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專題4 一次方程（組）與不等式
1.如圖，根據圖中的信息，可得正確的方程是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根據圓柱體的體積計算公式結合水的體積不變，即可得出關于的一元一次方程，此題得解．依題意，得：．
故選：B．
2.一商店以每件150元的價格賣出兩件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，則商店賣這兩件商品總的盈虧情況是(　　)
A．虧損20元 B．盈利30元 C．虧損50元 D．不盈不虧
【答案】A
【解答】解：設盈利的商品的進價為x元，虧損的商品的進價為y元，
根據題意得：150﹣x＝25%x，150﹣y＝﹣25%y，
解得：x＝120，y＝200，∴150+150﹣120﹣200＝﹣20(元)．
故選：A．
3.某車間有26名工人，每人每天可以生產800個螺釘或1000個螺母，1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套．設安排x名工人生產螺釘，則下面所列方程正確的是(　　)
A．2×1000(26﹣x)=800x B．1000(13﹣x)=800x
C．1000(26﹣x)=2×800x D．1000(26﹣x)=800x
【答案】C
【詳解】題目已經設出安排x名工人生產螺釘，則(26﹣x)人生產螺母，由一個螺釘配兩個螺母可知螺母的個數是螺釘個數的2倍從而得出等量關系，就可以列出方程．由題意得1000(26﹣x)=2×800x，
故選C。
4.張三經營了一家草場，草場里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數減去11根，就等于七捆下等草的根數；賣七捆上等草的根數減去25根，就等于五捆下等草的根數．設上等草一捆為根，下等草一捆為根，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據“賣五捆上等草的根數減去11根，就等于七捆下等草的根數；賣七捆上等草的根數減去25根，就等于五捆下等草的根數．”列出方程組，即可求解．
【詳解】解：設上等草一捆為根，下等草一捆為根，根據題意得：
．
故選：C
5.設a，b，c，d為實數，現規定一種新的運算=ad﹣bc，則滿足等式=1的x的值為　　　　　　．
【答案】-10
【解析】解：根據題中的新定義得：，
去分母得：3x-4x-4=6，移項合并得：-x=10，
解得：x=-10，故答案為：-10．
6.二元一次方程組的解為 ．
【答案】
【分析】由加減消元法或代入消元法都可求解．
【詳解】解：，
由①式得： ，代入②式，
得： ，
解得 ，
再將代入①式，
，
解得 ，
∴ ，
故填：．
7.解方程組
【答案】
【分析】利用代入消元法求解方程即可．
【詳解】解：
把①代入②得
，
解得
把代入①得
所以方程組的解為：．
8.快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件，快遞員的提成取決于送生數和攬件數．某快遞公司快遞員小李若平均每天的送件數和攬件數分別為120件和30件，則他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件數和攬件數分別為140件和25件，則他平均每天的提成是260元．求快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是多少元？
【答案】快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成分別為元和元
【分析】本題考查二元一次方程組的實際應用，設快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成分別為元和元，根據平均每天的送件數和攬件數分別為120件和30件，則他平均每天的提成是240元；平均每天的送件數和攬件數分別為140件和25件，則他平均每天的提成是260元；列出方程組進行求解即可．
【詳解】解：設快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成分別為元和元，由題意，得：
，解得：；
答：快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成分別為元和元．
9.甲乙兩人在一環形場地上鍛煉，甲騎自行車，乙跑步，甲比乙每分鐘快，兩人同時從起點同向出發，經過兩人首次相遇，此時乙還需跑才能跑完第一圈．
(1)求甲、乙兩人的速度分別是每分鐘多少米？(列方程或者方程組解答)
(2)若兩人相遇后，甲立即以每分鐘的速度掉頭向反方向騎車，乙仍按原方向繼續跑，要想不超過兩人再次相遇，則乙的速度至少要提高每分鐘多少米？
【答案】(1)甲的速度是每分鐘350米，乙的速度是每分鐘150米；
(2)乙的速度至少要提高每分鐘50米．
【解析】解：(1)設乙的速度是每分鐘米，則甲的速度是每分鐘米，依題意有：
，
解得，．
答：甲的速度是每分鐘350米，乙的速度是每分鐘150米．
(2)
(米，
(米．
答：乙的速度至少要提高每分鐘50米．
10.某文具店準備購進甲、乙兩種圓規，若購進甲種圓規10個，乙種圓規30個，需要340元；若購進甲種圓規30個，乙種圓規50個，需要700元．
(1)求購進甲、乙兩種圓規的單價各是多少元；
(2)文具店購進甲、乙兩種圓規共100個，每個甲種圓規的售價為15元，每個乙種圓規的售價為12元，銷售這兩種圓規的總利潤不低于480元，那么這個文具店至少購進甲種圓規多少個？
【答案】(1)購進甲圓規每個需要10元，乙圓規每個需要8元
(2)這個文具店至少購進甲種圓規80個
【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，不等式的應用，解題的關鍵是：
（1）設購進甲圓規每個需要x元，乙圓規每個需要y元，根據“若購進甲種圓規10個，乙種圓規30個，需要340元；若購進甲種圓規30個，乙種圓規50個，需要700元”，可列關于x、y的二元一次方程組，求解即可；
（2）設購進甲圓規m個，則購進乙圓規個，根據“銷售這兩種圓規的總利潤不低于480元”列出關于m的不等式，求解即可．
【詳解】（1）解：設購進甲圓規每個需要x元，乙圓規每個需要y元，
根據題意，得，
解得，
答：購進甲圓規每個需要10元，乙圓規每個需要8元；
（2）解：設購進甲圓規m個，則購進乙圓規個，
根據題意，得，
解得，
答：這個文具店至少購進甲種圓規80個．
等式及其性質
1.等式：用等號“=”來表示相等關系的式子叫等式.
2. 性質：① 如果，那么；
② 如果，那么；如果，那么.
二、一元一次方程
1.方程：含有未知數的等式叫做方程；使方程左右兩邊值相等的未知數的值，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解與解方程不同.
2. 一元一次方程：在整式方程中，只含有一個未知數，并且未知數的次數是1 ，系數不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式為 ax+b=0 .
3. 解一元一次方程的步驟：
①去分母；②去 括號 ；③移項；④合并同類項；⑤系數化為1.
4．一元一次方程的應用
列方程解應用題的一般步驟：
（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．
（2）設元：找出題中的關鍵的未知量，并用字母表示出來．
（3）列方程：挖掘題目中的關系，找出等量關系，列出方程．
（4）求解．
（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．
設元的方法：直接設元與間接設元．
當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數，即為間接設元．、
三、二元一次方程組
1．二元一次方程：含有兩個未知數（元）并且未知數的次數是2的整式方程.
2. 二元一次方程組：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.
3．二元一次方程的解： 適合一個二元一次方程的一組未知數的值叫做這個二元一次方程的一個解，一個二元一次方程有無數個解.
4．二元一次方程組的解： 二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.
5. 解二元一次方程組的方法：
消元是解二元一次方程組的基本思路，方法有代入消元和加減 消元法兩種.
6、列二元一次方程（組）解決實際問題的一般步驟：
（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．
（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．
（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．
（4）求解．
（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．
設元的方法：直接設元與間接設元．
當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數，即為間接設元．無論怎樣設元，設幾個未知數，就要列幾個方程．
（2024·廣東深圳·二模）下列變形，正確的是（ ）
A．由，移項，得
B．由，去括號，得
C．由，合并同類項，得
D．由，去分母得
【答案】C
【分析】本題考查了一元一次方程的解法，注意移項變號、去分母每一項要同時乘以分母的最小公倍數、括號前是“”號，去括號時括號內各項要變號，熟知一元一次方程解題步驟是關鍵．
【詳解】解：
A、原式移項得，移項時未變號；
B、原式去括號得，括號前是“”號，去括號時括號內各項要變號；
C、原式合并同類項正確；
D、原式去分母得，去分母時，每一項要同時乘以分母的最小公倍數．
故選：C ．
2.下列由等式的性質進行的變形，錯誤的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【分析】
根據等式的性質，可得答案．
【詳解】
A．如果a=3，那么，正確，故A不符合題意；
B．如果a=3，那么a2=9，正確，故B不符合題意；
C．如果a=3，那么a2=3a，正確，故C不符合題意；
D．如果a=0時，兩邊都除以a，無意義，故D符合題意．
故選D．
3.《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，一車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車：若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】設有x人，根據車的輛數不變，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【詳解】
解：設有x人，根據車的輛數不變列出等量關系，
每3人共乘一車，最終剩余2輛車，則車輛數為：，
每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，則車輛數為：，
∴列出方程為：．
故選：B．
4.中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一段記載，“三百七十八里關；初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其大意是；有人要去某關口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到關口，則此人第一和第六這兩天共走了(　　)
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
【答案】D
【解析】解：設第六天走的路程為里，則第五天走的路程為里，依此往前推，第一天走的路程為里，
依題意，得：，
解得：．，，
答：此人第一和第六這兩天共走了198里.
故選：D．
5.《九章算術》中有問題：1畝好田是300元，7畝壞田是500元，一人買了好田壞田一共是100畝，花費了10000元，問他買了多少畝好田和壞田？設一畝好田為x畝，一畝壞田為y畝，根據題意列方程組得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設一畝好田為x畝，一畝壞田為y畝，根據7畝壞田是500元可得每畝壞田的價格，根據好田壞田一共是100畝，花費了10000元列方程組即可得答案．
【詳解】設一畝好田為x畝，一畝壞田為y畝，
∵7畝壞田是500元，
∴每畝壞田元，
∵買了好田壞田一共是100畝，花費了10000元，
∴，
故選：B．
6.《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？
【答案】學生人數為7人，該書的單價為53元．
【分析】設學生人數為x人，然后根據題意可得，進而問題可求解．
【詳解】解：設學生人數為x人，由題意得：
，
解得：，
∴該書的單價為（元），
答：學生人數為7人，該書的單價為53元．
7.粵港澳大灣區自動駕駛產業聯盟積極推進自動駕駛出租車應用落地工作，無人化是自動駕駛的終極目標．某公交集團擬在今明兩年共投資9000萬元改裝260輛無人駕駛出租車投放市場．今年每輛無人駕駛出租車的改裝費用是50萬元，預計明年每輛無人駕駛出租車的改裝費用可下降．
（1）求明年每輛無人駕駛出租車的預計改裝費用是多少萬元；
（2）求明年改裝的無人駕駛出租車是多少輛．
【答案】（1）明年每輛無人駕駛出租車的預計改裝費用是25萬元；
（2）明年改裝的無人駕駛出租車是160輛．
【分析】（1）根據今年每輛無人駕駛出租車的改裝費用是50萬元，預計明年每輛無人駕駛出租車的改裝費用可下降，列出式子即可求出答案；
（2）根據“某公交集團擬在今明兩年共投資9000萬元改裝260輛無人駕駛出租車投放市場”列出方程，求解即可．
【詳解】解：（1）依題意得：（萬元）
（2）設明年改裝的無人駕駛出租車是x輛，則今年改裝的無人駕駛出租車是（260-x）輛,依題意得：
解得：
答：（1）明年每輛無人駕駛出租車的預計改裝費用是25萬元；（2）明年改裝的無人駕駛出租車是160輛．
8.（2024·廣東清遠·三模）某工廠接到生產第19屆杭州亞運會吉祥物“江南憶（宸宸、琮琮、蓮蓮）”整套的訂單，工廠安排甲、乙兩個車間共同生產．若甲車間生產5天，乙車間生產3天，則兩個車間的產量一樣多．若甲車間先生產300套“江南憶”，然后兩個車間又各生產4天，則乙車間比甲車間多生產100套“江南憶”．兩車間每天各生產多少套“江南憶”？
【答案】甲車間每天生產150套“江南憶”，乙車間每天生產250套“江南憶”
【分析】題目主要考查二元一次方程組的應用，理解題意列出方程組是解題關鍵．
設甲車間每天生產x套“江南憶”，乙車間每天生產y套“江南憶”，根據題意列出方程組求解即可．
【詳解】解：設甲車間每天生產x套“江南憶”，乙車間每天生產y套“江南憶”，
則可列方程組為，
解得．
答：甲車間每天生產150套“江南憶”，乙車間每天生產250套“江南憶”．
1（2024·廣東廣州·中考真題）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛．設該車企去年5月交付新車輛，根據題意，可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出題目中的數量關系是解題關鍵．設該車企去年5月交付新車輛，根據“今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛”列出方程即可．
【詳解】解：設該車企去年5月交付新車輛，
根據題意得：，
故選：A．
（2024·廣東深圳·中考真題）在明朝程大位《算法統宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組．設該店有客房x間，房客y人；每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房得出方程組即可．
【詳解】解：設該店有客房x間，房客y人；根據題意得：
，
故選：A．
（2024·廣東汕頭·一模）若關于x，y的方程組的解滿足，則的值為（ ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本題考查二次一次方程組含參問題，熟練掌握不等式組的解法是解題的關鍵，利用得：，即可得到，再將，代入即可得到答案．
【詳解】解：
得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
（2024·廣東河源·一模）已知是二元一次方程組的解，則的值為 ．
【答案】7
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，把代入原方程組得，得：即可．注意整體思想的應用．
【詳解】解：將代入原方程組得，
得：，
∴的值為7．
故答案為：7．
（2024·廣東深圳·二模）解方程組：
【答案】
【分析】本題考查了解二元一次方程組，先整理原式得，再運用加減法進行解方程，即可作答．
【詳解】解：∵，
∴化簡得，，
將，得
將，得，
∴，
原方程組的解為：．
6.（2024·廣東清遠·三模）某工廠接到生產第19屆杭州亞運會吉祥物“江南憶（宸宸、琮琮、蓮蓮）”整套的訂單，工廠安排甲、乙兩個車間共同生產．若甲車間生產5天，乙車間生產3天，則兩個車間的產量一樣多．若甲車間先生產300套“江南憶”，然后兩個車間又各生產4天，則乙車間比甲車間多生產100套“江南憶”．兩車間每天各生產多少套“江南憶”？
【答案】甲車間每天生產150套“江南憶”，乙車間每天生產250套“江南憶”
【分析】題目主要考查二元一次方程組的應用，理解題意列出方程組是解題關鍵．
設甲車間每天生產x套“江南憶”，乙車間每天生產y套“江南憶”，根據題意列出方程組求解即可．
【詳解】解：設甲車間每天生產x套“江南憶”，乙車間每天生產y套“江南憶”，
則可列方程組為，
解得．
答：甲車間每天生產150套“江南憶”，乙車間每天生產250套“江南憶”．
1.（2024·廣東深圳·二模）下圖是明代數學家程大位所著的《算法統宗》中的一個問題，其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩：如果每人分九兩，則還差八兩．設共有銀子x兩，共有y人，則所列方程（組）錯誤的是（ ）
隔壁聽得客分銀， 不知人數不知銀， 七兩分之多四兩， 九兩分之少半斤. 《算法統宗》 注：明代時1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個成語
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程以及數學常識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
根據“如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九，則還差八兩”，即可列出關于x或y的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：∵如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九，則還差八兩．
∴或或．
故選：D．
2.（2024·廣東佛山·三模）小明做作業時發現方程已被墨水污染：電話詢問老師后知道：方程的解且被墨水遮蓋的是一個常數．則該常數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了一元一次方程的解．設被污染的常數■是a，把代入計算即可求出a的值．
【詳解】解：設被污染的常數■是a，
把代入，得：，
解得，
故選A．
3.方程組的解為，則點P（a，b）在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【分析】
根據題意，將代入方程中，求出a，b后得到點P的坐標即可得解．
【詳解】
把方程的解代入所給方程組得
，
解得，
∴點P坐標為，在第一象限，
故選：A．
4.（2024·廣東深圳·二模）下圖是明代數學家程大位所著的《算法統宗》中的一個問題，其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩：如果每人分九兩，則還差八兩．設共有銀子x兩，共有y人，則所列方程（組）錯誤的是（ ）
隔壁聽得客分銀， 不知人數不知銀， 七兩分之多四兩， 九兩分之少半斤. 《算法統宗》 注：明代時1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個成語
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程以及數學常識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
根據“如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九，則還差八兩”，即可列出關于x或y的一元一次方程，此題得解．
【詳解】解：∵如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九，則還差八兩．
∴或或．
故選：D．
5.代數式與代數式的和為4，則_____．
【答案】﹣1.
【分析】
根據題意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【詳解】
根據題意得：，
去分母得：，
移項合并得：，
解得：，
故答案為﹣1.
（2024·廣東河源·一模）已知是二元一次方程組的解，則的值為 ．
【答案】7
【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，把代入原方程組得，得：即可．注意整體思想的應用．
【詳解】解：將代入原方程組得，
得：，
∴的值為7．
故答案為：7．
（2024·廣東廣州·二模）解二元一次方程組：．
【答案】
【分析】本題考查了加減消元法解二元一次方程組．利用加減消元法解二元一次方程組進行求解即可．
【詳解】解：，
得：，
解得：，
將代入得：，
解得：，
故原方程組的解為．
（2024·廣東佛山·三模）快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件，快遞員的提成取決于送生數和攬件數．某快遞公司快遞員小李若平均每天的送件數和攬件數分別為120件和30件，則他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件數和攬件數分別為140件和25件，則他平均每天的提成是260元．求快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是多少元？
【答案】快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成分別為元和元
【分析】本題考查二元一次方程組的實際應用，設快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成分別為元和元，根據平均每天的送件數和攬件數分別為120件和30件，則他平均每天的提成是240元；平均每天的送件數和攬件數分別為140件和25件，則他平均每天的提成是260元；列出方程組進行求解即可．
【詳解】解：設快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成分別為元和元，由題意，得：
，解得：；
答：快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成分別為元和元．
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專題4 一次方程（組）與不等式
1.如圖，根據圖中的信息，可得正確的方程是(　　)
A． B．
C． D．
2.一商店以每件150元的價格賣出兩件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，則商店賣這兩件商品總的盈虧情況是(　　)
A．虧損20元 B．盈利30元 C．虧損50元 D．不盈不虧
3.某車間有26名工人，每人每天可以生產800個螺釘或1000個螺母，1個螺釘需要配2個螺母，為使每天生產的螺釘和螺母剛好配套．設安排x名工人生產螺釘，則下面所列方程正確的是(　　)
A．2×1000(26﹣x)=800x B．1000(13﹣x)=800x
C．1000(26﹣x)=2×800x D．1000(26﹣x)=800x
4.張三經營了一家草場，草場里面種植上等草和下等草．他賣五捆上等草的根數減去11根，就等于七捆下等草的根數；賣七捆上等草的根數減去25根，就等于五捆下等草的根數．設上等草一捆為根，下等草一捆為根，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
5.設a，b，c，d為實數，現規定一種新的運算=ad﹣bc，則滿足等式=1的x的值為　　　　　　．
6.二元一次方程組的解為 ．
7.解方程組
8.快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件，快遞員的提成取決于送生數和攬件數．某快遞公司快遞員小李若平均每天的送件數和攬件數分別為120件和30件，則他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件數和攬件數分別為140件和25件，則他平均每天的提成是260元．求快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是多少元？
9.甲乙兩人在一環形場地上鍛煉，甲騎自行車，乙跑步，甲比乙每分鐘快，兩人同時從起點同向出發，經過兩人首次相遇，此時乙還需跑才能跑完第一圈．
(1)求甲、乙兩人的速度分別是每分鐘多少米？(列方程或者方程組解答)
(2)若兩人相遇后，甲立即以每分鐘的速度掉頭向反方向騎車，乙仍按原方向繼續跑，要想不超過兩人再次相遇，則乙的速度至少要提高每分鐘多少米？
10.某文具店準備購進甲、乙兩種圓規，若購進甲種圓規10個，乙種圓規30個，需要340元；若購進甲種圓規30個，乙種圓規50個，需要700元．
(1)求購進甲、乙兩種圓規的單價各是多少元；
(2)文具店購進甲、乙兩種圓規共100個，每個甲種圓規的售價為15元，每個乙種圓規的售價為12元，銷售這兩種圓規的總利潤不低于480元，那么這個文具店至少購進甲種圓規多少個？
等式及其性質
1.等式：用等號“=”來表示相等關系的式子叫等式.
2. 性質：① 如果，那么；
② 如果，那么；如果，那么.
二、一元一次方程
1.方程：含有未知數的等式叫做方程；使方程左右兩邊值相等的未知數的值，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解與解方程不同.
2. 一元一次方程：在整式方程中，只含有一個未知數，并且未知數的次數是1 ，系數不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式為 ax+b=0 .
3. 解一元一次方程的步驟：
①去分母；②去 括號 ；③移項；④合并同類項；⑤系數化為1.
4．一元一次方程的應用
列方程解應用題的一般步驟：
（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．
（2）設元：找出題中的關鍵的未知量，并用字母表示出來．
（3）列方程：挖掘題目中的關系，找出等量關系，列出方程．
（4）求解．
（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．
設元的方法：直接設元與間接設元．
當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數，即為間接設元．、
三、二元一次方程組
1．二元一次方程：含有兩個未知數（元）并且未知數的次數是2的整式方程.
2. 二元一次方程組：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.
3．二元一次方程的解： 適合一個二元一次方程的一組未知數的值叫做這個二元一次方程的一個解，一個二元一次方程有無數個解.
4．二元一次方程組的解： 二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.
5. 解二元一次方程組的方法：
消元是解二元一次方程組的基本思路，方法有代入消元和加減 消元法兩種.
6、列二元一次方程（組）解決實際問題的一般步驟：
（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．
（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．
（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．
（4）求解．
（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．
設元的方法：直接設元與間接設元．
當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數，即為間接設元．無論怎樣設元，設幾個未知數，就要列幾個方程．
（2024·廣東深圳·二模）下列變形，正確的是（ ）
A．由，移項，得
B．由，去括號，得
C．由，合并同類項，得
D．由，去分母得
2.下列由等式的性質進行的變形，錯誤的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3.《孫子算經》中有一道題，原文是：今有三人共車，一車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余2輛車：若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設共有x人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
4.中國古代數學著作《算法統宗》中有這樣一段記載，“三百七十八里關；初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關．”其大意是；有人要去某關口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天才到關口，則此人第一和第六這兩天共走了(　　)
A．102里 B．126里 C．192里 D．198里
5.《九章算術》中有問題：1畝好田是300元，7畝壞田是500元，一人買了好田壞田一共是100畝，花費了10000元，問他買了多少畝好田和壞田？設一畝好田為x畝，一畝壞田為y畝，根據題意列方程組得（ ）
A． B．
C． D．
6.《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學生人數和該書單價各是多少？
7.粵港澳大灣區自動駕駛產業聯盟積極推進自動駕駛出租車應用落地工作，無人化是自動駕駛的終極目標．某公交集團擬在今明兩年共投資9000萬元改裝260輛無人駕駛出租車投放市場．今年每輛無人駕駛出租車的改裝費用是50萬元，預計明年每輛無人駕駛出租車的改裝費用可下降．
（1）求明年每輛無人駕駛出租車的預計改裝費用是多少萬元；
（2）求明年改裝的無人駕駛出租車是多少輛．
8.（2024·廣東清遠·三模）某工廠接到生產第19屆杭州亞運會吉祥物“江南憶（宸宸、琮琮、蓮蓮）”整套的訂單，工廠安排甲、乙兩個車間共同生產．若甲車間生產5天，乙車間生產3天，則兩個車間的產量一樣多．若甲車間先生產300套“江南憶”，然后兩個車間又各生產4天，則乙車間比甲車間多生產100套“江南憶”．兩車間每天各生產多少套“江南憶”？
1（2024·廣東廣州·中考真題）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數量比去年5月交付的新車數量的1.2倍還多1100輛．設該車企去年5月交付新車輛，根據題意，可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2024·廣東深圳·中考真題）在明朝程大位《算法統宗》中有首住店詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．詩的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一間客房住7人，那么有7人無房可住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間房．設該店有客房x間，房客y人，則可列方程組為（ ）
A. B. C. D.
（2024·廣東汕頭·一模）若關于x，y的方程組的解滿足，則的值為（ ）
A．8 B． C．6 D．
（2024·廣東河源·一模）已知是二元一次方程組的解，則的值為 ．
（2024·廣東深圳·二模）解方程組：
6.（2024·廣東清遠·三模）某工廠接到生產第19屆杭州亞運會吉祥物“江南憶（宸宸、琮琮、蓮蓮）”整套的訂單，工廠安排甲、乙兩個車間共同生產．若甲車間生產5天，乙車間生產3天，則兩個車間的產量一樣多．若甲車間先生產300套“江南憶”，然后兩個車間又各生產4天，則乙車間比甲車間多生產100套“江南憶”．兩車間每天各生產多少套“江南憶”？
1.（2024·廣東深圳·二模）下圖是明代數學家程大位所著的《算法統宗》中的一個問題，其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩：如果每人分九兩，則還差八兩．設共有銀子x兩，共有y人，則所列方程（組）錯誤的是（ ）
隔壁聽得客分銀， 不知人數不知銀， 七兩分之多四兩， 九兩分之少半斤. 《算法統宗》 注：明代時1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個成語
A． B．
C． D．
2.（2024·廣東佛山·三模）小明做作業時發現方程已被墨水污染：電話詢問老師后知道：方程的解且被墨水遮蓋的是一個常數．則該常數是（ ）
A． B． C． D．
3.方程組的解為，則點P（a，b）在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
4.（2024·廣東深圳·二模）下圖是明代數學家程大位所著的《算法統宗》中的一個問題，其大意為：有一群人分銀子，如果每人分七兩，則剩余四兩：如果每人分九兩，則還差八兩．設共有銀子x兩，共有y人，則所列方程（組）錯誤的是（ ）
隔壁聽得客分銀， 不知人數不知銀， 七兩分之多四兩， 九兩分之少半斤. 《算法統宗》 注：明代時1斤=16兩，故有“半斤八兩”這個成語
A． B．
C． D．
5.代數式與代數式的和為4，則_____．
（2024·廣東河源·一模）已知是二元一次方程組的解，則的值為 ．
（2024·廣東廣州·二模）解二元一次方程組：．
（2024·廣東佛山·三模）快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件，快遞員的提成取決于送生數和攬件數．某快遞公司快遞員小李若平均每天的送件數和攬件數分別為120件和30件，則他平均每天的提成是240元；若平均每天的送件數和攬件數分別為140件和25件，則他平均每天的提成是260元．求快遞員小李平均每送一件和平均每攬一件的提成各是多少元？
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