資源簡介

第六章 幾何圖形初步
6.3.1 角的概念
【學習目標】
1.在現實情境中，理解角的兩種定義和相關概念，掌握角的表示方法.
2.會正確使用量角器測量角的大小.
3.認識角的單位，會進行度、分、秒之間的換算和角度換算.
4.提高學生識圖能力，學會用運動變化的觀點看問題.
【學習重難點】
度、分、秒及其換算
【學習過程】
課程導入
以前我們曾經認識過角，你們能從下面的圖形中指出哪些地方是角嗎？
新知探究
1.我們已經了解了生活中“角”的形象，那么什么樣的圖形才是角呢？
有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，
這個公共端點是角的頂點，
這兩條射線是角的兩條邊.
2.如圖，如何表示這個角？
角用符號“∠”來表示.
(1) 用三個大寫字母：∠AOB 或∠BOA ，或用一個大寫字母：∠O．
注意：1.用三個大寫字母表示時，中間字母是頂點字母，另外兩
個字母順序可以調換；
2.用一個大寫字母表示時，頂點處只能有一個角.
(2) 頂點處必須畫弧線，并標上數字或希臘字母.
注意：這兩種方法必須在圖上標注后才能使用，并且只能表示單獨的一個角.
3.如圖，能把∠α記作∠O嗎？為什么？∠α還可以怎樣表示？
明確：不能把∠α記作∠O.
理由：當頂點處只有一個角時，才能只用表示頂點的一個字母表示這個角，否則分不清這個字母究竟表示的是哪一個角.
∠α還可以表示為∠AOB.
4.角也可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的圖形.（PPT展示）
思考：射線OA繞端點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，形成什么角？繼續旋轉，OB和OA重合時，又形成什么角
①一條射線繞它的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，在本問題中，也就是OB和OA成一條直線時，所成的角叫作平角.（PPT展示）
②射線 OA繞點O 旋轉360度后，回到原來的位置，終邊與始邊重合時，所成的角叫做周角.（PPT展示）
需要提醒的是：平角和周角都是角不是“線”，因此不能說“一條直線就是平角”，也不能說“一條射線就是周角”.
歸納總結
角的概念：
(1) 靜態：角由兩條具有公共端點的射線組成.
(2) 動態：角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的.
注意：
(1) 頂點、兩邊是構成角的兩個要素.
每個角都有兩條邊，這兩條邊都是射線；
角的兩邊有公共端點，即頂點.
(2) 角的大小與邊的長短無關，只與構成角的兩邊張開的幅度有關.
鞏固練習
1.角是( )
A.兩條直線組成的圖形 B.兩條射線組成的圖形
C.兩條線段組成的圖形 D.兩條有公共端點的射線組成的圖形
2.小明用一個10倍放大鏡觀察紙上10°的角，他看到的角的度數是( )
A. 10° B.20° C.100° D.無法確定
3.下列說法正確的是( )
A.平角是一條直線 B.反向延長射線0A就得到一個平角
C.周角是一條射線 D.畫一條射線就是一個周角
4.下列四個圖中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角的是( )
5.如圖，下列說法正確的是( )
A.∠1與∠AOC表示同一個角
B. ∠AOC也可以用∠O表示
C.圖中共有三個角: ∠AOB， ∠AOC和∠BOC.
D.∠β表示的是∠AOC
6.觀察圖形，解答下列問題：
(1)寫出能用一個字母表示的角；
(2)寫出以點B為頂點的角；
(3)圖中共有多少個角小于180°
歸納總結
新知探究
1.我們常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量單位.
如圖，把一個周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；
把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，記作1′；
把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，記作1″.
與計量時間的時、分、秒一樣，角的度、分、秒也是六十進制的，六十進制起源于四大文明古國之一的古巴比倫.
2. 1周角= °，1平角= °，
1°= ′， 1′= ″，
1″= ′， 1′= °，
1°= ″， 1″= °.
如：∠α的度數是48度56分37秒，記作∠α =48°56′ 37"
歸納總結
3. 借助三角尺，可以畫出30°，45°，60°，90°等特殊角；借助量角器，可以畫出任何給定度數(如36°，108°)的角.
如圖，已知∠AOB，用量角器量出它的度數.
4.以度、分、秒為單位的角的度量制，叫作角度制.
此外，還有其他度量角的單位制.
例如，以后將要學到的以弧度為基本度量單位的弧度制，
在軍事上經常使用的角的密位制，等等.
典例解析
例1 如圖(1)，貨輪O在航行過程中，發現燈塔A在它南偏東60°的方向上.同時，在它北偏東40°、南偏西10°、西北(北偏西45°)方向上又分別發現了客輪B、貨輪C和海島D.仿照表示燈塔方位的方法，畫出表示客輪B、貨輪C和海島D方向的射線.
在航行、測繪等工作中，經常以正北，正南方向為基準，描述物體運動的方向，如“北偏東30°”“南偏西 25°”
解：以點O為頂點，表示正北方向的射線為角的一邊，畫40°的角，使它的另一邊 OB落在東與北之間，射線OB的方向就是北偏東40°(圖(2))，即客輪B所在的方向.
類似地，請你在圖(2)上畫出表示貨輪O和海島D方向的射線.
提醒：1.在同一個問題中，以不同的觀測點看同一個目標時，都必須在不同的觀測點畫出東、西、南、北四條方向線，然后判斷目標方向。
2.解答與表示方向的角有關的問題時，需要找準中心，正確從圖中畫出表示方向的角.
鞏固練習
1. 填空:
(1)5400″=______°； (2)25.72°=_____°______′______″； (3)45°12′36″=________°.
2.將0.25°用分表示為( )
A.15′ B.25′ C.30′ D.45′
3.已知∠α=39°18′，∠β=39.18°，∠γ=39.3°，下面結論正確的是( )
A.∠α＜∠γ＜∠β B.∠γ＞∠a=∠β
C.∠a=∠γ＞∠β D.∠γ＜∠a＜∠β
4.填空：(1)15°=______′=_______″；
(2)35.54°=______°______′_______″(3)74°19′30″=_________°.
課堂練習（教材）
1. 6時整，鐘表的時針和分針構成多少度的角？8時呢？8時30分呢？
點撥：根據每相鄰的兩個數字之間間隔30°，計算分針與時針的夾角。
解：180°，120°，75°.
2.根據圖中信息填寫下表，將表中的角用其他方法表示出來.
3. (1)35°等于多少分 等于多少秒？
(2)38°15′和38.15°相等嗎？如不相等，哪一個大？
解 ：(1) 35°=35 × 60'=2 100′；
35°=35 × 3 600"=126 000".
(2) 38°15'和38.15°不相等，38°15'=38.25°>38.15°
所以38°15'大.
4.從蜂巢的入口處看，蜂巢由許多正六邊形(六條邊相等，六個角也相等)構成，按圖示的方法，利用三角尺和圓規畫出一個正六邊形.
解：作法如下：
①任意畫一個圓；
②以圓心為 頂點，連續畫60°的角，與圓相交于六個點；
③順次連接六個點，即可得到正六邊形.
隨堂檢測
1.若分針指向12，時針這時恰好與分針成60°的角，則此時是( )
A.9時 B.10時 C.4時或8時 D.2時或10時
2.下午3時40分，時針與分針所成的角度為_______.
3.(1)已知0為直線AB上一點.如圖①，畫出射線OC，則圖中共有____個角(除平角外) ；
(2)如圖②，畫出射線0C，0D，則圖中共有____個角( 除平角外)；
(3)如圖③，畫出射線OC，OD，OE，則圖中共有_____個角(除平角外)；
(4)若在直線AB上方畫10條以O為端點的射線，則圖中共有多少個角(除平角外)
4. (1) 求上午10時30分，鐘面上時針和分針的夾角；
(2) 在上午10時30分到11時之間，時針和分針何時成直角
5.觀察圖形，思考:
(1)如圖①，在∠AOB內部畫1條射線OC，則圖中共有多少個不同的角？
(2)如圖②，在∠AOB內部畫2條射線OC，OD，則圖中共有多少個不同的角？
(3)若在∠AOB內部畫3條射線，則共有多少個不同的角？畫n條射線呢？
課堂總結
角的概念：角由兩條具有公共端點的射線組成角也可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而成的
角的表示方法:
角的度量和換算：單位：度、分、秒.
方向角

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