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專題03 分式及二次根式
代數(shù)式有意義時，應(yīng)滿足的條件為（ ）
A． B． C． D．≤-1
【答案】B
【分析】根據(jù)分式分母不為0及二次根式中被開方數(shù)大于等于0即可求解．
【詳解】解：由題意可知：，
∴，
故選：B．
2.當(dāng)時，下列分式?jīng)]有意義的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由分式有意義的條件分母不能為零判斷即可.
【詳解】
,當(dāng)x=1時,分母為零,分式無意義.
故選B.
3.如果把分式中的x，y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（ ）
A．縮小3倍 B．不變 C．?dāng)U大3倍 D．?dāng)U大9倍
【答案】C
【分析】把分式中的x，y都擴(kuò)大3倍，化簡后與原式比較即可．
【詳解】把分式中的x，y都擴(kuò)大3倍，得
，
∴分式的值擴(kuò)大3倍．
故選C．
4.下列分式中，是最簡分式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時叫最簡分式，逐一判斷即可．
【詳解】
A． ，不是最簡分式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B． ，不是最簡分式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C． ，不是最簡分式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D． 是最簡分式，故本選項(xiàng)符合題意．
故選D．
5.如果m+n＝1，那么代數(shù)式(+) (m2﹣n2)的值為(　　)
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】D
【解析】原式化簡后，約分得到最簡結(jié)果，把已知等式代入計(jì)算即可求出值。
解：原式＝ (m+n)(m﹣n)＝ (m+n)(m﹣n)＝3(m+n)，
當(dāng)m+n＝1時，原式＝3．故選：D．
6.先化簡，再求值：其中
【答案】，
【分析】利用分式的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．
【詳解】解：原式
=
將代入得原式．
7.先化簡再求值：，其中．
【答案】；1
【分析】先把分式化簡后，再把的值代入求出分式的值即可．
【詳解】原式
當(dāng)時，原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練分解因式是解題的關(guān)鍵．
8.先化簡，然后從，0，1三個數(shù)中選擇一個合適的數(shù)作為a的值代入求值．
【答案】，當(dāng)時，原式
【分析】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．先算括號內(nèi)的式子，再算括號外的式子，然后從，0，1三個數(shù)中選擇一個使得原分式有意義的值代入化簡后的式子計(jì)算即可．
【詳解】解：
，
當(dāng)或1時，原分式無意義，
，
當(dāng)時，原式．
9.先化簡，再求值：，其中
【答案】，
【分析】先將括號的式子通分化簡，再將除法變?yōu)槌朔ǎ闷椒讲罟交啠賹⒋肭蠼饧纯桑?br/>【詳解】解：
，
當(dāng)時，原式．
10.觀察以下等式：
第1個等式：＝+，
第2個等式：＝+，
第3個等式：＝+，
第4個等式：＝+，
第5個等式：＝+，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個等式： ；
(2)寫出你猜想的第n個等式： (用含n的等式表示)，并證明．
【答案】；
【解析】解：(1)第6個等式為：＝+，
故答案為：＝+；
(2)＝+
證明：∵右邊＝+==＝左邊．∴等式成立
一：分式的有關(guān)概念
基礎(chǔ)知識：
分式有意義的條件是分母不為零；分式無意義的條件是分母等于零；分式值為零的條件是分子為零且分母不為零．
注意：
分式有意義的條件是分母不為0，無意義的條件是分母為0．
分式值為0要滿足兩個條件，分子為0，分母不為0．
二：分式的性質(zhì)
基礎(chǔ)知識：
分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示為
注意：
分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形都不得與此相違背，否則分式的值改變；
將分式化簡，即約分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多項(xiàng)式，要先將它們分別分解因式，然后再約分，約分應(yīng)徹底；
巧用分式的性質(zhì)，可以解決某些較復(fù)雜的計(jì)算題，可應(yīng)用逆向思維，把要求的算式和已知條件由兩頭向中間湊的方式來求代數(shù)式的值．
三：分式的加減運(yùn)算
加減法法則：① 同分母的分式相加減：分母不變，分子相加減
② 異分母的分式相加減：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p ．
注意：
1．分式加減運(yùn)算的運(yùn)算法則：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．
2.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應(yīng)確定幾個分式的最簡公分母．求最簡公分母的方法是：①將各個分母分解因式；②找各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次數(shù)最高的，滿足②③的因式之積即為各分式的最簡公分母．
四：分式的乘除運(yùn)算
1．乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．
2．除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．
注意：分式乘除法的運(yùn)算與因式分解密切相關(guān)，分式乘除法的本質(zhì)是化成乘法后，約去分式的分子分母中的公因式，因此往往要對分子或分母進(jìn)行因式分解（在分解因式時注意不要出現(xiàn)符號錯誤），然后找出其中的公因式，并把公因式約去．
要出現(xiàn)符號錯誤），然后找出其中的公因式，并把公因式約去．
五：分式的混合運(yùn)算
基礎(chǔ)知識：在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，進(jìn)行約分化簡，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．若有括號，先算括號里面的．靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡分式或整式．
注意：注意運(yùn)算順序，計(jì)算準(zhǔn)確．
1.計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分式的加法運(yùn)算可進(jìn)行求解．
【詳解】解：原式；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
計(jì)算 ．
【答案】6
【分析】利用二次根式的乘法法則進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：．
故答案為：6．
若分式的值是正整數(shù)，則整數(shù)的值是______．
【答案】0，
【分析】
根據(jù)題意，分式的值是正整數(shù)，可知，分式的分母為1或-1，據(jù)此解得的值，最后驗(yàn)根即可．
【詳解】
解：分式的值是正整數(shù)，，
∴為小于2的整數(shù)，
或
或
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)或，分母，
或
故答案為：或．
4.若，則__________．
【答案】
【分析】
中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，再根據(jù)，代入化簡即可得到結(jié)果．
【詳解】
解：
故答案為：-2
5.先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先計(jì)算括號內(nèi)的加法，再計(jì)算除法運(yùn)算得到最簡結(jié)果，代入數(shù)值計(jì)算即可．
【詳解】解：
．
當(dāng)時，原式．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
6.先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先計(jì)算括號內(nèi)的加法，再計(jì)算除法運(yùn)算得到最簡結(jié)果，代入數(shù)值計(jì)算即可．
【詳解】解：
．
當(dāng)時，原式．
7.化簡求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查分式的化簡求值，先將括號內(nèi)式子通分，變分式除法為分式乘法，再約分化簡，最后將代入求值即可．
【詳解】解：
，
將代入，原式．
8.化簡求值：，其中．
【答案】，
【分析】本題考查分式的化簡求值，先將括號內(nèi)式子通分，變分式除法為分式乘法，再約分化簡，最后將代入求值即可．
【詳解】解：
，
將代入，原式．
9.已知
（1）化簡A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后約分化簡即可；
（2）先把式子移項(xiàng)求，然后整體代入，進(jìn)行二次根式乘法運(yùn)算即可．
【詳解】解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴．
10.已知．
(1)化簡；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）先計(jì)算括號內(nèi)分式減法運(yùn)算，然后將除法轉(zhuǎn)換成乘法進(jìn)行約分化簡即可；
（）由，得，，然后代入求值即可；
本題考查了利用公式法進(jìn)行因式分解，分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算順序和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：，
，
；
（2）∵，
∴，
∴，，
∴原式．
11.先化簡，再求值：，其中，從中選一個你喜歡的整數(shù)代入求值．
【答案】；當(dāng)時，原式；當(dāng)，原式
【分析】本題主要考查分式的化簡求值：根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則把原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件確定a的值，代入計(jì)算即可
【詳解】解：
；
∵，且a為整數(shù)，
∴時沒有意義，或2；
當(dāng)時，原式；當(dāng)，原式
1.（2024·廣東廣州·三模）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，，分式的加減，合并同類項(xiàng)計(jì)算即可．
本題考查了二次根式的性質(zhì)，冪的乘方，分式的加減，合并同類項(xiàng)，熟練掌握公式和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】A. ，錯誤，不符合題意；
B. ，錯誤，不符合題意；
C. ，錯誤，不符合題意；
D. ，正確，符合題意；
故選D．
2.（2024·廣東廣州·二模）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次根式的除法，減法，化簡二次根式，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
分別利用二次根式的的除法，減法，化簡二次根式的方法進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、，故本選項(xiàng)符合題意；
D、，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
3.（2024·廣東廣州·一模）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次根式的運(yùn)算，根據(jù)二次根式的加減，乘法計(jì)算，然后逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A．與不是同類二次根式，不可以合并，故運(yùn)算錯誤；
B．，故原運(yùn)算錯誤；
C．5與不是同類二次根式，不可以合并，故運(yùn)算錯誤；
D．，故原運(yùn)算正確，
故選：D．
（2024·廣東東莞·一模）下列是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查最簡二次根式的識別，最簡二次根式需滿足被開方數(shù)不含有分母，被開方數(shù)不含有開得盡方的因數(shù)或因式，根據(jù)定義逐一判斷即可．
【詳解】解：是最簡二次根式，故A選項(xiàng)正確；
中被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，故B選項(xiàng)錯誤；
中二次根式位于分母位置，不是最簡二次根式，故C選項(xiàng)錯誤；
中被開方數(shù)含有開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故D選項(xiàng)錯誤；
故選A．
（2024·廣東肇慶·二模）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【分析】本題考查了二次根式的乘法，根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】，
故選：B．
（2024·廣東陽江·二模）若要使式子有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【分析】本題考查的知識點(diǎn)為二次根式有意義的條件和分式有意義的條件．根據(jù)二次根式被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范圍．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
解得：且．
故選：B．
（2024·廣東清遠(yuǎn)·二模）要使代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
故選：B．
（2024·廣東廣州·二模）代數(shù)式有意義時，則x應(yīng)滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查二次根式有意義的條件及分式有意義的條件，根據(jù)二次根式及分式有意義的條件求解是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義時被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，分式有意義時分母不為零可求解x的取值范圍．
【詳解】解： 代數(shù)式有意義，
，
．
故選：A．
（2024·廣東廣州·二模）若代數(shù)式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查代數(shù)式有意義的條件，根據(jù)分式的分母不為0，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴；
故選C．
（2024·廣東江門·一模）若x、y為實(shí)數(shù)，且滿足，則的值為（ ）
A．1或 B．1 C． D．無法確定
【答案】B
【分析】此題主要考查了二次根式以及偶次方的性質(zhì)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x，y的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】解：，
，即，
，
，
故選：B．
（2024·廣東佛山·三模）若分式的值為0，則（ ）
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本題考查了分式值為零的條件，根據(jù)題意得出，且，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：，
，且，
，
故選：C．
（2024·廣東深圳·三模）化簡的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查分式的約分，根據(jù)平方差公式和完全平方公式，可得，即可求得答案．
【詳解】
故選：A
（2024·廣東·三模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了分式的化簡求值，由可得，把轉(zhuǎn)化為即可代入求值，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：．
（2024·廣東東莞·一模）化簡的結(jié)果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了分式加減運(yùn)算，根據(jù)同分母分式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
，
故選：D．
（2024·廣東汕頭·二模）已知時，分式無意義；時，分式的值為0，則的值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式無意義的條件、分式的值為0的條件，代數(shù)式求值，根據(jù)分式無意義的條件可得，根據(jù)分式的值為0可得，求出a，b的值，再把a(bǔ)，b的值代入代數(shù)式計(jì)算即可求解，掌握分式無意義的條件、分式的值為的條件是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵當(dāng)時，分式無意義，
∴，
解得：，
當(dāng)時，分式的值為0，
即，
解得：，
∴，
故選：D．
（2024·廣東珠海·一模）化簡的結(jié)果是（ ）
A．0 B．1 C．a(chǎn) D．
【答案】B
【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先將分子分母因式分解，然后先計(jì)算分式的乘法，再計(jì)算加法即可．
【詳解】解：
，
故選B．
（2024·廣東廣州·一模）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了異分母分式的加法，先通分，再計(jì)算加法即可．
【詳解】解：，
故選：A．
（2024·廣東陽江·一模）已知，計(jì)算的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【分析】本題考查了分式的化簡求值，
首先由得到，然后根據(jù)分式的混合運(yùn)算化簡，進(jìn)而求解即可．
【詳解】∵
∴
．
故選：A．
1.下列各式從左到右的變形正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)分式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)判斷．
【詳解】
解：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，無論是把分式的分子和分母擴(kuò)大還是縮小相同的倍數(shù)，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一項(xiàng)，且擴(kuò)大（縮小）的倍數(shù)不能為0，故B錯誤．
同時在分式的變形中，還要注意符號法則，即分式的分子、分母及分式的符號，只有同時改變兩個其值才不變，故C、D也錯誤．
故選：A．
2.若，則下列分式化簡正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)a≠b，可以判斷各個選項(xiàng)中的式子是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】
∵a≠b，
∴，選項(xiàng)A錯誤；
，選項(xiàng)B錯誤；
，選項(xiàng)C錯誤；
，選項(xiàng)D正確；
故選：D．
3.若分式的值不存在，則__________．
【答案】-1
【分析】
根據(jù)分式無意義的條件列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．
【詳解】
∵分式的值不存在，
∴x+1=0，
解得：x=-1，
故答案為：-1．
4.分式與的最簡公分母是_______，方程的解是____________．
【答案】 x=-4
【分析】
根據(jù)最簡公分母的定義得出結(jié)果，再解分式方程，檢驗(yàn)，得解．
【詳解】
解：∵，
∴分式與的最簡公分母是，
方程，
去分母得：，
去括號得：，
移項(xiàng)合并得：，變形得：，
解得：x=2或-4，
∵當(dāng)x=2時，=0，當(dāng)x=-4時，≠0，
∴x=2是增根，
∴方程的解為：x=-4．
5.若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．
【答案】x＞3
【分析】
本題考查二次根式是否有意義以及分式是否有意義，按照對應(yīng)自變量要求求解即可．
【詳解】
因?yàn)槎胃接幸饬x必須滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)
所以有．
又因?yàn)榉质椒帜覆粸榱?br/>所以．
故綜上：＞
則：．
故答案為：x＞3
6.下面是小明化簡分式的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)：
解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步
【任務(wù)一】填空：
①以上化簡步驟中，第一步變形使用的方法是______；
②第_____步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是_____；
③第_____步開始出現(xiàn)錯誤．
【任務(wù)二】請直接寫出正確的化簡結(jié)果：_____．
【答案】任務(wù)一：①公式法分解因式；②三，分式的基本性質(zhì)；③四；任務(wù)二：
【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行化簡．
【詳解】解：
任務(wù)一：①第一步變形使用的方法是公式法分解因式；
②第三步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)；
③第四步開始出現(xiàn)錯誤；
任務(wù)二：
解：原式＝
．
故答案為：任務(wù)一：①公式法分解因式；②三，分式的基本性質(zhì)；③四；任務(wù)二：．
7.（2024·廣東江門·三模）下面是小明進(jìn)行分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
任務(wù)一：
①以上化簡步驟中，第 步是通分，通分的依據(jù)是（ ）
A．分式的基本性質(zhì) B．等式的性質(zhì) C．乘法分配律
②第 步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是：
任務(wù)二：直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果：
【答案】任務(wù)一：①一，A； ②三，去括號時運(yùn)算符號未改變；任務(wù)二：
【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．
（1）①根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可作出判斷；②根據(jù)去括號規(guī)則即可作出判斷；
（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則解答即可
【詳解】解：任務(wù)一：①以上化簡步驟中，第一步是通分，通分的依據(jù)是：分式的基本性質(zhì)；
②第三步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是：去括號時運(yùn)算符號未改變；
故答案為：①一，A； ②三，去括號時運(yùn)算符號未改變
任務(wù)二：
故答案為：
8.先化簡，再求值：，其中a=2．
【答案】，1．
【分析】先將分式進(jìn)行化簡，再把a(bǔ)的值代入化簡的結(jié)果中求值即可．
【詳解】
當(dāng)a=2時，原式．
9.化簡：．
【答案】
【分析】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，原式先將括號內(nèi)的進(jìn)行通分計(jì)算，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法約分后即可得到結(jié)果
【詳解】解：
10.（2024·廣東揭陽·二模）以下是某同學(xué)化簡分式的部分運(yùn)算過程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
(1)上面第二步計(jì)算中，中括號里的變形的依據(jù)是________；
(2)上面的運(yùn)算過程中第________步出現(xiàn)了錯誤；
(3)請你從出錯的那一步開始把解題過程補(bǔ)充完整．
【答案】(1)分式的基本性質(zhì)
(2)三
(3)見解析
【分析】本題主要考查了分式的混合計(jì)算：
（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)填寫即可；
（2）觀察可知，上面的運(yùn)算過程中第三步計(jì)算減法的時候第二個分式的分子中的符號沒有變號；
（3）根據(jù)分式的運(yùn)算法則，先乘除，后加減，有括號的先算括號內(nèi)的．
【詳解】（1）解：上面第二步計(jì)算中，中括號里的變形是通分，其依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，
故答案為：分式的基本性質(zhì)；
（2）解：觀察可知，上面的運(yùn)算過程中第三步出現(xiàn)錯誤，原因是計(jì)算減法的時候第二個分式的分子中的符號沒有變號，
故答案為：三；
（3）解：原式

11.（2024·廣東河源·二模）已知，，且，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，等式的基本性質(zhì)，用平方差公式分解因式等知識點(diǎn)，能正確根據(jù)分式和等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．先根據(jù)分式的進(jìn)行性質(zhì)等式的兩邊都乘得出，去括號，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得出再根據(jù)平方差公式分解因式，最后求出答案即可．
【詳解】證明：，
等式的兩邊都乘，得，
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
即．
12.（2024·廣東廣州·二模）已知
(1)化簡A；
(2)若，求A的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查異分母分式的減法運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；
（1）通分，化成同分母，進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算a的值，代入（1）中結(jié)果進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：
（2）
∴原式
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專題03 分式及二次根式
代數(shù)式有意義時，應(yīng)滿足的條件為（ ）
A． B． C． D．≤-1
2.當(dāng)時，下列分式?jīng)]有意義的是（ ）
A． B． C． D．
3.如果把分式中的x，y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（ ）
A．縮小3倍 B．不變 C．?dāng)U大3倍 D．?dāng)U大9倍
4.下列分式中，是最簡分式的是(　　)
A． B． C． D．
5.如果m+n＝1，那么代數(shù)式(+) (m2﹣n2)的值為(　　)
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6.先化簡，再求值：其中
7.先化簡再求值：，其中．
8.先化簡，然后從，0，1三個數(shù)中選擇一個合適的數(shù)作為a的值代入求值．
9.先化簡，再求值：，其中
10.觀察以下等式：
第1個等式：＝+，
第2個等式：＝+，
第3個等式：＝+，
第4個等式：＝+，
第5個等式：＝+，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
(1)寫出第6個等式： ；
(2)寫出你猜想的第n個等式： (用含n的等式表示)，并證明．
一：分式的有關(guān)概念
基礎(chǔ)知識：
分式有意義的條件是分母不為零；分式無意義的條件是分母等于零；分式值為零的條件是分子為零且分母不為零．
注意：
分式有意義的條件是分母不為0，無意義的條件是分母為0．
分式值為0要滿足兩個條件，分子為0，分母不為0．
二：分式的性質(zhì)
基礎(chǔ)知識：
分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變．用式子表示為
注意：
分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形都不得與此相違背，否則分式的值改變；
將分式化簡，即約分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多項(xiàng)式，要先將它們分別分解因式，然后再約分，約分應(yīng)徹底；
巧用分式的性質(zhì)，可以解決某些較復(fù)雜的計(jì)算題，可應(yīng)用逆向思維，把要求的算式和已知條件由兩頭向中間湊的方式來求代數(shù)式的值．
三：分式的加減運(yùn)算
加減法法則：① 同分母的分式相加減：分母不變，分子相加減
② 異分母的分式相加減：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p ．
注意：
1．分式加減運(yùn)算的運(yùn)算法則：同分母分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．
2.異分母分式通分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)，通分時應(yīng)確定幾個分式的最簡公分母．求最簡公分母的方法是：①將各個分母分解因式；②找各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次數(shù)最高的，滿足②③的因式之積即為各分式的最簡公分母．
四：分式的乘除運(yùn)算
1．乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．
2．除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．
注意：分式乘除法的運(yùn)算與因式分解密切相關(guān)，分式乘除法的本質(zhì)是化成乘法后，約去分式的分子分母中的公因式，因此往往要對分子或分母進(jìn)行因式分解（在分解因式時注意不要出現(xiàn)符號錯誤），然后找出其中的公因式，并把公因式約去．
要出現(xiàn)符號錯誤），然后找出其中的公因式，并把公因式約去．
五：分式的混合運(yùn)算
基礎(chǔ)知識：在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，進(jìn)行約分化簡，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．若有括號，先算括號里面的．靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡分式或整式．
注意：注意運(yùn)算順序，計(jì)算準(zhǔn)確．
1.計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
2計(jì).算 ．
3.若分式的值是正整數(shù)，則整數(shù)的值是______．
4.若，則__________．
5.先化簡，再求值：，其中．
6.先化簡，再求值：，其中．
7.化簡求值：，其中．
8.化簡求值：，其中．
9.已知
（1）化簡A；
（2）若，求A的值．
10.已知．
(1)化簡；
(2)若，求的值．
11.先化簡，再求值：，其中，從中選一個你喜歡的整數(shù)代入求值．
1.（2024·廣東廣州·三模）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2024·廣東廣州·二模）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B．C． D．
3.（2024·廣東廣州·一模）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2024·廣東東莞·一模）下列是最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5.（2024·廣東肇慶·二模）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A． B． C．5 D．6
6.（2024·廣東陽江·二模）若要使式子有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B．且
C． D．且
7.（2024·廣東清遠(yuǎn)·二模）要使代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8.（2024·廣東廣州·二模）代數(shù)式有意義時，則x應(yīng)滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
9.（2024·廣東廣州·二模）若代數(shù)式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是（ ）
A． B． C． D．
10.（2024·廣東江門·一模）若x、y為實(shí)數(shù)，且滿足，則的值為（ ）
A．1或 B．1 C． D．無法確定
11.（2024·廣東佛山·三模）若分式的值為0，則（ ）
A．0 B． C．2 D．
12（2024·廣東深圳·三模）化簡的結(jié)果為（ ）
A． B． C． D．
13.（2024·廣東·三模）已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
14.（2024·廣東東莞·一模）化簡的結(jié)果是（　　）
A． B． C． D．
15.（2024·廣東汕頭·二模）已知時，分式無意義；時，分式的值為0，則的值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
16.（2024·廣東珠海·一模）化簡的結(jié)果是（ ）
A．0 B．1 C．a(chǎn) D．
17.（2024·廣東廣州·一模）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
18.（2024·廣東陽江·一模）已知，計(jì)算的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
1.下列各式從左到右的變形正確的是（　　）
A． B． C． D．
2.若，則下列分式化簡正確的是（ ）
A． B． C． D．
3.若分式的值不存在，則__________．
4.分式與的最簡公分母是_______，方程的解是____________．
5.若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是_____．
6.下面是小明化簡分式的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)：
解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步
【任務(wù)一】填空：
①以上化簡步驟中，第一步變形使用的方法是______；
②第_____步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是_____；
③第_____步開始出現(xiàn)錯誤．
【任務(wù)二】請直接寫出正確的化簡結(jié)果：_____．
7.（2024·廣東江門·三模）下面是小明進(jìn)行分式化簡的過程，請認(rèn)真閱讀并完成任務(wù)．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
任務(wù)一：
①以上化簡步驟中，第 步是通分，通分的依據(jù)是（ ）
A．分式的基本性質(zhì) B．等式的性質(zhì) C．乘法分配律
②第 步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是：
任務(wù)二：直接寫出該分式化簡后的正確結(jié)果：
8.先化簡，再求值：，其中a=2．
9.化簡：．
10.（2024·廣東揭陽·二模）以下是某同學(xué)化簡分式的部分運(yùn)算過程：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
(1)上面第二步計(jì)算中，中括號里的變形的依據(jù)是________；
(2)上面的運(yùn)算過程中第________步出現(xiàn)了錯誤；
(3)請你從出錯的那一步開始把解題過程補(bǔ)充完整．
11.（2024·廣東河源·二模）已知，，且，求證：．
12.（2024·廣東廣州·二模）已知
(1)化簡A；
(2)若，求A的值．
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