋4ac＝0，
配方可得： ∴ (2ax＋b)2＝b2－4ac．
當 b2－4ac≥0時，
2ax＋b＝±，
∴ 2ax＝－b±．
當 b2－4ac≥0時， ∴ x＝．
請回答下列問題：
（1）兩種方法有什么異同？你認為哪個方法好？（2）說說你有什么感想？
判別式----一元二次方程的檢測器
2對于任意實數，若要求（1）寫出一元二次方程，（2）方程以為判別式，則下述回答中：
，
，
，
，（為任意的非0實數），
完全滿足要求的方程個數為（ ）．
（A）恰有1個 （B）恰有2個 （C）恰有3個 （D）4個全是
3.如果關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，那么的取值范圍是（ B ）
A.＞ B.＞且 C.＜ D.且
4. 如圖，矩形ABCD，AD=a，AB=b，要使BC邊上至少存在一點P，使△ABP、△APD、△CDP兩兩相似，則a,b間的關系一定滿足【D 】
a≥b
B．a≥b
C. a≥b
D．a≥2b
例6 如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求證：
x+z=2y．
　　分析與解 (1)展開原式有
z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0，
　　合并、配方得
(x+z)2-4y(x+z)＋4y2=0，
　　即 (x+z-2y)2=0，
　　所以 x+z＝2y．
　　(2)如果看已知條件：
(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，
　　很像二次方程根的判別式b2-4ac的形式，因此，可聯想到方程
(x-y)t2＋(z-x)t＋(y-z)＝0(x-y≠0)有二相等實根．由
(x-y)+(z-x)+(y-z)=0
　　可知1是以上方程的根，再由根與系數關系知
　　所以 x+z=2y．
配方法---數學中的重要方法
5．對任意的實數，作代數式，則的最小值為（ C ）．
（A） （B） （C） （D）0
6用配方法解方程：．
7已知x1，x2 是關于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的兩個實數根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的兩直角邊的長，問當實數m，p滿足什么條件時，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值．
解：（1） 原方程變為：x2－（m + 2）x + 2m = p2－（m + 2）p + 2m，
∴ x2－p2－（m + 2）x +（m + 2）p = 0，
（x－p）（x + p）－（m + 2）（x－p）= 0，
即 （x－p）（x + p－m－2）= 0，
∴ x1 = p， x2 = m + 2－p．
（2）∵ 直角三角形的面積為=
=
=，
∴ 當且m＞－2時，以x1，x2為兩直角邊長的直角三角形的面積最大，最大面積為或．
8．設、均為實數，代數式的最小值為 3 ．
活力非凡的韋達定理
8已知是關于的一元二次方程的兩個實數根，且— —=115
(1)求k的值；（2）求++8的值。
1）∵x，x是方程x-6x+k=0的兩個根
∴x+ x=6 x x=k
∵——=115
∴k—6=115
解得k=11，k=-11
當k=11時=36—4k=36—44＜0 ，∴k=11不合題意
當k=-11時=36—4k=36+44＞0∴k=-11符合題意
∴k的值為—11
（2）x+x=6，xx=-11
而x+x+8=（x+x）—2xx+8=36+2×11+8=66
9．已知是實數，若是關于的一元二次方程的兩個非負實根，則的最小值是____________.
10 a，b為兩個不相等且都不為零的數，同時有
a2＋pa＋q=0，b2+pb＋q=0，
　　
　　分析與解 由已知條件，聯想到方程根的定義，a，b是方程x2＋px+q=0的兩個根，由a，b不為零，有
　　　
　　3．設，是方程的兩個實數根，則=（ B ）
(A)－29 (B) －19 (C) －15 (D) －9
16.設是方程的兩個實根，當為何值時，有最小值？并求這個最小值。
16.由題意知方程有實根，Δ≥0.　有≥0，則≤.
又由根與系數關系，得.
.從而，.
于是，當時，取得最小值，且最小值為.
15義烏市是一個“車輪上的城市”，截止2007年底全市汽車擁有量為114508輛．己知
2005年底全市汽車擁有量為72983輛．請解答如下問題：
（1）2005年底至2007年底我市汽車擁有量的年平均增長率？（結果精確到0.1％）
（2）為保護城市環境，要求我市到2009年底汽車擁有量不超過158000輛，據估計從2007年底起，此后每年報廢的汽車數量是上年底汽車擁有量的4％，那么每年新增汽車數量最多不超過多少輛？（假定每年新增汽車數量相同，結果精確到個位）
（1）設年平均增長率為，根據題意得：
解得， (不合題意，舍去)
∴所求的年平均增長率約為.
（2）設每年新增汽車為輛，根據題意得：
解得
∴每年新增汽車最多不超過輛.

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