資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題2.1二元一次方程八大題型（一課一講）
（內(nèi)容:二元一次方程的定義和解）
【浙教版】
題型一：判定是否為二元一次方程
【經(jīng)典例題1】（24-25八年級上·福建三明·期末）下列方程中，屬于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：A．，屬于二次項，所以不是一次方程，故此選項錯誤；
B．，屬于三元一次方程，故此選項錯誤；
C．，屬于二元二次方程，故此選項錯誤；
D．，屬于二元一次方程，故選項正確．
故選：D．
【變式訓(xùn)練1-1】（24-25八年級上·四川達(dá)州·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
【答案】A
【詳解】解：下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是①；⑤，
故選：．
【變式訓(xùn)練1-2】（23-24七年級下·湖南益陽·期中）觀察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【詳解】解： ，未知數(shù)次數(shù)為2，不是二元一次方程，
是二元一次方程，
，未知數(shù)次數(shù)為2，不是二元一次方程，
，一個未知數(shù)，不是二元一次方程，
是二元一次方程，
其中二元一次方程有2個，
故選：B．
【變式訓(xùn)練1-3】（24-25七年級下·吉林長春·期末）下列算式中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：A、是二元一次方程，符合題意；
B、是分式方程，不符合題意；
C、，整理得：，
不是二元一次方程，不符合題意；
D、是一元二次方程，不符合題意；
故選：A．
【變式訓(xùn)練1-4】（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：A、，是二元一次方程，符合題意；
B、，含有2次項，不是二元一次方程，不符合題意；
C、，不是整式方程，不是二元一次方程，不符合題意；
D、，含有2次項，不是二元一次方程，不符合題意；
故選A．
【變式訓(xùn)練1-5】（24-25七年級下·四川成都·階段練習(xí)）下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序號）．
【答案】⑤
【詳解】解：①，不是方程；
②，僅含有一個未知數(shù)，不是二元一次方程；
③整理得：，不是二元一次方程；
④中含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2，不是二元一次方程；
⑤整理得：，是二元一次方程；
綜上，是二元一次方程的有：⑤，
故答案為：⑤．
題型二：根據(jù)二元一次方程的定義求參數(shù)的值
【經(jīng)典例題2】（23-24七年級下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）若是關(guān)于x，y的二元一次方程，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【詳解】解：是關(guān)于x，y的二元一次方程，
解得：，
故選：C
【變式訓(xùn)練2-1】（24-25七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）已知方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，則 ．
【答案】1
【詳解】解∶ ∵方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，
∴且，
解得，
故答案為∶1．
【變式訓(xùn)練2-2】（24-25七年級下·上海虹口·期中）如果方程是關(guān)于，的二元一次方程，則 ， ．
【答案】
【詳解】解：∵方程是關(guān)于，的二元一次方程，
∴，，
∴，．
故答案為：；．
【變式訓(xùn)練2-3】（23-24七年級下·貴州銅仁·期中）已知關(guān)于，的二元一次方程，則 ．
【答案】2
【詳解】解：∵是二元一次方程，
∴，
解得，，
∴，
∴，
故答案為： ．
【變式訓(xùn)練2-4】（23-24七年級下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）方程是關(guān)于，的二元一次方程，則的值為 ．
【答案】3
【詳解】解：∵方程是關(guān)于x、y的二元一次方程，
∴，
解得：．
故答案為：3．
【變式訓(xùn)練2-5】（23-24七年級下·河南周口·期末）已知方程，當(dāng) 時該方程是一元一次方程；當(dāng) 時該方程是二元一次方程．
【答案】 1
【詳解】解：當(dāng)，即或時，
當(dāng)時，原方程為，該方程是一元一次方程；
當(dāng)時，方程為，該方程為二元一次方程，
故答案為：；1
【變式訓(xùn)練2-6】（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）已知方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．
(1)求m，n的值；
(2)當(dāng)時，求y的值．
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：∵方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，
∴，
．
（2）解：由（1）知，，
∴原方程可化為．
當(dāng)時，，
解得．
題型三：根據(jù)條件寫二元一次方程
【經(jīng)典例題3】（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）寫一個關(guān)于x，y的二元一次方程組 ．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：關(guān)于x，y的二元一次方程組可以為：，
故答案為：（答案不唯一）．
【變式訓(xùn)練3-1】（23-24七年級下·山東煙臺·期末）請寫出一個關(guān)于，的二元一次方程，使其滿足的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，且，是這個二元一次方程的解．這個方程可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：由題意得，的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，
∴滿足題意，
∵，是這個二元一次方程的解，
∴當(dāng)時，，
解得：，
∴符合題意．
故答案為：（答案不唯一）．
【變式訓(xùn)練3-2】（23-24七年級下·北京通州·期中）寫出一個解為的二元一次方程 ．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】解：∵，
∴該方程可以為，
故答案為：．（答案不唯一）
【變式訓(xùn)練3-3】（23-24七年級下·山西太原·階段練習(xí)）某一個二元一次方程的一個解是，請寫出一個符合條件的二元一次方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】按照二元一次方程滿足的條件寫出：（答案不唯一）；
故答案為：（答案不唯一）．
【變式訓(xùn)練3-4】（24-25七年級下·河北邯鄲·期末）請寫出一個以為解的二元一次方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】∵本題答案不唯一，只要寫出的二元一次方程的解為即可
∴令，，得
∴把代入方程
解出
∴
故答案是：．
題型四：用一個變量表示另一個變量
【經(jīng)典例題4】（23-24七年級下·福建泉州·期末）已知方程，用含y的代數(shù)式表示x，那么 ．
【答案】
【詳解】解：∵方程，
∴整理得：，
解得：．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-1】（23-24七年級下·甘肅金昌·期中）已知方程，若用含x的代數(shù)式表示y，則有y= ，若用含y的代數(shù)式表示x，則x= ．
【答案】
【詳解】解：
；
；
故答案為：；．
【變式訓(xùn)練4-2】（23-24七年級下·湖南湘西·階段練習(xí)）如果，那么用含y的代數(shù)式表示x，則 ．
【答案】
【詳解】解：由題意可得，，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-3】（23-24七年級下·河北保定·階段練習(xí)）把方程化為用含的代數(shù)式來表示， ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-4】（23-24七年級下·廣西南寧·階段練習(xí)）把方程改寫成用含有x的式子表示y的形式： ．
【答案】
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練4-5】（23-24七年級下·福建福州·期末）把二元一次方程改寫成用含的式子表示的形式 ．
【答案】
【詳解】解：方程，
解得：．
故答案為．
題型五：利用二元一次方程的解求字母的值
【經(jīng)典例題5】（24-25七年級下·江西撫州·期末）若是關(guān)于x、y的方程的一個解，則m的值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】A
【詳解】解：∵是關(guān)于x、y的方程的一個解，
∴把代入，
得，
解得，
故選：A．
【變式訓(xùn)練5-1】（24-25七年級下·陜西榆林·期中）若是關(guān)于x，y的方程的一個解，則a的值為（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】C
【詳解】解：∵是關(guān)于x，y的方程的一個解，
∴，
解得：，
故選：C．
【變式訓(xùn)練5-2】（24-25七年級下·甘肅蘭州·期末）已知是方程的一個解，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：是方程的一個解，
，
解得：，
故選：A．
【變式訓(xùn)練5-3】（24-25七年級下·陜西西安·期中）如果表中給出的每一對，的值都是二元一次方程的解，則表中的值為（ ）
0 1 2 5
3 1
A． B． C．0 D．7
【答案】A
【詳解】解：把代入，得，
∴，
則，
把代入，得，
∴，
∴二元一次方程為：，
把代入，得，
∴，
∴．
故選：A．
【變式訓(xùn)練5-4】（23-24七年級下·全國·單元測試）在二元一次方程中，若互為相反數(shù)，則 ，
【答案】
【詳解】解：∵互為相反數(shù)，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2；．
題型六：利用二元一次方程的解求代數(shù)式的值
【經(jīng)典例題6】（23-24七年級下·四川成都·開學(xué)考試）已知x，y都是自然數(shù)，如果那么（ ）．
A．3 B．24 C．13
【答案】A
【詳解】解：，
因為，
所以，
因為x，y都是自然數(shù)，
所以，，
所以．
故答案為：A
【變式訓(xùn)練6-1】（23-24七年級下·山東菏澤·期末）若是方程的解，則代數(shù)式的值為（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
【答案】C
【詳解】解：是二元一次方程的解，
，
，
．
故選：C
【變式訓(xùn)練6-2】（23-24七年級下·浙江杭州·期末）若是關(guān)于x、y的方程和的公共解，則 ．
【答案】7
【詳解】解：把分別代入方程和得：，，
解得：，
則．
故答案為：7．
【變式訓(xùn)練6-3】（24-25七年級下·全國·單元測試）已知是方程的解，則代數(shù)式的值為 ．
【答案】
【詳解】解：∵是方程的解，
，
，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練6-4】（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）已知是方程的解，求的值．
【答案】
【詳解】解：把代入方程，
得，
．
【變式訓(xùn)練6-5】（24-25七年級下·全國·單元測試）已知關(guān)于、的方程與方程有一組相同的解求的值．
【答案】5
【詳解】解：把代入方程，
得，
解得．
把代入方程，
得，
解得，
．
【變式訓(xùn)練6-6】（23-24七年級上·安徽·單元測試）已知和是方程的兩個解，求的值．
【答案】3
【詳解】解：當(dāng)時，得到，解得；
當(dāng)時，得到，則，解得；
．
題型七：二元一次方程中整數(shù)解問題
【經(jīng)典例題7】（24-25七年級下·黑龍江大慶·期中）二元一次方程的正整數(shù)解有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【詳解】解：方程，
解得：，
當(dāng)時，；時，；時，，
則方程的正整數(shù)解有3個．
故選：C．
【變式訓(xùn)練7-1】（23-24七年級下·浙江·期末）方程的正整數(shù)的組數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：去分母得：，
，
又與是正整數(shù)，兩整數(shù)之積為，
存在三種情況；
①，
解得：，
不合題意舍去；
②，
解得：，
不合題意舍去；
③，
解得：，
不合題意舍去；
故符合題意的方程的解為組；
故選：A
【變式訓(xùn)練7-2】（23-24七年級下·全國·單元測試）二元一次方程的正整數(shù)解的個數(shù)是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】B
【詳解】解：∵，
∴，
∵x、y都是正整數(shù)，
∴一定是3的倍數(shù)，
∴當(dāng)時，滿足題意，
當(dāng)時，滿足題意；
∴二元一次方程的正整數(shù)解的個數(shù)是2個，
故選：B．
【變式訓(xùn)練7-3】（24-25七年級上·湖南婁底·期末）二元一次方程有 個非負(fù)整數(shù)解．
【答案】4
【詳解】解：∵
∴，
∵方程的解為非負(fù)整數(shù)，
∴，
∴有4組非負(fù)整數(shù)解．
故答案為：4．
【變式訓(xùn)練7-4】（24-25七年級下·重慶長壽·階段練習(xí)）二元一次方程的正整數(shù)解為 ．
【答案】，
【分析】本題考查二元一次方程的解，先變形為，然后求出二元一次方程的正整數(shù)解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵都是正整數(shù)，
∴，，
故答案為：，．
【變式訓(xùn)練7-5】（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）求方程的正整數(shù)解．
【答案】或或
【詳解】解：由原方程，得．
因為x，y為正整數(shù)，
所以原方程的正整數(shù)解是或或．
題型八：二元一次方程中定義新運算
【經(jīng)典例題8】（24-25七年級下·全國·單元測試）定義運算：，例如：，所以方程的解的情況是（ ）
A．有且只有一組解 B．有無數(shù)組解
C．無解 D．有且只有兩組解
【答案】B
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
∴有無數(shù)組可以滿足，
故選：B．
【變式訓(xùn)練8-1】（23-24七年級下·云南昆明·期末）定義運算，下面給出了關(guān)于這種運算的幾個結(jié)論：
①；②是無理數(shù)；③方程不是二元一次方程；其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①③
【答案】D
【詳解】∵，
∴，
故①正確；
，是有理數(shù)，
故②錯誤；
不是二元一次方程，
故③正確；
故選D．
【變式訓(xùn)練8-2】（23-24七年級上·江蘇淮安·期中）定義：若，則稱x與y是關(guān)于m的好數(shù)．
(1)若5與a是關(guān)于2的好數(shù)，則_____；
(2)若，，判斷b與c是否是關(guān)于3的好數(shù)，并說明理由：
(3)若，，且e與d是關(guān)于3的好數(shù)，若x為正整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)k的值．
【答案】(1)
(2)b與c是關(guān)于3的好數(shù)；
(3)k的值為0或1或3或7．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，
解得，
故答案為：；
（2）解：
，
∴b與c是關(guān)于3的好數(shù)；
（3）解：∵e與d是關(guān)于3的好數(shù)，
∴，
∴，
∴，
∵x為正整數(shù)，k是非負(fù)整數(shù)，
∴或或或，
∴k的值為0或1或3或7．
【變式訓(xùn)練8-3】（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）定義：若有序數(shù)對滿足二元一次方程（a，b為不等于0的常數(shù)），則稱為二元一次方程的數(shù)對解．例如：有序數(shù)對滿足，則稱為的數(shù)對解．
(1)下列有序數(shù)對是二元一次方程的數(shù)對解的是__________．（填序號）
①，②，③．
(2)若有序數(shù)對為方程的一個數(shù)對解，且p，q為正整數(shù)，求p，q的值．
【答案】(1)②③
(2)或
【詳解】（1）②③
（2）∵有序數(shù)對為方程的一個數(shù)對解，
∴．整理，得．
∵p，q為正整數(shù)，∴或．
【變式訓(xùn)練8-4】（23-24七年級下·重慶萬州·期中）定義：對于三位自然數(shù)，各位數(shù)字都不為，且它的百位數(shù)字的倍與十位數(shù)字和個位數(shù)字之和恰好能被整除，則稱這個自然數(shù)為“博雅數(shù)”．例如：是“博雅數(shù)”，因為，，都不為，且，能被整除；不是“博雅數(shù)”，因為，不能被整除．
(1)判斷，是否是“博雅數(shù)”？并說明理由；
(2)求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大的所有“博雅數(shù)”，并說明理由．
【答案】(1)是“博雅數(shù)”，不是“博雅數(shù)”；理由見解析
(2)這樣的“博雅數(shù)”共有個，它們分別是，，；理由見解析
【詳解】（1）解：是“博雅數(shù)”，不是“博雅數(shù)”，
∵，能被整除，
∴是“博雅數(shù)”；
∵，不能被整除，
∴不是“博雅數(shù)”．
（2）由題意可設(shè)這樣的“博雅數(shù)”為：，則，
∴，
由“博雅數(shù)”的定義可知：能被整除，
∴為整數(shù)，
又∵，且，為整數(shù)，
∴或或，
綜上，這樣的“博雅數(shù)”共有個，它們分別是，，．
【變式訓(xùn)練8-5】（23-24七年級上·重慶·期中）定義：對任意一個兩位數(shù)，如果滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為“互異數(shù)”．將一個“互異數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為．例如：，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，和與11的商為，所以．
根據(jù)以上定義，回答下列問題∶
(1)下列兩位數(shù)30，52，77中，“互異數(shù)”為 ；________．
(2)若“互異數(shù)”滿足，求所有“互異數(shù)”．
【答案】(1)52，6
(2)14或23或32或41
【詳解】（1）解：由“互異數(shù)”的定義得，兩位數(shù)30，52，77中，“互異數(shù)”為52，
，
故答案為：52，6；
（2）解：設(shè)“互異數(shù)”b的個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，
則，
整理得：，
∴或或或，
∴所有“互異數(shù)”b的值為14或23或32或41．中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題2.1二元一次方程八大題型（一課一講）
（內(nèi)容:二元一次方程的定義和解）
【浙教版】
題型一：判定是否為二元一次方程
【經(jīng)典例題1】（24-25八年級上·福建三明·期末）下列方程中，屬于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】（24-25八年級上·四川達(dá)州·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
【變式訓(xùn)練1-2】（23-24七年級下·湖南益陽·期中）觀察下列方程：，，，，，其中二元一次方程有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式訓(xùn)練1-3】（24-25七年級下·吉林長春·期末）下列算式中，是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-4】（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）下列是二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練1-5】（24-25七年級下·四川成都·階段練習(xí)）下列方程：①；②；③；④；⑤ 中是二元一次方程的是 （只填序號）．
題型二：根據(jù)二元一次方程的定義求參數(shù)的值
【經(jīng)典例題2】（23-24七年級下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）若是關(guān)于x，y的二元一次方程，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式訓(xùn)練2-1】（24-25七年級下·陜西西安·階段練習(xí)）已知方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，則 ．
【變式訓(xùn)練2-2】（24-25七年級下·上海虹口·期中）如果方程是關(guān)于，的二元一次方程，則 ， ．
【變式訓(xùn)練2-3】（23-24七年級下·貴州銅仁·期中）已知關(guān)于，的二元一次方程，則 ．
【變式訓(xùn)練2-4】（23-24七年級下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）方程是關(guān)于，的二元一次方程，則的值為 ．
【變式訓(xùn)練2-5】（23-24七年級下·河南周口·期末）已知方程，當(dāng) 時該方程是一元一次方程；當(dāng) 時該方程是二元一次方程．
【變式訓(xùn)練2-6】（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）已知方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．
(1)求m，n的值；
(2)當(dāng)時，求y的值．
題型三：根據(jù)條件寫二元一次方程
【經(jīng)典例題3】（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）寫一個關(guān)于x，y的二元一次方程組 ．
【變式訓(xùn)練3-1】（23-24七年級下·山東煙臺·期末）請寫出一個關(guān)于，的二元一次方程，使其滿足的系數(shù)是大于的整數(shù)，的系數(shù)是小于的整數(shù)，且，是這個二元一次方程的解．這個方程可以是 ．
【變式訓(xùn)練3-2】（23-24七年級下·北京通州·期中）寫出一個解為的二元一次方程 ．
【變式訓(xùn)練3-3】（23-24七年級下·山西太原·階段練習(xí)）某一個二元一次方程的一個解是，請寫出一個符合條件的二元一次方程： ．
【變式訓(xùn)練3-4】（24-25七年級下·河北邯鄲·期末）請寫出一個以為解的二元一次方程： ．
題型四：用一個變量表示另一個變量
【經(jīng)典例題4】（23-24七年級下·福建泉州·期末）已知方程，用含y的代數(shù)式表示x，那么 ．
【變式訓(xùn)練4-1】（23-24七年級下·甘肅金昌·期中）已知方程，若用含x的代數(shù)式表示y，則有y= ，若用含y的代數(shù)式表示x，則x= ．
【變式訓(xùn)練4-2】（23-24七年級下·湖南湘西·階段練習(xí)）如果，那么用含y的代數(shù)式表示x，則 ．
【變式訓(xùn)練4-3】（23-24七年級下·河北保定·階段練習(xí)）把方程化為用含的代數(shù)式來表示， ．
【變式訓(xùn)練4-4】（23-24七年級下·廣西南寧·階段練習(xí)）把方程改寫成用含有x的式子表示y的形式： ．
【變式訓(xùn)練4-5】（23-24七年級下·福建福州·期末）把二元一次方程改寫成用含的式子表示的形式 ．
題型五：利用二元一次方程的解求字母的值
【經(jīng)典例題5】（24-25七年級下·江西撫州·期末）若是關(guān)于x、y的方程的一個解，則m的值是（ ）
A．4 B． C．8 D．
【變式訓(xùn)練5-1】（24-25七年級下·陜西榆林·期中）若是關(guān)于x，y的方程的一個解，則a的值為（ ）
A．1 B．5 C． D．
【變式訓(xùn)練5-2】（24-25七年級下·甘肅蘭州·期末）已知是方程的一個解，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練5-3】（24-25七年級下·陜西西安·期中）如果表中給出的每一對，的值都是二元一次方程的解，則表中的值為（ ）
0 1 2 5
3 1
A． B． C．0 D．7
【變式訓(xùn)練5-4】（23-24七年級下·全國·單元測試）在二元一次方程中，若互為相反數(shù)，則 ，
題型六：利用二元一次方程的解求代數(shù)式的值
【經(jīng)典例題6】（23-24七年級下·四川成都·開學(xué)考試）已知x，y都是自然數(shù)，如果那么（ ）．
A．3 B．24 C．13
【變式訓(xùn)練6-1】（23-24七年級下·山東菏澤·期末）若是方程的解，則代數(shù)式的值為（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
【變式訓(xùn)練6-2】（23-24七年級下·浙江杭州·期末）若是關(guān)于x、y的方程和的公共解，則 ．
【變式訓(xùn)練6-3】（24-25七年級下·全國·單元測試）已知是方程的解，則代數(shù)式的值為 ．
【變式訓(xùn)練6-4】（24-25七年級下·全國·隨堂練習(xí)）已知是方程的解，求的值．
【變式訓(xùn)練6-5】（24-25七年級下·全國·單元測試）已知關(guān)于、的方程與方程有一組相同的解求的值．
【變式訓(xùn)練6-6】（23-24七年級上·安徽·單元測試）已知和是方程的兩個解，求的值．
題型七：二元一次方程中整數(shù)解問題
【經(jīng)典例題7】（24-25七年級下·黑龍江大慶·期中）二元一次方程的正整數(shù)解有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓(xùn)練7-1】（23-24七年級下·浙江·期末）方程的正整數(shù)的組數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練7-2】（23-24七年級下·全國·單元測試）二元一次方程的正整數(shù)解的個數(shù)是（ ）
A．個 B．個 C．個 D．個
【變式訓(xùn)練7-3】（24-25七年級上·湖南婁底·期末）二元一次方程有 個非負(fù)整數(shù)解．
【變式訓(xùn)練7-4】（24-25七年級下·重慶長壽·階段練習(xí)）二元一次方程的正整數(shù)解為 ．
【變式訓(xùn)練7-5】（2025七年級下·全國·專題練習(xí)）求方程的正整數(shù)解．
題型八：二元一次方程中定義新運算
【經(jīng)典例題8】（24-25七年級下·全國·單元測試）定義運算：，例如：，所以方程的解的情況是（ ）
A．有且只有一組解 B．有無數(shù)組解
C．無解 D．有且只有兩組解
【變式訓(xùn)練8-1】（23-24七年級下·云南昆明·期末）定義運算，下面給出了關(guān)于這種運算的幾個結(jié)論：
①；②是無理數(shù)；③方程不是二元一次方程；其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①③
【變式訓(xùn)練8-2】（23-24七年級上·江蘇淮安·期中）定義：若，則稱x與y是關(guān)于m的好數(shù)．
(1)若5與a是關(guān)于2的好數(shù)，則_____；
(2)若，，判斷b與c是否是關(guān)于3的好數(shù)，并說明理由：
(3)若，，且e與d是關(guān)于3的好數(shù)，若x為正整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)k的值．
【變式訓(xùn)練8-3】（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）定義：若有序數(shù)對滿足二元一次方程（a，b為不等于0的常數(shù)），則稱為二元一次方程的數(shù)對解．例如：有序數(shù)對滿足，則稱為的數(shù)對解．
(1)下列有序數(shù)對是二元一次方程的數(shù)對解的是__________．（填序號）
①，②，③．
(2)若有序數(shù)對為方程的一個數(shù)對解，且p，q為正整數(shù)，求p，q的值．
【變式訓(xùn)練8-4】（23-24七年級下·重慶萬州·期中）定義：對于三位自然數(shù)，各位數(shù)字都不為，且它的百位數(shù)字的倍與十位數(shù)字和個位數(shù)字之和恰好能被整除，則稱這個自然數(shù)為“博雅數(shù)”．例如：是“博雅數(shù)”，因為，，都不為，且，能被整除；不是“博雅數(shù)”，因為，不能被整除．
(1)判斷，是否是“博雅數(shù)”？并說明理由；
(2)求出百位數(shù)字比十位數(shù)字大的所有“博雅數(shù)”，并說明理由．
【變式訓(xùn)練8-5】（23-24七年級上·重慶·期中）定義：對任意一個兩位數(shù)，如果滿足個位數(shù)字與十位數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個兩位數(shù)為“互異數(shù)”．將一個“互異數(shù)”的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個新的兩位數(shù)，把這個新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為．例如：，對調(diào)個位數(shù)字與十位數(shù)字得到新兩位數(shù)21，新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，和與11的商為，所以．
根據(jù)以上定義，回答下列問題∶
(1)下列兩位數(shù)30，52，77中，“互異數(shù)”為 ；________．
(2)若“互異數(shù)”滿足，求所有“互異數(shù)”．

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